初一数学下寒假培优训练讲义--平行线.doc

优秀是训练出来的 初一数学寒假培优 扎实基础 提升能力
初一数学寒假培优训练一
（余角,补角以及三线八角,平行线的判定）
一、考点讲解：
1．余角：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角．
2．补角：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角．
3．对顶角：如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．
4．互为余角的有关性质：
① ∠1＋∠ 2=90°，则∠1.∠2互余．反过来，若∠1，∠2互余．则∠1+∠2=90○．
②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2=90○ ，∠1+∠ 3= 90○，则∠ 2= ∠ 3．
5．互为补角的有关性质：
①若∠A +∠B=180○则∠A.∠B互补，反过来，若∠A.∠B互补，则∠A+∠B＝180○．
②同角或等角的补角相等．如果∠A ＋ ∠C=18 0○，∠A+∠B=18 0°，则∠B=∠C．
6．对顶角的性质：对顶角相等．
二、互为余角.互为补角.对顶角比较
项目
定义
性质
图形
互余角
两个角和等于（直角）

同角或等角的余角相等
1
2

互补角
两个角和等于（平角）

同角或等角的补角相等
1
2

对顶角
两直线相交而成的一个角两边分别是另一角两边反向延长线
对顶角相等

1
2

三、经典例题剖析：
A
B
E
O
C
D
1
2
3
4
例1．如图所示，AOB是一条直线，，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？

（例1）
练习：
1. 如图所示，AOE是一条直线，，则
（1）如果那么 ，= 。
（2）和互为余角的角有 和相等的角有
例2．∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠1=63○，∠3=_ _ （练习1）
练习：
1. 如果一个角的补角是150○ ，那么这个角的余角是_________
2. ∠1和∠2互余，∠2和∠3互补，∠3=153○，∠l=_
例3. 若∠l=2∠2，且∠1+∠2=90○则∠1=___，∠2=___．
练习：
1. 一个角等于它的余角的2倍，那么这个角等于它补角的（ ）
A.2倍 B.倍 C.5倍 D.倍
2. 已知一个角的余角比它的补角的还少，求这个角。
四、巩固练习：
1．_______的余角相等，_______的补角相等．
2.一个角的余角（ ）
A.一定是钝角 B.一定是锐角 C.可能是锐角，也可能是钝角 D.以上答案都不对
3．下列说法中正确的是（ ）
A．两个互补的角中必有一个是钝角 B．一个角的补角一定比这个角大
C．互补的两个角中至少有一个角大于或等于直角 D．相等的角一定互余
5．若两个角互补，则（ ）
A.这两个都是锐角 B.这两个角都是钝角 C.这两个角一个是锐角，一个是钝角 D.以上结论都不对
6．一个角的余角比它的补角的九分之二多1°，求这个角的度数．
7．下列说法中正确的是（ ）
A.相等的角是对顶角 B.不是对顶角的角不相等 C.对顶角必相等 D.有公共顶点的角是对顶角
8．三条直线相交于一点，所成对顶角有（ ）
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
9．下列说法正确的是（ ）
A.不相等的角一定不是对顶角 B.互补的两个角是邻补角
C.两条直线相交所成的角是对顶角 D.互补且有一条公共边的两个角是邻补角
10.如图l－2－1，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠ 1＝15○30’，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠2 =45○ B．∠1=∠3 C．∠AOD与∠1互为补角 D．∠1的余角等于75○30′
11．为下面推理填写理由。
O
1
2
A
C
B
D
（1）互为余角（已知），（ ）
（2）如图所示，AB.CD相交于点O（已知），（ ）
（3）（已知），（ ）
（4），（已知），∴∠A=∠B（ ） （11题）
五.关于同位角.内错角和同旁内角
1．共同点：都是两条直线被第三条直线所截得到的不具有共公顶点的两个角之间的关系，这两个角有一条边在同一直线上。
2．不同点：同位角在两条直线的“同方”，第三条直线的“同侧”，（简称：位置相同的角，形状呈“F”字形）。
内错角的两条直线“内侧”，第三条直线“两旁”（位置错开，形状呈“Z”字形）。
同旁内角在两直线之间，第三条直线“同旁”（形状呈“C”字形）。
另外注意：寻找“三线八角”关键是找准截线，截线是公共边所在的那条直线。
六.角位置的确定巩固练习：
1．如图1所示，直线a，b，c两两相交，共构成 对对顶角。
2．如图2，能与∠1构成同位角的角有（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3．如图2，能与∠1构成同旁内角的角有（ ）A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4．如图3所示，已知四条直线AB，BC，CD，DE。
问：①∠1=∠2是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.
②∠1=∠3是直线_____和直线_____被直线_____所截而成的____角.
③∠4=∠5是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.
④∠2=∠5是直线______和直线______被直线_____所截而成的____角.

5．如图4所示，下列各组判断错误的是（ ）．
（A）∠2和∠3是同位角 （B）∠1和∠3是内错角
（C）∠2和∠4是同旁内角 （D）∠1和∠2是内错角

七.直线平行的条件（又叫平行线的判定）；
1．同位角相等，两直线平行； 2．内错角相等，两直线平行；
3．同旁内角互补，两直线平行； 4．同时平行于第三条直线的两条直线也互相平行。
例1．如图所示，和是什么角？由哪两条直线被什么样的第三条直线所截？和呢？和呢？和呢？和呢？
A
B
C
D
1
2
3
4

练习： （例1）
A
C
E
F
N
M
D
B
1. 如图所示，根据下列条件：，可以判定那两条直线平行，并说明判定的依据。

（练习1） （练习2）
2.如图所示，AB.CD两相交直线与EF.MN两平行直线与EF.MN两平行直线相交，试问一共可以得到同旁内角多少对？

A
B
C
D
E
（例2）
例 2．如图，已知∠B+∠C+∠D=360°，则AB∥ED，为什么？

练习：
1．已知：如图，∠B1＋∠B2=∠A1＋∠A2＋∠A3 （即向左凸出的角的和等于向右凸出的角的和），求证：AA1∥BA3
A
A1
A2
A3
B1
B2
B
（练习 1）

A
B
C
D
E
F
2．如图所示，已知，试说明，AB与EF有怎样的位置关系？并说说你判断的理由。

（练习2）

例 3.如图所示，直线AB.CD被直线EF所截，如果∠1=∠2，∠CNF=∠BME，那么AB∥CD，MP∥NQ，请说明理由。
练习：
1
2
3

1.如图所示，直线被直线所截，的3倍等于是的余角，求证：∥.

（练习1）
A
B
C
D
F
E
G
1
2
（练习2）

2.已知：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求证：AB∥GF

例4．给下列证明过程填写理由：
A
B
E
1
3
C
D
F
2
4
（例4）
已知：如图所示，AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，
求证：BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC于B，CD⊥BC于C,（ ）
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°（ ）
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余．（ ）
又∵∠1=∠2，（ ）
∴_______=_______．（ ）
∴BE∥CF．（ ）
练习：
已知：如图2-18，直线AB.CD.EF交于点O，AB⊥CD，∠1=27°．求：∠2，∠FOB的度数．
解：∵AB⊥CD，（已知）
∴∠COB=______（    ）∵∠1=27°（已知）
∴∠3=______，∵∠3______∠2（    ）∴∠2=______（    ）
∵∠2+∠FOB=______（    ）
∴∠FOB=______．
八.巩固练习
1．下列说法正确的是（ ）
A.同位角相等 B.同旁内角互补
C.若，则互补 D.对顶角相等
2．同一平面内有三条直线，若，则与（ ）
A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合
3．一个人从A点出发向北偏东方向走了4m到B点，两从B点向南偏西的方向走了3m到C点，那么等于（ ）
A. B. C. D.
4．如图2-11，直线AB.CD相交于O点，∠AOD与∠BOD叫做______角；∠AOD与∠BOC叫______角；若∠AOD=2∠BOD，则∠BOD=______度，∠AOC=______度．

5.如图2-14，直线AD.BC被CE所截，∠C的同位角是______，同旁内角是______；∠1与∠2是_____.____被____所截得的_____角；AB.CD被AD所截，∠A的内错角是______，∠A和∠ADC是______角；AB.CD被BD所截，_______和______是内错角．
6.如图2-15，∵AO⊥OC，OB⊥OD∴∠1______∠2（    ）
7.已知：如右图，FE⊥AB，CD⊥AB，∠1=∠2，求证：∠AGD=∠ACB。

8．已知：如图2-17，COD是直线，且∠1=∠3，说明A.O.B三点在一条直线的理由可以写成：
∵COD是一条直线（    ）
∴∠1+∠2=______（    ）
∵∠1=∠3（    ）
∴ ∠______＋∠3=______
∴A,O,B在一条直线上．

初一数学寒假培优训练二
（平行线的性质）
一.知识点讲解:平行线的特征
1．两直线平行，同位角相等。
2．两直线平行，内错角相等。
C
A
B
D
1
3．两直线平行，同旁内角角互补。
例1 如图所示，AB∥CD，AC∥BD。分别找出与∠1相等或互补的角。

（例1）
练习：
1．如图2—46，两条直线被第三条直线所截，则 ( )
A.同位角必相等 B．内错角必相等 C.同旁内角必互补 D．同位角不一定相等
2．如图2—47，DE∥BC，DF∥AC．在图中和∠C相等的角有 ( )
A．1个 B．2个 C. 3个 D．4个

A
B
C
D
例2 如图，AB∥CD，∠B=∠D，，比较∠A和∠C的大小，你是怎样推论的？

（例2）
练习：
1. 如图2—54，若AB∥EF，BC∠DE，则∠E+∠B=___________.
2. 如图2—55，已知∠1=∠2，∠BAD=57°，则∠B=________.
3. 如图2—56所示，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=70°，则∠EDC=______.

例3 如图，AB∥CD，求证：∠E＝∠A＋∠C．

(例3)
练习：
1．如图2—58，AB∥CD，则∠1+∠A+∠B=______.
2． 完成下列推理：
如图2—59，已知∠1=36°，∠C=74°，∠B=36°，求∠4的度数．
∵ ∠1= ______ =36°，
∴ _______∥________ ( )．
∴ ∠4=______=________( )．

3. 如图2—43，求证：三角形的内角和等于180°．

例4 如图，已知AB∥CD，∠BAE＝40°，∠ECD＝62°，EF平分∠AEC．求∠AEF的度数．

（例4）
练习：
1. 如图2—52所示，AB∥CD，∠1=50°，则∠2=___________.
2. 如图2—53，∠ABD=∠CBD，DF∥AB，DE∥BC,则∠1与∠2的大小关系是________.

例5 如下图，已知CB⊥AB，点E在AB上，且CE平分∠BCD，DE平分∠ADC，∠EDC＋∠DCE＝90°．求证：DA⊥AB．

（例5）
练习：
1. 已知：如图2—60，∠1=∠2，∠C=∠D．求证：∠A=∠F．

2. 如图2—61所示，已知直线MN分别与直线AB.CD相交于E.F，AB∥CD，EG平分∠BEF，FH平分∠CFE．求证：EG∥FH．

例6 如图2—37，AB∥CD，直线EF分别交AB.CD于正.F，EG平分∠BEF，若∠1=72°，则∠2=___度．

练习：
如图2—64所示，已知MN⊥AB，垂足为G，MN⊥CD，垂足为H，直线EF分别交AB.CD于G.Q，∠GQC=120°．求∠EGB和∠HGQ的度数．

点拨：(1)聪明的同学会问：过A点作EF∥BC，可达到证明的目的；那么过B点或C点作平行线是不是也可行?——均可行．这就是思维的灵活性；
(2)让思维飞扬起来：本题可以推广吗?——可以．三边形(即三角形)的内角之和为180°；
四边形的内角和为2×180°(如图2—44)；
五边形的内角和为3×180°；……；
n边形的内角和为(n-2)180°(n边形可以分为(n-2)个小三角形的内角和)．
二：巩固训练
1．下列说法正确的是 ( )
A．两条平行线被第三条直线所截，那么有3对内错角相等 B．平行于同一直线的两直线平行
C．垂直于同一直线的两直线垂直 D．两直线被第三条直线所截，同位角相等

2.两条平行线被第三条直线所截，其同位角的平分线可以组成 ( )
A.2条平行线，2个直角 B. 2条平行线，4个直角 C.2组平行线，4个直角 D.2组平行线，16个直角
3.如图2—48，AB⊥FF，CD⊥EF，∠1=∠F=45°，那么与∠FCD相等的角有 ( )
A．1个 B．2个 C. 3个 D．4个
4．如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这个角的度数是 ( )
A.50°或130° B.60°或120° C．65°或115° D.以上都不是
5．如图2—49所示，如果AD∥BC，则：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠1+∠3=∠2+∠4．上述结论中一定正确的是 ( )
A.只有① B.只有② C.①和② D．①.②.③
6．如图2—50，直线a与b相交，直线c与d平行，图中内错角共有 ( )
A．48对 B．24对 C．16对 D．8对
7．如图2-51所示，AB∥CD，AC∥BD，下面推理不正确的是 ( )
A．∵AB∥CD(已知)，∴∠5=∠A(两直线平行，同位角相等)
B．∵AB∥CD(已知)，∴∠3=∠4(两直线平行，内错角相等)
C．∵AB∥CD(已知)，∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等)
D．∵AC∥BD(已知)，∴∠3=∠4(两直线平行，内错角相等)
8．如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角只能 ( )
A．相等 B．互补 C相等或互补 D．相等且互补
9．若两条平行线被第三条直线所截，则同旁内角的平分线相交所成的角的度数是________.
10．若一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角______.
11．如图2—57，DH∥EG∥BC，DC∥EF，则与∠1相等的角有_______个．

12．已知：如图2—62，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．
求证：EF平分∠BED．

【综合能力训练】
13．若两条平行线被第三条直线所截，则一对同位角的平分线的位置关系是（　）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．不能确定
14．若两条平行线与第三条直线相交，那么一组内错角的平分线互相（　）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．重合
15．如下图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中与∠BFE相等的角（不包括∠BFE本身）的个数应是（　）
A．2个 B．4个 C．5个 D．6个

（15题） （16题）
16．如上图，已知AB∥CD，AD∥BC，∠B＝50°，∠EDA＝60°，则∠CDO＝_________．
17．如下图，已知CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED＝50°，求∠EDC的度数．

（17题）

18．如下图，已知AB∥DF.DE∥BC，∠B＝65°，求∠BOE.∠D的度数．

（18题）

初一数学寒假培优训练三
（平行线性质及几何推理语言专题训练）

一.平行线的性质 【性质定理】
1.平行线的性质一： 。
2.平行线的性质二： ．
3.平行线的性质三：
A
B
C
D
E
【推理语言训练经典例题】
例1 已知：如图，∠ADE=60°，∠B=60°，∠C=80°。问∠AED等于多少度？为什么？
答： ∠AED= 。
理由：∵ ∠ADE=∠B=60° （已知）
∴ DE//BC （ ）
∴ ∠AED=∠C ( ) (例1)
∵∠C =80°
∴∠AED= 。
练习：
1.如图：
（1）∵ AD∥BC（已知）
∴ ∠B+ =1800（ ）；
（2）∵∠1= （已知）
∴ ∥ （ ）；
2.如图，已知∠1=1350,∠8=450,直线a与b平行吗?说明理由：
（1）∵∠1=1350 (已知)
∴ ∠2=
∵∠2=∠
∴ a∥b（ ）
（2）∵∠8=450（已知）
∴ ∠6=∠8=450 （ ）
∵ + =1800
∴ a∥b （ ）
例2 已知：如图，∠1=∠ABC=∠ADC，∠3=∠5，∠2=∠4，∠ABC+∠BCD=180°。
(1)∵∠1=∠ABC(已知)
∴AD∥ ( )
(2)∵∠3=∠5(已知)
A
B
C
D
1
2
3
4
5
∴AB∥ ( )
(3)∵∠2=∠4(已知)
∴ ∥ ( )
(4)∵∠1=∠ADC(已知)
∴ ∥ ( ) （例2）
(5)∵∠ABC+∠BCD=180°（已知）
∴ ∥ ( )
练习：
1. 如图：
（1）∵ EF∥AB，（已知）
∴ ∠1= （ ）；
（2）∵ ∠3= （已知）
∴ AB∥EF （ ）；
（3）∵ ∠A= （已知）
∴ AC∥DF （ ）；
（4）∵ ∠2+ =1800（已知）
∴ DE∥BC （ ）；
（5）∵ AC∥DF（已知）
∴ ∠2= （ ）；
（6）∵ EF∥AB（已知）
∴ ∠FCA+ =1800（ ）
2．下列说法错误的是( )
A. 内错角相等，两直线平行．　　 B. 两直线平行，同旁内角互补．
C. 相等的角是对顶角． D. 等角的补角相等．
3.一个角的余角是46°,这个角的补角是( )
A.134° B.136° C.156° D.144°

例3 如图：
(1)∵∠A= （已知）
A
B
C
D
E
F
1
2
3
∴AC∥ED( )
(2)∵∠2= (已知)
∴AC∥ED( )
(3)∵∠A+ =180°(已知)
∴AB∥FD( ) （例3）
(4)∵AB∥ (已知)
∴∠2+∠AED=180°( )
(5)∵AC∥ (已知)
∴∠C=∠1( )
练习：
1.如图:∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠1=∠3（ ）
又∵∠1=∠2(已知)
∴_________=∠2
∴_________∥_________（ ） （练习1）
∴∠AED=_________（ ）
2.如图4，已知AB∥DE，∠A=150°，∠D=140°，则∠C的度数是（ ）
A.60° B.75° C.70° D.50°
3.若两条平行线被第三条直线所截，则同一对同位角的平分线互相 （ ）
A.垂直 B.平行 C.重合 D.相交 （练习2）
例 4 如图，a∥b，∠1=122°，∠3=50°，求∠2和∠4的度数。

（例4）

练习：
1.如图，直线a与b平行，∠1＝(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,求∠3的度数。

（练习1）
2.如图，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=_________.
3.如图,已知CE是DC的延长线，AB∥DC，AD∥BC，若∠B=60°，则∠BCE=_________，∠D=_________，
∠A=_________.

（练习2） （练习3）
【巩固练习】
1．如图，AB∥CD，∠1＝102°，求∠2.∠3.∠4.∠5的度数，并说明根据？

2．如图，EF过△ABC的一个顶点A，且EF∥BC，如果∠B＝40°，∠2＝75°，那么∠1.∠3.∠C.∠BAC＋∠B＋∠C各是多少度，为什么？
3.如果∠A＝35°18′，那么∠A的余角等于＿＿＿＿＿；
4.一个角的补角比这个角的余角大＿＿＿度；
5.推理填空，如图③

∵∠B＝＿＿＿；
∴AB∥CD（＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）；
∵∠DGF＝＿＿＿；
∴CD∥EF（＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）；
∴AB∥EF；
∴∠B＋＿＿＿＝180°（＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）；

【综合训练】
1．如图1示，∠AOB=90°，∠COD=90°，则∠AOD与∠1的
关系是 ，∠AOD与∠BOC的关系是 ，
理由是 。

2.如图2，直线AB与CD交于点O，指出图中的一对对顶
角 ，如果∠AOC=40°那么∠BOD= 。
3.如图2，∠AOC与∠AOD互补，∠BOD与∠AOD互补，
则可得∠AOC=∠BOD，这是根据 。

4.如图3，∠1的同位角是 ，∠1的同旁内角是 ，
∠1的内错角是 。
5.如图3，已知a∥b。
若∠1=43°，则∠6= ，理由是 ；
若∠4=128°，则∠7= 。

6.如图4是一条街道的两个拐角∠ABC与∠BCD均为140°，
则街道AB与CD的关系是 ，
这是因为 。
7.已知一个角等于它的余角的一半，则这个角的度数是 。
8.一对邻补角的平分线的夹角是 度

9.已知:如图,∠1=∠2,则有( )
A.AB∥CD B.AE∥DF C. AB∥CD 且AE∥DF D.以上都不对
10.如图5,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图∠1与∠2的关系是( )
A.对顶角 B.互余 C.互补 D相等
11. 下列说法正确的是( ) 图5
A.相等的角是对顶角 B.一对同旁内角的平分线互相垂直
C.对顶角的平分线在一条直线上 D.同位角相等
12.如图6，直线a∥b，若∠1=118°，则∠2=_________.

图6

13.如图7，直线AB与CD平行吗？说明理由。

图7

14.如图8，已知AB∥A′B′，BC∥B′C′，那么∠B与∠B′有何关系？为什么？

图8
15.如图9已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。
（提示：过E作EF∥AB）

图9
16.如图10，已知，，．试判断与的关系，并说明你的理由．

图10

图11
17.如图11，，，．问吗？为什么？

初一数学寒假培优训练四
（平行线的判定与性质综合训练专题）
[一]平行线的判定
一.填空
1．如图1，若A=3，则 ∥ ； 若2=E，则 ∥ ；
若 + = 180°，则 ∥ ．
a
b
c
d
1
2
3
图3
图2
4
3
2
1
5
a
b

A
C
B
4
1
2
3

5
图4
A
B
C
E
D
1
2
3
图1

2．若a⊥c，b⊥c，则a b．
3．如图2，写出一个能判定直线a∥b的条件： ．
4．在四边形ABCD中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （ ）．
5．如图3，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。
6．如图4，∠1.∠2.∠3.∠4.∠5中， 同位角有 ；
内错角有 ；同旁内角有 ．
7．如图5，填空并在括号中填理由：
（1）由∠ABD =∠CDB得 ∥ （ ）；
（2）由∠CAD =∠ACB得 ∥ （ ）；
（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （ ）
A
D
C
B
O
图5
图6
5
1
2
4
3
l1
l2
图7
5
4
3
2
1
A
D
C
B

8．如图6，尽可能多地写出直线l1∥l2的条件： ．
9．如图7，尽可能地写出能判定AB∥CD的条件来：