从一道解析几何错题谈起.pdf
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1、42中学数学研究2024 年第 3 期(上半月刊)从一道解析几何错题谈起广东省广州市华南师范大学附属中学(510630)周建锋摘要解析几何是几何和代数的完美结合,在处理解析几何问题时,既要考虑几何特性,又要考虑代数特性.然而,因为忽视一些隐含条件导致解题出错甚至命题出错的情况经常发生.本文从一道命题出错的高考模拟题出发,剖析了一些问题出错的根源,对解析几何的教学有一定的参考意义.关键词 解析几何;数形结合1 问题的提出新课程改革对数学核心素养的培养尤为关注,而科学性、严谨性是一切素养的基础.学习高中数学解析几何,既有对图形特性的研究,也有对代数特性的研究,将数与形完美结合,对培养学生的直观想象
2、和数学运算有着十分重要的意义.然而,因为圆锥曲线图形的特殊性,极易出现逻辑或运算错误,甚至包括出题者都极易犯错.笔者在 2021 年某地高考模拟题中发现一道错题,原题及解答如下:已知 M(2,0),N(2,0),动点 P 满足:直线 PM 与直线 PN 的斜率之积为常数 12.设动点 P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线 C 的方程;(2)直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中垂线与 y 轴交于点(0,12),点 O 为坐标原点,OA OB=0,求|AB|.解(1)x22+y2=1(x=2)(过程略)(2)错解当直线 l 的斜率为 0 或不存在时均与题设矛盾,故直线 l 的斜率
3、存在且不为 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),l:y=kx+t.由x22+y2=1,y=kx+t,得(2k2+1)x2+4ktx+2t2 2=0.所以 =8(2k2+1 t2)0,x1+x2=4kt2k2+1,x1x2=2t2 22k2+1.设 A,B 的中点为 D(m,n),则m=x1+x22=2kt2k2+1,n=km+t=t2k2+1.故线段 AB 的中垂线方程为 y n=1k(x m).当 x=0时,y=mk+n=12,所以 2t2k2+1+t2k2+1=12,化简得 1+2k2=2t.因为 OA OB=0,得 x1x2+y1y2=0.又 y1y2=(kx1+t)(kx2+t
4、)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2,所以 x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+kt(x1+x2)+t2=(k2+1)(2t2 2)2k2+14k2t22k2+1+t2=0,化简得 2k2+2=3t2.又 1+2k2=2t,得 t=1 或 t=13(舍去),所以 k2=12.所以|AB|=1+k28(2k2+1 t2)2k2+1=3.2 问题辨析本题的解答表面上看似乎没什么问题,但仔细推敲发现,曲线 C 去掉了两个顶点(2,0),意味着直线 l:y=kx+t不能过这两点,即 2k+t=0.结合 2k2+2=3t2,所以2k2+2=6k2,即 k2=12,这与最后算出的 k2=12矛
5、盾,所以符合题目条件的弦 AB 是不存在的!a3a4am3+am4+2m 261m(1 1a3a4+1),anan+1amn+amn+1+2m 261m(1 1anan+1+1),由权方和不等式得a1a2am1+am2+2m 2+a2a3am2+am3+2m 2+a3a4am3+am4+2m 2+anan+1amn+amn+1+2m 26nm1m(1a1a2+1+1a2a3+1+1a3a4+1+1anan+1+1)6nm1m(1+1+1+1)2a1a2+a2a3+a3a4+anan+1+n6nm1mn2a21+a22+a23+a2n+n=nm1mn2+n=nm(+n)故推广 8 得证.参考文献
6、1 徐凤旺,刘天明,成敏.一道 2022 年数学奥林匹克试题的多解探究及推广 J.中学数学研究(华南师范大学版),2023,(11):24-26.2024 年第 3 期(上半月刊)中学数学研究43有些曲线由于完备性,曲线中的某些点是不存在的,要特别注意这些不存在的点是否会对后面的问题产生影响.本题中的椭圆去掉了左、右两个顶点,则直线 l 不能过这两个顶点,忽视这个隐含条件导致了错题的产生.3 其它典型案例解析几何类似的由于忽视隐含条件导致求解或命题错误的例子还有很多,再举几例:3.1 忽视曲线的完备性例 1(2010 年广东省高考数学试卷(理科)第 20 题)一条双曲线x22 y2=1 的左、
7、右顶点分别为 A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式;(2)若过点 H(0,h)(h 1)的两条直线 l1和 l2与轨迹E 都只有一个公共点,且 l1 l2,求 h 的值.1错 解(1)由 A1,A2为 双 曲 线 的 左、右 顶 点 知,A1(2,0),A2(2,0),A1P:y=y1x1+2(x+2),A2Q:y=y1x12(x2),两式相乘得:y2=y21x21 2(x22),而点 P(x1,y1)在双曲线上,所以x212y21=1,即y21x21 2=12,故 y2=12(x2 2),即x22
8、+y2=1.(2)设 l1:y=kx+h,则由 l1 l2知,l2:y=1kx+h.将 l1:y=kx+h 代入x22+y2=1 得x22+(kx+h)2=1,即(1+2k2)x2+4khx+2h2 2=0,由 l1与 E 只有一个公共点知,=16k2h2 4(1+2k2)(2h2 2)=0,即 1+2k2=h2.同理,由 l1与 E 只有一个交点知,1+2 1k2=h2,消去 h2得1k2=k2,即 k2=1,从而h2=1+2k2=3,即 h=3.辨析 上述解答是当时许多考生的错误解法.首先第(1)问,x1=2,否则 P,Q 重合,不合题意,而此时A1P 与A2Q交点恰为(2,0),所以椭圆
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