广泛联想 多解探究——对一道“华数之星”试题的解法探究及思考.pdf
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1、上半月(初中版)2024年第3期(总第305期)竞赛之窗解题的核心是把待解决的问题与自己已有的知识经验,尤其是解决类似问题的经验联系起来,进而找到解决问题的思路与方法.解题思路的探寻有三个基本环节:一是观察,即审题,解决任何问题都离不开已知的条件与事实;二是联想,包括激活与重组,创新、创造离不开继承,任何问题的解决都要建立在相关知识与经验的基础上;三是预见,包括猜想与转化.联想指由眼前所感知的信息,激活大脑中存储的相关信息,创造性地提出新的信息组合的思想活动过程.联想既是重组信息、用好信息的关键,也是形成直觉、产生预见的关键,这表明了联想在化归中的作用.而解题的实质就是一个不断化归的过程.从不
2、同的角度观察,形成广泛的联想,可以得到多种解决问题的方法.本文以某次“华数之星”青少年数学大会数学水平测试中的一道四级试题为例,从待求结论、已知条件、图形特征等方面入手进行广泛联想,形成多种解法,以充分体现联想思维在数学解题中的重要作用.一、题目呈现题目如图1,在ABC中,A=60,ABC=80,点I为ABC的内心,连接BI,CI.求证:CI=AB.BCIA图1由已知,可得下列结论:ACB=40;ABI=CBI=40;ACI=BCI=20;BIC=120.(以上结论在下面的证明中可以直接应用.)二、广泛联想联想1:三角形中边与角之间的关系.题目给出的条件都是关于角的,但结论是要证明边相等.解决
3、问题的方法是将条件与结论联系起来,于是思考三角形中边与角之间的关系是解题的首选方广泛联想多解探究对一道“华数之星”试题的解法探究及思考陆祥雪(江苏省泰州中学附属初级中学)摘要:通过对一道“华数之星”测试题条件与结论的广泛联想,实现一题多解,使学生的思维由浅表走向深入,揭示问题的本质,进行深度学习,有效落实数学核心素养培养目标.关键词:一题多解;广泛联想;核心素养中图分类号:G633.6文献标识码:A文章编号:1673-8284(2024)03-0055-05引用格式:陆祥雪.广泛联想多解探究:对一道“华数之星”试题的解法探究及思考 J.中国数学教育(初中版),2024(3):55-59.作者简
4、介:陆祥雪(1965),男,中学高级教师,主要从事初中数学教学研究.55上半月(初中版)2024年第3期(总第305期)竞赛之窗案.在初中所学的知识范围内,学生容易想到直角三角形边角之间的关系.运用差异分析法,发现需要作垂线来构造直角三角形.于是得到解法1.解法1:如图2,过点B作BFAC于点F,过点C作CEBI,交BI的延长线于点E.BCIAEF图2在RtABF中,AB=BFsinA=BFsin60.因为CIE=IBC+ICB,所以CIE=60.在RtICE中,CI=CEsinCIE=CEsin60.因为在RtBCF中,BF=BCsinFCB=BCsin 40,在RtBCE中,CE=BCsi
5、nEBC=BCsin 40,所以BF=CE.所以AB=CI.事实上,若运用高中阶段的正弦定理解此题,会更加便捷,但是此知识不在义务教育数学课程标准(2022年版)要求的范围内,故在此不作介绍,读者可自行尝试.初中阶段证明线段相等的方法比较多,常用的有三角形全等、等角对等边、平行四边形的性质、圆中两条弧与弦之间的关系等.联想2:构造全等三角形.若想通过三角形全等证明CI=AB,则需要寻找分别包含CI和AB的两个三角形全等.图中现有的ICB和ABC并不全等,故可以考虑构造分别含有CI,AB的全等三角形.以当前已知的ICB或ABC为基础进行构造是考虑之一,相当于将其中一个三角形剪贴到另一个三角形的位
6、置,剪贴时将相等的边重合或相等的角重合,这样考虑构造的方向比较明确.具体而言,要证IC=AB,可以考虑以IC为一边构造三角形与ABC全等.分别将点A与点I、点B与点C对应,在IC上方构造三角形与ABC全等,可得解法2.解法2:如图3,过点C作BA的平行线,交BI的延长线于点D,可得D=ACB,DIC=A,CD=CB.即可得IDC ACB.所以IC=AB.BCIAD图3分别将点A与点I、点B与点C对应,在IC下方构造三角形与ABC全等(实际上是将图3中的ICD沿IC翻折而成),可得解法3.解法3:如图4,以BC为边在BC下方作等边三角形BCD,连接ID,可得B,D,C,I四点共圆.所以DIC=D
7、BC=A=60.因为DCI=ABC=80,CD=BC,所以IDC ACB.所以CI=AB.BCIAED图4分别将点A与点C、点B与点I对应,在IC下方构造三角形与ABC全等,可得解法4.解法4:如图5,分别过点C和点I作直线IB,AB的平行线,交于点D,ID与BC交于点M,可得DIC=ABC,DCI=A,ID=BC.所以IDC BCA.所以IC=AB.BCIAMD图5 56上半月(初中版)2024年第3期(总第305期)竞赛之窗同理,可以以AB为边构造三角形与IBC全等.分别将点A与点I、点B与点C对应,在AB左侧构造三角形与IBC全等,可得解法5.解法5:如图6,以点B为顶点在ABC外作AB
8、D=20,交CA的延长线于点D,可得BCI=ABD,IBC=D,BC=BD.所以ICB ABD.所以IC=AB.BCIAD图6分别将点A与点I、点B与点C对应,在AB的右侧构造三角形与IBC全等,可得解法6.解法6:如图7,作ABI的平分线交ABC的外接圆于点D,连接CD,AD,可证得BCD是等边三角形.所以 BC=BD.又因为IBC=ADB,ICB=ABD,所以ICB ABD.所以IC=AB.BCAD图7I根据A=60,BIC=120,联想到BIC的外角与A相等,考虑到要证明IC=AB,故作垂线构造全等三角形,可得解法7.解法7:如图8,过点B作BFAC于点F,过点C作CEBI,交 BI 的
9、延长线于点 E,可以证得CBE BCF.所以 CE=BF.因为CIE=A=60,所以ICE ABF.所以IC=AB.BCIAEF图8联想3:利用60角构造等边三角形,转化线段证明全等.在要证明的相等线段所在的三角形不全等的情况下,可以考虑先等量代换,再证明三角形全等.由60角联想到等边三角形,从而转化线段.由A=60及BIC的邻补角等于60,可得解法8和解法9.解法 8(转化 AB):如图 9,在 AC 上截取 AD=AB,连接BD,则ABD是等边三角形.所以BIC=BDC=120,ICB=DBC.又因为BC=CB,所以ICB DBC.所以IC=BD.所以IC=AB.BCIAD图9解法9(转化
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