关于角平分线的研究拓展与应用.pdf

2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究35关于角平分线的研究拓展与应用浙江省宁波市效实中学(315012)徐靖杰童益民摘要文章主要研究角平分线在数学解题中的应用,研究了关于角平分线的基本结构,并提出处理角平分线的一些思想与方法,并进行了一定的归纳拓展,得到一些结论,以此加深对角平分线的理解与应用.关键词 角平分线;面积方法;向量方法数学解题就是在探求已知条件和目标之间的联系通道,此为数学解题的本质.角平分线是高中数学中频繁出现的条件,其性质丰富多样,应用技巧灵活多变,有诸多特殊结论.对于有关角平分线基本结构的归纳、总结与拓展,对数学解题应用有很大的帮助.1 角平分线的研究拓展基本结构 1 已知 ABC 中边 b,c 与角 A,处理角平分线 AD.题 1如 图 1,已 知ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,b=4,c=2,A=120,求角平分线 AD 的长.解 1:利用面积方法 SABC=SABD+SACD,12bcsinA=12cADsinA2+12b ADsinA2,12 4 2 sin120=12 2 ADsin60+12 4 ADsin60,AD=43.解 2:利用向量方法令 AD=(AB|AB|+AC|AC|),B,D,C 三 点 共 线,|AB|+|AC|=1,2+4=1,=43,AD2=2(1+1+2 1 1 cosA)=169,AD=43.小结 1:利用面积方法处理角平分线的问题是常用的方法,利用面积方法还可以得到一些常用的结论.结论 1:角平分线定理ABC 中,AD 为 BAC 的角平分线,则ABAC=BDCD.证 明:设 BAD=CAD=,SABD=12AB ADsin,SACD=12AC ADsin,SABDSACD=12AB ADsin12AC ADsin=ABAC,设 ABC 边 BC 上的高为 h,SABD=12BD h,SACD=12CD h,SABDSACD=12BD h12CD h=BDCD,ABAC=BDCD.结论 2:张角定理ABC 中,点 D 是边 BC 上的点,则sinBADAC+sinCADAB=sinBACAD.证明:SABC=SABD+SACD,12AB AC sinBAC=12AB AD sinBAD+12AD AC sinCAD,两边同除以 AB AC AD,可得sinBADAC+sinCADAB=sinBACAD.基本结构 2已知 ABC 中边 a,b,c,处理角平分线AD.题2 已知ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a=27,b=4,c=2,求角平分线 AD 的长.解:根据角平分线定理,可得ABAC=BDCD=12,BC=27,BD=273,CD=473.法 1:利用余弦定理 ADB+ADC=180,cosADB+cosADC=0,AD2+BD2 AB22AD BD+AD2+CD2 AC22AD CD=0,AD2+289 42AD 273+AD2+1129 162AD 473=0,AD=43.法 2:利用向量方法 DC=2 BD,AC AD=2(AD AB),AD=23 AB+13 AC,AD2=49 AB2+19 AC2+49 AB AC=49 c2+19 b2+49b2+c2 a22=169,AD=43.小结 2:已知 ABC 的三边长,用角平分线定理可得BD 与 CD 的比值,进而得到 BD 与 CD 的值,利用余弦定理,或利用向量形式的余弦定理 AB AC=b2+c2 a22,都可以得到 AD 长,利用此方法还可以得到一些常用的结论.36中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)结论 3:斯特瓦尔特定理设 D 为 ABC 的边 BC 上异于 B,C 的任一点,则有AB2 CD+AC2 BD=AD2 BC+BD CD BC.证明:(法 1)由余弦定理,得 AB2=AD2+BD22ADBDcosADB,AC2=AD2+CD22ADCDcosADC,ADB+ADC=180,cosADB+cosADC=0,AB2 CD+AC2 BD=AD2 CD+BD2 CD+AD2 BD+CD2 BD=AD2(CD+BD)+BD CD (BD+CD)=AD2 BC+BD CD BC.(法 2)令 BD=BC,=BDBC,AD=(1 )AB+AC,AD2=(1 )2 AB2+2 AC2+2(1 )AB AC=(1 )2AB2+2AC2+2(1 )AB2+AC2 BC22=(1 )AB2+AC2+(1)BC2,即 AD2=(1 )AB2+AC2+(1)BC2,AD2=(1 BDBC)AB2+BDBCAC2+BDBC(BDBC 1)BC2=CDBCAB2+BDBCAC2+BDBCCDBCBC2.AB2 CD+AC2 BD=AD2 BC+BD CD BC.结论 4:斯库顿定理ABC 中 AD 为 BAC 的 角 平 分 线,则 AD2=AB AC BD CD.证明:根据角平分线定理,可得ABAC=BDCD,BD=AB CDAC,CD=AC BDAB,根据斯特瓦尔特定理,可得AD2=AB2 CD+AC2 BDBC BD CD=AB2AC BDAB BC+AC2AB CDAC BC BD CD=AB ACBD+CDBC BD CD=AB AC BD CD.2 角平分线的应用例 1(2015 全国新课标卷 2)ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分 BAC,ABD 的面积是 ADC 面积的 2 倍.(I)求sinBsinC;(II)若 AD=1,DC=22,求 BD 和 AC 的长.解(I)利用正弦定理和角平分线定理,可得sinBsinC=ACAB=CDBD=SACDSABD=12.(II)CDBD=12,DC=22,BD=2.法 1:利用余弦定理,可得 AB2=AD2+BD2 2ADBD cosADB,AC2=AD2+CD2 2AD CDcosADC,AB2+2AC2=3AD2+BD2+2CD2=6,AB=2AC,AC=1.法2:利用斯库顿定理,可得AD2=ABACBDCD,1=AB AC 2 22,AB AC=2,AB=2AC,AC=1.例 2(2018 年 高 考江苏卷)在 ABC 中,角A,B,C 所 对 的 边 分 别为 a,b,c,ABC=120,ABC 的平分线交AC 于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.解 1:如图 2,利用面积方法,可得 SABC=SABD+SBCD,12acsinB=12c BDsinB2+12a BD sinB2,12acsin120=12c sin60+12a sin60,ac=a+c,1a+1c=1,4a+c=(4a+c)(1a+1c)=4+1+ca+4ac5+2ca4ac=9.(当ca=4ac,即 a=32,c=3 时,取到最小值)解 2:利用张角定理,可得sinABDBC+sinCBDAB=sinABCBD,sin60a+sin60c=sin1201,1a+1c=1,4a+c=(4a+c)(1a+1c)=4+1+ca+4ac5+2ca4ac=9.(当ca=4ac,即 a=32,c=3 时,取到最小值)例 3如图 3,在 ABC中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=56,c=23,ABC 平分线交 AC 于点 D,BD=27,求 ABC 的面积 S.解:ABD 中,利用余弦定理,可得 BD2=AB2+AD2 2AB AD cosA,解得 AD=2.不妨设 CD=t,由角平分线定理,ABBC=ADCD,可得 BC=3t.2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究37从风向标到罗马路 例谈反比例函数的平积比性质华南师范大学附属黄埔实验学校(510898)周健鸿摘要从 2020 年始,反比例函数成为了中考的热门,无论是解析式还是 k 的几何意义的考察,现如今反比例和一次函数、几何图形的拼合已经成为了中考解答题的必考考点.新课标的发布,每个教育人都已经触摸到了立德树人的风向标,更触摸到了素养培养的智慧导向.那么在国家颁布的文件、标准和要求的当下,我们不能是等风来,而应是追风去.本文就在反比例函数基本图形的基础上通过模型的构建归纳出反比例函数图象的等积性质、等比性质和平行性质.关键词 反比例;性质归纳;模型构建培养核心素养能力是当下的潮流话题,素养不等同于能力,不可复制但可嫁接.嫁接的前提是成功的因素已经得到了萃取.嫁接的结果是得到检验的被认可的经验模型能够成功的移植到不同的土壤中去.而学生在不同的土壤中运用经验模型的过程就是二次生长的过程,变提供支持的“外援式”模型为实现自身发展的“内生性”系统,模型就得到了自我升华与构建.本文将着力于总结反比例的“平积比”性质,为教育者提供一条经验反哺、自我迭代、共创价值的嬗变之路.希望在这样的反比例模型迭代中,实现渐进式的创新和螺旋式的上升,在扎扎实实的模型系统生长中,不断撬动变式转型的杠杆,迈向素养培养的变革新高度.打造反比例函数“平积比”性质图谱,为真实任务和深度体验提供孵化器.1 反比例函数的等积性质例 1如图,已知点 A,B 是反比例函数第一象限图象上的任意两点(不重合),连接 AB,OA,OB.过点 A,B 分别作 x 轴的垂线,垂足为 C,D,AC,OB 交于点 E.求证:SAOB=S梯形ABDC.法 1:利用余弦定理ADB+CDB=180,cosADB+cosCDB=0.AD2+BD2 AB22AD BD+CD2+BD2 BC22CD BD=0,4+28 122 2 27+t2+28 3t22t 27=0,t2 5t 14=0,t=7,AC=9,S=12AB AC sin56=12 23 9 12=932.法 2:利用向量方法 A,D,C 三点共线,BD=ADAC BC+CDAC BA,BD2=AD2AC2 BC2+CD2AC2 BA2+2ADACCDAC BC BA=AD2AC2 BC2+CD2AC2 BA2+2ADACCDACAB2+BC2 AC22.28=4(t+2)2 3t2+t2(t+2)2 12+22t(t+2)212+3t2(t+2)22整理得,t3 3t2 24t 28=0,(t 7)(t+2)2=0,t=7,AC=9,S=12AB AC sin56=932.法3:利用斯库顿定理,可得BD2=ABBCADCD,28=23 3t 2 t,t=7,AC=9,S=12AB AC sin56=932.3 总结与角平分线模型有关的问题,可以已知条件求角平分线长,也可以已知角平分线长,求其它结论,常见的处理方法是利用角平分线定理,及余弦定理等解三角形.本文利用面积方法和向量方法,拓展得到角平分线定理、张角定理、斯特瓦尔特定理及斯库顿定理,面积方法与向量方法是处理角平分线的一般方法,而灵活应用角平分线定理、张角定理及斯库顿定理,对快速解题有很好的帮助,在掌握常规方法的基础上,对学生进行一定的拓展与应用,可以拓宽他们的思维,更能系统的掌握相关的内容,更加灵活的解决问题.