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有趣的概率问题

　　保险业的兴起

　　18世纪的欧洲，因工商业的迅速发展，加之概率论的研究，兴起了一门崭新的行业――保险业. 保险公司为了获取利润，必须先调查统计火灾、水灾、意外死亡等事件的概率，据此来确定保险的价格.
　　例如，要确定人寿保险的价格，先统计各年龄段死亡的人数，如右表. 然后算出死亡概率，如40岁，死亡概率为765÷78 106≈0.009 8，如有一万个40岁的人参加保险，每人付A元保险金，死亡可得B元人寿保险金，预期这1万个人中死亡数是9.8人，因此，保险公司需付出9.8×B元人寿保险金，其收支差额10 000×A-9.8×B（元）就是公司的利润.
　　扑克牌中的概率
　　四条（四张同点数的牌）出现概率≈0.0 002 401；
　　同花（四张同花色的牌）出现概率≈0.001 981；
　　顺子（五张连续点数的牌）出现概率≈0.00 394；
　　同花顺（五张同花色的顺子）出现概率≈0.00 001 539；
　　葫芦（三张同点数，二张另同点数）出现概率≈0.00 144.
　　按照概率的大小，决定打牌的游戏规则：
　　同花顺>四条>葫芦>同花>顺子.
　　两个骰子的概率
　　装错信封
　　概率计算往往与组合计数有关，这里介绍一下“装错信封”问题.
　　装错信封问题由法国数学家蒙莫尔于1713年提出，并给出解法. 后来瑞士数学家伯努利提出等价命题. 大数学家欧拉称赞该问题是组合数学的妙题.
　　某人写了4封信，并在4只信封上写下4个收信人的地址与姓名. 但匆忙之中，他把所有信笺装错了信封. 问有几种可能的错装情况？
　　我们把信封记为A、B、C、D，
　　相应的信笺记为a、b、c、d.
　　两封信装错的可能性只有1种：Ab Ba
　　三封信装错的可能性只有2种：
　　Ab Bc Ca 和 Ac Ba Cb
　　四封信装错的可能性共有9种：
　　Ab Ba Cd Dc Ac Ba Cd Db Ad Ba Cb Dc
　　Ab Bc Cd Da Ac Bd Ca Db Ad Bc Ca Db
　　Ab Bd Ca Dc Ac Bd Cb Da Ad Bc Cb Da
　　同学的生日会相同吗
　　如果我说“班上一定有两个同学的生日是相同的！”你肯定不相信.但是，我告诉你，这是极可能发生的事.为什么呢？我们可以分析，1号同学与你的生日不同，那他的生日只能在一年365天中的另外364天中，即生日选择可能性为364/365；而2号同学与你和1号同学的生日不同，可能性为363/365；3号同学不同，可能性为362/365；如此类推，得到全班50名同学生日都不同的概率为365×364×…×316÷36550≈0.029 5，而50人中有人生日相同的概率为1-0.029 5=0.970 5. 这一算，你会相信了，生日相同的把握有97%呢！
　　路边的骗局
　　路边有人“摆地摊”，摊主拿了黑白各8个围棋子放进袋子里，然后对围观者说，凡愿摸彩的，每人先交1元钱，然后一次从袋中摸出5个棋子.奖励办法是摸到5个白子奖20元，摸到4个白子奖2元，摸到3个白子得小纪念品.不少人都想拿1元钱去碰碰“运气”，结果均大失所望.其实这是一个低级的骗局，只要计算一下得奖的可能性，你就会明白.
　　原来只有1/3的人可能得个几角钱的纪念品，想得20元钱的奖可要千里挑一.
　　汽车与山羊
　　这是一个美国的电视有奖参与游戏节目，主持人是蒙帝?霍尔.如果你被选中参加竞猜，便有机会赢得一辆汽车.节目现场有三扇门，后面藏着一辆汽车和两只山羊.如果你选择1号门，此时主持人（他知道汽车藏在哪儿）会按规则打开另一扇门，让大家看到一只山羊.同时会给你改变刚才选择的机会.你说改变不改变呢？究竟哪一种情况概率大呢？
　　这个问题引起公众和学者的广泛关注，解答更是众说纷纭.
　　正确的举措是选择“改变”，理由是选择改变，赢得汽车的概率为，选择不改变，概率仅有，同学们可以自己算一算.
　　睡美人的故事
　　这是根据法国童话故事《睡美人》编的一道概率趣题：
　　一位美丽的公主中了邪魔的诅咒，昏睡不醒.国王想尽方法进行治疗，却毫无效果，只好将她安放在城堡的密室之中.若干年后，一群求婚者慕名而来，不但闯入了城堡，而且找到了一串相关的钥匙.他们询问看门老人，只知道有一把钥匙能打开密室，却不知是哪一把.恰好钥匙数与求婚者人数相等，每人只可任取一把试开.谁有机会进入密室，以真爱唤醒公主呢？求婚者争先恐后，唯恐落在后面，失去了机会.
　　问题是，每人取一把钥匙试开是：1. 先开的概率大？2. 后开的概率大？3. 各人的概率都一样大？

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