立体几何大题.doc
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1、2016年7月9日数学周测试卷 一、解答题(共25小题;共325分)1. 如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 2(1) 在图中找出平面 ABCD,平面 ADD1A1,平面 BDD1B1 的一个法向量;(2) 以点 D 为坐标原点建立空间直角坐标系,求出(1)中三个法向量的坐标 2. 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,求 BD 与平面 A1C1D 所成角的余弦值 3. 设 a,b 分别是两条异面直线 l1,l2 的方向向量,且 cosa,b=12,求异面直线 ll 和 l2 所成的角 4. 如图,直三棱柱 ABCABC,BAC=90,AB=AC=2,AA=1,点 M 、
2、 N 分别为 AB 和 BC 的中点(锥体体积公式 V=13Sh,其中 S 为底面面积,h 为高)(1) 证明:MN平面AACC;(2) 求三棱锥 AMNC 的体积 5. 三棱锥 PABC 中,侧面 PAC 与底面 ABC 垂直,PA=PB=PC=3(1) 求证:ABBC;(2) 设 AB=BC=23,求 AC 与平面 PBC 所成角的大小 6. 如图,ABC 和 BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E,F 分别为 AC,DC 的中点(1) 求证:EFBC;(2) 求二面角 EBFC 的正弦值 7. 如图,四边形 ABCD 为正方形,QA 平面 ABCD
3、,PDQA,QA=AB=12PD(1) 证明:PQ 平面 DCQ;(2) 求棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积比值 8. 如图,在 ABC 中,B=90,AC=152,D,E 两点分别在 AB,AC 上,使 ADDB=AEEC=2,DE=3现将 ABC 沿 DE 折成直二面角,求:(1) 异面直线 AD 与 BC 的距离;(2) 二面角 AECB 的大小(用反三角函数表示) 9. 如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点(1) 证明:BC1平面A1CD;(2) 设 AA1=AC=CB=2,AB=22,求三棱锥 EA1CD 的体积 10. 如图,
4、正四棱锥 SABCD 的所有棱长均为 2,E,F,G 分别为棱 AB,AD,SB 的中点(1) 求证:BD平面EFG,并求出直线 BD 到平面 EFG 的距离;(2) 求点 C 到平面 EFG 的距离 11. 已知过球面上三点 A,B,C 的截面到球心的距离等于球半径的一半,且 AC=BC=6,AB=4计算球的表面积与体积 12. 如图,三棱柱 ABCA1B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上,ACB=90,BC=1,AC=CC1=2(1) 证明:AC1A1B;(2) 设直线 AA1 与平面 BCC1B1 的距离为 3,求二面角 A1ABC 的大小 13. 如图,四
5、棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,BA=BD=2,AD=2,PA=PD=5,E,F 分别是棱 AD,PC 的中点(1) 证明:EF 平面 PAB;(2) 若二面角 PADB 为 60, 证明:平面 PBC 平面 ABCD; 求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值 14. 如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,侧棱 A1A底面ABCD,ABAC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=5用向量法解决下列问题:(1) 若 AC 的中点为 E,求 A1C 与 DE 所成的角;(2) 求二面角 B1ACD1 (锐角)的余弦值 15. 已知在四棱锥 PABCD 中,底面 A
6、BCD 是矩形,且 AD=2,AB=1,PA 平面 ABCD,E,F 分别是线段 AB,BC 的中点(1) 证明:PFFD;(2) 在线段 PA 上是否存在点 G,使得 EG平面PFD ?若存在,确定点 G 的位置;若不存在,说明理由(3) 若 PB 与平面 ABCD 所成的角为 45,求二面角 APDF 的余弦值 16. 如图,直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AC=BC,AA1=AB,D 为 BB1 的中点,E 为 AB1 上的一点,AE=3EB1(1) 证明:DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线;(2) 设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45,求二面角 A1AC1B1 的大
7、小 17. 已知在四棱锥 PABCD 中,ADBC,ADCD,PA=PD=AD=2BC=2CD,E,F 分别为 AD,PC 的中点(1) 求证:AD平面PBE;(2) 求证:PA平面BEF;(3) 若 PB=AD,求二面角 FBEC 的大小 18. 如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点(1) 求异面直线 CC1 和 AB 的距离;(2) 若 AB1A1C,求二面角 A1CDB1 的平面角的余弦值 19. 如图 1,在等腰梯形 ABCD 中,BCAD,BC=12AD=2 A=60,E 为 AD 中点,点 O,F 分别为 BE,DE 的中点,将
8、ABE 沿 BE 折起到 A1BE 的位置,使得平面 A1BE 平面 BCDE(如图 2)(1) 求证:A1OCE (2) 求直线 A1B 与平面 A1CE 所成角的正弦值(3) 侧棱 A1C 上是否存在点 P,使得 BP 平面 A1OF,若存在,求处 A1PA1C 的值,若不存在,说明理由 20. 在正三角形 ABC 中,E,F,P 分别是 AB,AC,BC 边上的点,满足 AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)将 AEF 沿 EF 折起到 A1EF 的位置,使二面角 A1EFB 成直二面角,连接 A1B,A1P(如图2)(1) 求证:A1E平面BEP;(2) 求直线 A1E
9、与平面 A1BP 所成角的大小;(3) 求二面角 BA1PF 的余弦值 21. 如图,四面体 ABCD 中,O 是 BD 的中点,ABD 和 BCD 均为等边三角形,AB=2,AC=6(1) 求证:AO平面BCD;(2) 求二面角 ABCD 的余弦值;(3) 求 O 点到平面 ACD 的距离 22. 如图,已知 AB平面BEC,ABCD,AB=BC=4,CD=2,BEC 为等边三角形(1) 求证:平面ABE平面ADE(2) 求 二面角ADEB 的平面角的余弦值 23. 如图,在四棱锥 OABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,ABC=4,OA底面ABCD,OA=2,M 为 OA 的
10、中点,N 为 BC 的中点,以 A 为原点,建立适当的空间坐标系,利用空间向量解答以下问题:(1) 证明:直线 MN平面OCD;(2) 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小;(3) 求点 B 到平面 OCD 的距离 24. 如图,已知边长为 4 的菱形 ABCD 中,ACBD=O,ABC=60将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起得到三棱锥 DABC,设二面角 DACB 的大小为 (1) 当 =90 时,求异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值;(2) 当 =60 时,求直线 BC 与平面 DAB 所成角的正弦值 25. 如图,在四棱锥 ABCDE 中,底面 BCDE 为平行四边形,平面
11、ABE平面BCDE,AB=AE,DB=DE,BAE=BDE=90(1) 求异面直线 AB 与 DE 所成角的大小;(2) 求二面角 BAEC 的余弦值答案第一部分1. (1) 由正方体可得 DD1平面ABCD,AB平面ADD1A1,平面 ABCD 的一个法向量为 DD1,平面 ADD1A1 的一个法向量为 AB;连接 AC,ACBD,ACBB1,得 AC平面BB1D1D,平面 BDD1B1 的一个法向量为 AC (2) 如图,建立空间直角坐标系 Dxyz,可得 D10,0,2,A2,0,0,B2,2,0,C0,2,0 DD1=0,0,2,AB=0,2,0,AC=2,2,02. 以 AB,AD,
12、AA1 为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为 1,则 A10,0,1,C11,1,1,D0,1,0,设平面 A1C1D 的法向量为 n=x,y,z,则 nA1C1=0,nA1D=0,解得 n=1,1,1,BD=1,1,0,所以 BD 与平面 A1C1D 所成角 cos=223=63 所以 BD 与平面 A1C1D 所成角的余弦值是 333. 因为 cosa,b=12,a,b0,,所以 a,b=23所以 l1 和 l2 所成的角为 34. (1) 证法一:连接 AB,AC,由已知 BAC=90,AB=AC,三棱柱 ABCABC 为直三棱柱,所以 M 为 AB 中点又因为
13、 N 为 BC 的中点,所以 MNAC又 MN平面AACC,AC平面AACC,因此 MN平面AACC证法二:取 AB 中点 P,连接 MP,NP因为 M,N 分别为 AB 与 BC 的中点,所以 MPAA,PNAC,所以 MP平面AACC,PN平面AACC,又 MPNP=P,因此平面 MPN平面AACC,而 MN平面MPN因此 MN平面AACC (2) 解法一:连接 BN,如图,由题意得 ANBC,ANBB,所以 AN平面NBC又 AN=12BC=1,故VAMNC=VNAMC=12VNABC=12VANBC=16.解法二:VAMNC=VANBCVMNBC=12VANBC=16.5. (1) 如
14、图,取 AC 中点 O,连接 PO,BO PA=PC,POAC又 侧面 PAC 底面 ABC, PO 底面 ABC又 PA=PB=PC, AO=BO=CO ABC 为直角三角形 ABBC (2) 如图,取 BC 的中点 M,连接 OM,PM,则有OM=12AB=3,AO=12232+232=6,PO=PA2AO2=3,由(1)有 PO 平面 ABC,OMBC,再结合 PB=PC,可知PMBC. 平面 POM 平面 PBC,又 PO=OM=3 POM 是等腰直角三角形,取 PM 的中点 N,连接 ON,NC,则ONPM,又 平面 POM 平面 PBC,且交线是 PM, ON 平面 PBC OCN
15、 即为 AC 与平面 PBC 所成的角ON=12PM=123232=62,OC=6, sinOCN=ONOC=12, OCN=6,故 AC 与平面 PBC 所成的角为 66. (1) 法一:如图,过 E 作 EOBC,垂足为 O,连 OF,由 ABCDBC 可证出 EOCFOC,所以 EOC=FOC=2,即 FOBC又 EOBC,因此 BC 面 EFO,又 EF 面 EFO,所以 EFBC法二:由题意,以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系易得
16、B0,0,0,A0,1,3,D3,1,0,C0,2,0,因而E0,12,32,F32,12,0,所以EF=32,0,32,BC=0,2,0,因此 EFBC=0,从而 EFBC,所以 EFBC (2) 法一:在图中,过 O 作 OGBF,垂足为 G,连 EG,由平面 ABC 平面 BDC,从而 EO 平面 BDC,所以 EOBF又 OGBF,所以 BF 平面 EOG,从而 EGBF. 因此 EGO 为二面角 EBFC 的平面角;在 EOC 中,可得EO=12EC=12BCcos30=32,由 BGOBFC 知OG=BOBCFC=34,因此tanEGO=EOOG=2,从而sinEGO=255,即二
17、面角 EBFC 的正弦值为 255法二:在图中,平面 BFC 的一个法向量为 n1=0,0,1,设平面 BEF 的法向量 n2=x,y,z,又BF=32,12,0,BE=0,12,32,由 n2BF=0,n2BE=0, 得其中一个n2=1,3,1,设二面角 EBFC 的大小为 ,且由题意知 为锐角,则cos=cosn1,n2=n1n2n1n2=15,因sin=25=255,即二面角 EBFC 的正弦值为 2557. (1) 由条件知 PDAQ 为直角梯形 QA 平面 ABCD, 平面 PDAQ 平面 ABCD,交线为 AD又四边形 ABCD 为正方形,DCAD, DC 平面 PDAQ,可得 P
18、QDC在直角梯形 PDAQ 中可得DQ=PQ=22PD,则 PQQD所以 PQ 平面 DCQ (2) 设 AB=a由题设知 AQ 为棱锥 QABCD 的高,所以棱锥 QABCD 的体积V1=13a3.由(1)知 PQ 为棱锥 PDCQ 的高,而 PQ=2a,DCQ 的面积为 22a2,所以棱锥 PDCQ 的体积V2=13a3.故棱锥 QABCD 的体积与棱锥 PDCQ 的体积比值为 18. (1) 如图1中,因为 ADDB=AECE,所以 BEBC又因为 B=90,从而 ADDE在图2中,因 ADEB 是直二面角,ADDE,故 AD底面DBCE,从而 ADDB而 DBBC,故 DB 为异面直线
19、 AD 与 BC 的公垂线下面求 DB 之长在图 1 中,由ADDB=AEEC=2,得DEBC=ADAB=23.又已知 DE=3,从而BC=32DE=92,AB=AC2BC2=1522922=6.因 DBAB=13,故DB=2.即异面直线 AD 与 BC 的距离为 2 (2) 方法一:在图2中,过 D 作 DFCE,交 CE 的延长线于 F,连接 AF由(1)知,AD底面DBCE,由三垂线定理知 AFFC,故 AFD 为二面角 AECB 的平面角在底面 DBCE 中,DEF=BCE,所以DB=2,EC=13152=52,因此sinBCE=DBEC=45.从而在 RtDFE 中,DE=3,DF=
20、DEsinDEF=DEsinBCE=125.在 RtAFD,中AD=4,tanAFD=ADDF=53.因此所求二面角 AECB 的大小为 arctan53方法二:如图3,由(1)知,以 D 点为坐标原点,DB,DE,DA 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则D0,0,0,A0,0,4,C2,92,0,E0,3,0.所以CE=2,32,0,AD=0,0,4,过 D 作 DFCE,交 CE 的延长线于 F,连接 AF设 Fx0,y0,0,从而DF=x0,y0,0,EF=x0,y03,0,由 DFCE,有DFCE=0,即2x0+32y0=0,又由 CEEF,得x02=y0332,联
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