平方根和立方根知识点总结及练习.doc
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【基础知识巩固】 一、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 (1)平方根的定义:如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即:如果,那么x叫做a的平方根. (2)开平方的定义:求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。 (3)平方与开平方互为逆运算:3的平方等于9,9的平方根是3 (4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果; 一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 (5)符号:正数a的正的平方根可用表示,也是a的算术平方根; 正数a的负的平方根可用-表示. (6) <—> a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x 2、算术平方根 (1)算术平方根的定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为,读作“根号a”,a叫做被开方数. 规定:0的算术平方根是0. 也就是,在等式 (x≥0)中,规定。 (2)的结果有两种情况:当a是完全平方数时,是一个有限数; 当a不是一个完全平方数时,是一个无限不循环小数。 (3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大; 当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。 一般来说,被开放数扩大(或缩小)a倍,算术平方根扩大(或缩小)倍,例如=5,=50。 (4)夹值法及估计一个(无理)数的大小 (5) (x≥0) <—> a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x (6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。 (0) ;注意的双重非负性: -(<0) 0 (7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系: 区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个; 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 3、立方根 (1)立方根的定义:如果一个数x的立方等于,这个数叫做的立方根(也叫做三次方根),即如果,那么叫做的立方根 (2)一个数的立方根,记作,读作:“三次根号”, 其中叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。 (3) 一个正数有一个正的立方根; 0有一个立方根,是它本身; 一个负数有一个负的立方根; 任何数都有唯一的立方根。 (4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性, 求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即。 (5) <—> a是x的立方 x的立方是a x是a的立方根 a的立方根是x (6),这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 【典型例题分析】 知识点一:有关概念的识别 1、下列说法中正确的是( ) A、的平方根是±3 B、1的立方根是±1 C、=±1 D、是5的平方根的相反数 2、下列语句中,正确的是( ) A.一个实数的平方根有两个,它们互为相反数 B.负数没有立方根 C.一个实数的立方根不是正数就是负数 D.立方根是这个数本身的数共有三个 3、下列说法中:①都是27的立方根,②,③的立方根是2,④。其中正确的有 ( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 4、的平方根是( ) A. B. C. D. 5、下列各组数中,互为相反数的组是( ) A、-2与 B、-2和 C、-与2 D、︱-2︱和2 知识点二:计算类题型 1、25的算术平方根是_______;平方根是_____. -27立方根是_______. ___________, ___________,___________. 2、 ; ; = . = . 3、① +3—5 ② (-) ③ | | + ||- | | ④ 4、 (1)+- (2) (3) 知识点三:利用平方根和立方根解方程 1、(1)(2x-1)2-169=0; (2) (3) 知识点四:关于有意义的题 本身为非负数,有非负性,即≥0;有意义的条件是a≥0。 要使 有意义,必须满足a0. 1、若的算术平方根有意义,则a的取值范围是( ) A、一切数 B、正数 C、非负数 D、非零数 2、要使有意义,x 应满足的条件是 3、当时,式子有意义。 知识点五:有关平方根的解答题 1、一个正数a的平方根是3x―4与2―x,则a是多少? 2、若5a+1和a-19是数m的平方根,求m的值。 3、已知x、y都是实数,且,求的平方根。 知识点六:非负性的应用 1、已知实数x,y满足 +(y+1)2=0,则x-y等于 解答:根据题意得,x-2=0,y+1=0, 解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2-(-1)=2+1=3. 2、 已知a、b满足,解关于的方程。 3、 若,求的值。 4、 若a、b、c满足,求代数式的值。 5、已知和︱8b-3︱互为相反数,求(ab)-2-27 的值。 【重点知识巩固】 考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义 (1)如果一个正数x的平方等于a,即,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 (2)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。如果,那么x叫做a的平方根。 (3)如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。如果,那么x叫做a的立方根。 2、运算名称 (1)求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方。平方与开平方互为逆运算。 (2)求一个数的立方根的运算,叫做开立方。开立方和立方互为逆运算。 3、运算符号 (1)正数a的算术平方根,记作“”。 (2)a(a≥0)的平方根的符号表达为。 (3)一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数。 4、运算公式 4、开方规律小结 (1)若a≥0,则a的平方根是,a的算术平方根;正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的那个叫它的算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。 实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同。正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。 (2)若a<0,则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数,则a的立方根是。 (3)正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。- 配套讲稿:
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