高等代数在解析几何中的应用.doc

学号10051107

哈尔滨学院学士学位论文

高等代数在解析几何中的应用

院（系）名 称：
理学院
专 业 名 称：
数学与应用数学
学 生 姓 名：
范莉娜
指 导 教 师：
方晓超讲师

哈尔滨学院
2014年7月

学号10051107
密级 公开

高等代数在解析几何中的研究

英文

学 生 姓 名： 范莉娜
所 在 学 院： 理学院
所 在 专 业： 数学与应用数学
指 导 教 师：方晓超
职 称：讲师
所 在 单 位：哈尔滨学院
论文提交日期：
论文答辩日期：
学位授予单位：

摘要

关键词：二次型，

ABSTRACT
Mathods of

Key words :

前 言
行列式出现于

第一章线性代数在解析几何中的应用
1.1向量在解析几何中的应用
1.1.1向量的定义
定义1.1：即有大小，又有方向的量成为向量（或矢量）。
向量有两个特征，即有大小，又有反向，向量的几何图型是一个有向线段。在几何上，向量可以用有向线段表示。例如,有向线段的长度表示向量的大小（或称向量的模），用箭头表示向量的方向，即短点所指的方向，端点，分别称为向量的起点和终点。用有向线段表示的向量称为几何向量。
1.1.2向量的加法
定义1.2：设为空间中两个向量。在空间任取一点，作，，称向量为的和，（仍采用数的加法记号）记作，即。。称此运算为向量的加法，加法法则称为三角形法则。

三角形法则等价于平行四边形法则：从空间中一点，作，，再以为边作平行四边形，则对角线上的向量就是
由定义不难验证向量的加法满足下列运算规律：
1）（交换律）
2）结合律
3）
4）
直角坐标系
定义1.3：如果是两两垂直的长度为1的向量，则称坐标系为直角坐标系。
若两两垂直，则它们一定不共面。因而直角坐标系是特殊的仿射坐标系。点（或向量）在直角坐标系下的坐标称为它的直角坐标。

1.1.3用坐标进行向量的线性运算
在空间 取定仿射坐标系。设的坐标，的坐标是，则利用向量加法的交换律和结合律有

类似地，
任意，利用数乘向量的分配律与结合律有

这说明的坐标是，的坐标是
因此求向量的和（差）及数量的乘积的坐标只需对各个坐标进行相应的数量运算就行。
数量积。
定义1.4：两个向量的数量积（也称内积或点积）规定为一个实数，它等于这个向量的长度与它们夹角的余弦的乘积，记作，即有

用坐标计算向量的向量积
先设为仿射坐标系，，则

可见，只要知道基向量之间的数量积，就可以求出任意两个向量的数量积。这九个数称为仿射坐标系的度量参数。
现在设是直角坐标系，则有

于是由上上式得到

因此有如下定理。
定理1.1：在直角坐标系下，两个向量的数量积等于它们的对应坐标的乘积之和。
例：
用向量证明三角形的余弦定理。
证：作，令。
于是

。
余弦定理说明了如何由三角形三边长去计算三个顶角的余弦。利用上上式，余弦定理也可以改写成

从上式不难看出

上式含有长度及两向量的夹角。我们也可以利用它来定义数量积。即
或
这样定义的数量积通用满足定理。

1.2矩阵的秩在解析几何中的应用
矩阵的秩是代数中的基础概念，将它的理论推广到解析几何中，会收到很好的效果，下面就是矩阵的秩关于解析几何的几个定理和应用。
定理1.2
已知平面与平面，设线性方程组

的系数矩阵为，增广矩阵为，则：
1） 若秩=秩=2，平面与平面相交于一条直线；
2） 若秩=秩=1，平面与平面重合；
3） 若秩=1，但是秩=2，平面与平面平行。
定理1.3
已知两个平面

的矩阵：
和
的秩分别是，则：
1) 两个平面相交的充要条件是；
2) 两个平面平行且相异的重演条件是；
3) 两个平面重合的充要条件是.
定理三已知一个平面和一条直线:
的矩阵：
和的秩分别是和，则，
1） 直线与平面相交的充要条件是；
2） 直线与平面没有公共点的充要条件是，；
3） 直线属于已知平面的充要条件是。
已知三个平面：

设分别是矩阵
的秩，则：
1） 三个平面有唯一公共点的充要条件是；
2） 三个平面两两互异且有唯一公共点的充要条件是，且矩阵的任何两行不成比例；
3） 三个平面两两相交且每两个平面的交线平行于第三个平面的充要条件是，且矩阵的任何两行都不成比例；
4） 两个平面平行，第三个平面与它们相交的充要条件是且的两行成比例；
5） 三个平面互相平行的充要条件是，的任何两行都不成比例；
6） 两个平面重合，第三个平面与它们相交的充要条件是，且的两行成比例饿；
7） 两个平面重合，第三个平面与它们平行的充要条件是，且的两行不成比例；
8） 三个平面重合的充要条件是。
定理1.4
已知两条平行线

矩阵和的秩分别为，则：
1） 两条直线既不平行也不相交的充要条件是；
2） 两条直线相交的充要条件是；
3） 两条直线平行且互异的虫咬条件是；
4） 两条直线重合的充要条件是。
例：
证明下列两条直线互相平行：
与、

证明：
由定理4的3）只需证明。
令

，故由定理四3）秩，两条直线平行。
解析几何证明：

故，亦即两条直线平行。从上面两种证法可以看出：采用矩阵的秩的有关结论证明平面与平面的位置关机：直线与直线的位置关系是简单而又方便的。

1.3齐次线性方程组在解析几何中的应用
定理：
齐次线性方程组

有非零解的充要条件是它的系数行列式等于零。即

只有零解的充要条件是它的系数行列式不等于零。即

该定理在线性代数中是作为克莱姆法则的两个推论给出的。
例1：
试证向量共面的充要条件是

证：

显然可见是齐次线性方程组

的一组非零解，由定理可知，

例2：
若向量同时垂直于三个不共面向量则。
证：设
不共面，

又，

故齐次线性方程组只有零解，即

从而
例3求由不共线的三点所确定的平面的方程。
解：的方程为：，其中至少有一个不为零。
同理，，所以有

于是可以得到一个关于的齐次线性方程组

不全为零，该方程组至少有一个非零解，由定理可知，其系数行列式的值其为零，即

此即的方程。
例四
求四点在同一平面上的充要条件。
解：设共面于平面 ，则有

则是关于变量的齐次线性方程组。又由于不全为零，故不全为零，即方程组存在一组非零解，由定理知，有一组非零解的充分必要条件是

此亦为所求。

第二章二次型在解析几何中的应用
2.1二次型的基本定义
设是一个是数域，，个文字的二次齐次多项式

称为数域上的一个元二次型，简称二次型。当为实数时，称为实二次型；当为复数时，称为复二次型。
设阶对称矩阵

则元二次型可表示为下列矩阵形式：
。
其中对称矩阵称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵。
定义2.1：二次型可唯一的表示成
，
其中，为对称矩阵，称上式二次型的矩阵形式，称为二次型的矩阵，称的秩为二次型的秩。
二次曲面标准方程：
椭球面

椭圆抛物面：

双曲抛物面（马鞍面）：

单叶双曲面：

双叶双曲面：

二次锥面：

2.2二次型的最值得判定与求法
一般的元二次多项式的形式为

而上式存在最值得充要条件为

存在最值（上式中，故只需要对上式进行讨论。
2.3二次型与二次曲线与二次曲面
二次曲面的一般方程

其中都是实数，我们记

其中利用二次型的表示方法，方程
（1） 可表示成下列形式：

为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分布进行。
第一步，利用正交变换将方程（2）的左边的二次型的部分化成标准型：

其中为正交矩阵，，相应地有

于是方程（2）可化为
（3）
第二步，作平移变换，将方程上式化为标准方程，其中，这里只要用配方法就能找到所用的平移变换，以下对是否为零进行讨论：
（1） 当时，用配方法将方程（3）化为标准方程：
（4）
根据与的正负号，可具体确定方程（4）表示什么曲面。例如与同号，则方程（4）表示椭球面。
（2） 当中有一个为0，设方程（3）可化为
（5）
（6）
根据的正负号。可具体确定方程（5）（6）表示什么曲面。例如当
同号时，方程（5）表示椭球抛物面。当异号时，方程（5）表示双曲抛物面，（6）表示柱面。
（3） 当中有两个为0，不妨设，方程（3）可化为下列情况之一：
（a）
此时，再作新的坐标变换：

（实际上是绕轴的旋转变换），方程可化为：
表示抛物柱面；
（b） 表示抛物柱面；
表示抛物柱面
（d）若异号，表示两个平面平行；
若同号，图形无实点，若，表示做表面。
例：
二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面。

解 将二次曲面的一般方程写成矩阵形式

的特征值为，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：
， ，
取，则为正交矩阵，作正交变换
则有：

因此，原方程可化为：

配方得：

令
则原方程化为标准方程：

该曲面为椭球抛物面。
例：
将二次曲面的方程化为标准方程，并说明它是什么曲面。
解 可写成，令
， ，
该曲面方程用矩阵形式表示为：

的特征值为，分别求出它们所对应当然特征向量，并单位化得：
， ，
取，则为正交矩阵。作正交变换
，则有：

因此，所给二次曲面化为标准方程为：

即
表示双曲抛物面（马鞍面）。
注：
所作的正交变换实际上是一个旋转变换，轴不动，逆轴方向看去，轴，轴顺时针方向旋转角。
例：
求面上的椭圆

的面积。其中

解：
设二次型

其系数矩阵，由于，
，知正定，故特征值全大于，其特征多项式为：
特征方程有两个正的实根：，且
对实对称矩阵，存在正交矩阵使得

故椭圆的标准方程为
椭圆的两半轴分别为
，
故其面积为：
。