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Chapter 2 Introduction to Partial Differential Equations

偏微分方程式(PDE)就是指含有偏導函數（partial derivatives）的方程式,在常微分方程式（ODE)中，未知函數只是單變數函數，而在PDE中，未知函數則為多變數函數。在實際的工程或物理問題中，所欲分析的物理量（即未知函數）常受到不只一個變數的影響，所以一般多以PDE來表示。

2.1 PDE的分類
(a) 以階數(order)區分：PDE的階數為方程式中的最高偏導函數的階數。例如，為2階PDE，為1階PDE，為3階PDE。

(b） 以是否線性(linearity）區分：若PDE中的相依變數(即未知函數）及其偏導函數均為一次方（無乘方)且無彼此相乘的情況，則稱為線性PDE,反之為非線性PDE。例如，

（1）

其中A， B， C， D， E, F， G為常數,或x， y的函數。（1)式為線性的2階PDE.而為非線性之PDE。

（c) 以是否齊性區分：以(1）式為例，G = 0時為齊性，G ≠ 0時為非齊性.

（d） 以係數類型區分：分為常係數與變係數之PDE。

（e） 所有像(1）式之線性PDE均可分為三大類型：
當B2—4AC = 0，為拋物線型(parabolic），如熱方程式。
當B2—4AC 〉 0，為雙曲線型(hyperbolic)，如波動方程式。
當B2—4AC 〈 0,為橢圓型(elliptic），如勢能方程式。

此種區分方式與二次曲線的分類概念相似，其原理此處暫不詳述，將於後續章節說明。

此外，在數學物理上有三個重要的典型PDE：波動方程式（wave equation），熱方程式（heat equation），勢能方程式（Laplace's equation or potential equation）,此亦即傳統PDE課程所探討之主要課題.

2.2 PDE的解法
PDE的解法可分為解析法與數值方法，本課程將僅針對解析法做介紹。

(a) 解析法：
分離變數法（separation of variables)
特徵函數展開法(eigenfunction expansion)
積分變換法(integral transforms）
座標轉換法
其他方法（略)

(b） 數值方法：
有限差分法（finite difference method）
有限元素法（finite element method)
其他方法（略）

偏微分方程式的問題，除了隨物理現象的不同而產生不同的控制方程式外，更會隨邊界條件及初始條件的改變而改變，且解法也不相同，接下來的3節將先介紹前述三大方程式的物理意義及相關的一維問題類型，至於PDE的解法將於後續章節介紹。

2。3 波動方程式的推導與問題類型
2。3.1 公式推導：

（Show details in the class.）

2。3.2 問題類型
茲就若干代表性之問題及其物理意義列於表一:

表一、與波動方程式有關之問題類型
PDE
B. C。
I. C.
物理意義

（x 〉 0, t 〉 0）
u(0, t） = 0

u（x, 0) = f（x)
ut(x， 0) = g(x)
一端固定之半無限長的繩索，在無外力作用下振動.
u(0， t) = h（t)
一端可移動之半無限長的繩索，在無外力作用下振動。
ux（0， t） = 0
一端無限制力之半無限長的繩索振動,且無外力作用。

（0 < x < L， t > 0)
u(0， t） = 0
u（L, t) = 0
兩端固定之長度為L的繩索，在無外力作用下振動。
ux(0, t） = 0
ux(L， t) = 0
兩端無限制力之長度為L的繩索,在無外力作用下振動.
ux（0, t) + hu（0， t) = 0
ux（L， t) + hu（L, t） = 0
(h為一常數)
兩端接有彈簧之長度為L的繩索，在無外力作用下振動。

(-∞ < x 〈 ∞, t > 0）
無
無限長的繩索在外力F作用下振動.

(—∞ 〈 x 〈 ∞， t > 0, h 〉 0)
(damped wave equation)
無
無限長的繩索在回復力（—hu）與外力F作用下振動。

2。4 熱方程式的推導與問題類型
2。4.1 公式推導:

(Show details in the class。）

2.4。2 問題類型
茲就若干代表性之問題及其物理意義列於表二：

表二、與熱方程式有關之問題類型
PDE
B. C。
I. C.
物理意義

（0 〈 x 〈 L, t 〉 0）
u(0, t) = 0
u（L, t） = 0

u（x, 0) = f(x）
長度L的棍子起始溫分布為f（x），且兩端溫度均保持為零度。
ux（0， t) = 0
ux(L， t） = 0
長度L的棍子起始溫分布為f(x)，且兩端均絕熱.
u（0, t) = a（t)
u(L, t) = b（t)
長度L的棍子起始溫分布為f(x），且兩端溫度均隨時間變化。
u（0， t) = a（t）
ux（L， t) = b(t）

（-∞ 〈 x 〈 ∞， t > 0）
無
無限長的棍子起始溫分布為f(x）。

（-∞ 〈 x < ∞， t > 0)
無
無限長的棍子起始溫分布為f（x),並給予外在熱源h(x, t)。

(x > 0, t 〉 0)
u(0， t) = 0
半無限長的棍子起始溫分布為f（x)，且在x=0的一端溫度保持為0。
ux(0， t) = 0
半無限長的棍子起始溫分布為f(x），且在x=0的一端保持絕熱。
ux(0， t） = h（t）
半無限長的棍子起始溫分布為f(x)，且在x=0的一端有熱傳導 h(t)。

(0 < x 〈 L, t 〉 0)
u（0, t） = 0
u（L, t) = 0

（radiation equation）
To be prescribed

To be prescribed

2。5 勢能方程式的推導與問題類型
2。5。1 公式推導:

(Show details in the class。)

2。5.2 問題類型
茲就若干代表性之問題及其物理意義列於表三之一至表三之三：

表三之一、與勢能方程式有關之問題類型
Type
PDE
B. C.
物理意義
Dirichlet Problem
in D
u = f on C
(Dirichlet condition， or Boundary condition of the first kind)
在區域D的邊界上（C）給予固定之溫度分布,欲求出D上的平衡溫度分布。
Neumann Problem
in D
on C，表u在邊界C上朝外之法線方向的導函數
（Neumann condition, or Boundary condition of the second kind)
在區域D的邊界上（C）給予溫度變化，欲求出D上的平衡溫度分布。
Robin Problem
（Mixed Boundary Value Problem)
in D
on C
（h, g為已知函數）

使熱從物體邊界輻射到周圍介質中
在以上三種問題中使用非齊性PDE： in D時，稱為Poisson equation。

以上所列舉的勢能方程式是屬於橢圓型(elliptic type）的PDE，而此類型的PDE僅限於討論邊界值問題,因為對於具有初始條件，或同時具有初始條件及邊界條件的問題而言,橢圓型PDE的解不唯一，而拋物線型及雙曲線型的PDE則有唯一解（稱為well-posed)。換言之，橢圓型的PDE只有在邊界值問題中才有唯一解.

表三之二、與Dirichlet Problem有關之問題類型
Type
PDE
B. C.
物理意義
Dirichlet Problem in a Rectangle
in R
(0 ≦ x ≦a)
（0 ≦ y ≦b）
u(0, y) = 0
u（a， y） = 0
u(x, 0) = 0
u(x, b) = f(x）

在矩形區域的板上，已知在x = 0, x = a及y = 0的邊上溫度保持為0，而在y = b的邊上保持溫度分布f（x),欲求該區域的平衡溫度。
General Dirichlet Problem in a Rectangle
in R
(0 ≦ x ≦a)
(0 ≦ y ≦b)
u(x, 0） = f1(x)
u(x, b) = f2(x)
u（0, y) = f3（y)
u（a， y) = f4(y）
矩形板的四邊均保持不同之溫度分布，欲求該區域的平衡溫度。
Dirichlet Problem in a Disk

(以極座標表示PDE）
u(a, θ) = f（θ）
圓形板的周圍給予溫度分布函數,欲求該區域的平衡溫度。

表三之三、與Neumann Problem有關之問題類型
Type
PDE
B。 C。
物理意義
Neumann Problem in a Rectangle
in R
(0 ≦ x ≦a)
(0 ≦ y ≦b)
ux(0， y） = 0
ux（a， y) = 0
uy(x, 0) = 0
uy（x， b） = f（x)

在矩形區域的板上,已知在x = 0， x = a及y = 0的邊上為絕熱（即無熱傳導),而在y = b的邊上有一熱流傳導f（x)，欲求該區域的平衡溫度.
General Neumann Problem in a Rectangle
in R
（0 ≦ x ≦a)
(0 ≦ y ≦b)
uy(x, 0） = f1(x）
uy（x， b） = f2(x)
ux（0, y） = f3（y）
ux（a， y） = f4(y）
矩形板的四邊均有熱流傳導，欲求該區域的平衡溫度。
Neumann Problem in a Disk

（以極座標表示PDE)

r < a
0 ≦ θ ≦2π
圓形板的周圍有熱流傳導，欲求該區域的平衡溫度.

2.6 PDE的解
一般而言,我們不需要去求PDE的通解(general solution），因為一方面除了少數的特例外，PDE的通解並不容易求，另一方面，在實際應用上通解並無太大用處，所以通常在求解PDE時,我們主要求的是特別解（particular solution)。本課程中，我們將僅針對線性的PDE，尤其是前述的三大方程式的求解方法做介紹。

重疊原理（superposition principal)
若u1, u2， …。uk為齊性線性PDE的解，則這些解的線性組合:

也是該PDE的解.

分離變數法（separation of variables）
求線性PDE之特別解的方法雖然很多,但分離變數法算是最基本的方法,也可以說是解PDE的「敲門磚」，此法的主要概念就是將欲求之特別解假設為兩個單變數函數的乘積,例如像u（x, y） = X（x)Y(y），然後將其微分代入原PDE，使解PDE的問題可簡化為解ODE的問題。不過，不是所有的PDE都可以用分離變數法求解，例如，變係數的PDE或一些非齊性的PDE就無法用此法求解.

(Show examples in the class. Refer to the examples in Zill’s book (pp. 523-) and Andrews’ book （pp。 130—）。）

References
[1]. Zill, D。 G。 and Cullen， M。 R., Differential Equations with Boundary—Value Problems， 5th ed。， Brooks/Cole， 2001。

[2]. Andrews, Larry C。, Elementary Partial Differential Equations with Boundary Value Problems, Academic Press, 1986。

[3]. Farlow, Stanley， J.， Partial Differential Equations for Scientists and Engineers， Dover, 1982.

[4]. Young, Eutiquio C。， Partial Differential Equations: An Introduction， Allyn and Bacon, Inc。， 1972。