《勾股定理》典型测验题.doc

《勾股定理》典型例题分析
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
① 已知的条件：某三角形的三条边的长度.
②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.
③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
3、勾股数
满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：
（3，4，5 ）(5，12，13 ) ( 6，8，10 ) ( 7，24，25 ) ( 8，15，17 )(9，12，15 ) 
4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。
二、考点剖析
考点一：利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．

2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．
3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3< S1 D. S2- S3=S1
4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_____________。

考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为 ．
2．（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是
3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．
4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（ ）
A． 2倍 B． 4倍 C． 6倍 D． 8倍
5、在Rt△ABC中，∠C=90°
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。
6、如果直角三角形的两直角边长分别为，2n（n>1），那么它的斜边长是（　　）
A、2n B、n+1 C、n2－1 D、
7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.以上都有可能
8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（　　）
A、24 B、36 C、48 D、60
9、已知x、y为正数，且│x2-4│+（y2-3）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A、5 B、25 C、7 D、15
考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高
例、如图1所示，等腰中，，是底边上的高，若，求 ①AD的长；②ΔABC的面积．
考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题
1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6 B. 2，3，4 C. 11，12，13 D. 8，15，17
2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（　　）
A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7
3、下面的三角形中：
①△ABC中，∠C=∠A－∠B；
②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；
③△ABC中，a：b：c=3：4：5；
④△ABC中，三边长分别为8，15，17．
其中是直角三角形的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.不等边三角形
5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为（　　）
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
A． 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形
7、若△ABC的三边长a,b,c满足试判断△ABC的形状。
8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形为 。
例3：求
（1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。
（2）已知三角形三边的比为1：：2，则其最小角为 。
 考点五:应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题
某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为        ．

考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）
A
B
C
１、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？
2、一架长2.5的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4，那么梯子底端将向左滑动 米
3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）
4、在一棵树10 m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？
60
120
140
B
60
A
C
第5题图7
5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .
6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米．
7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？
图18-15

考点七：折叠问题
1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于（ ）
A. B. C. D.
2、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=4，MB=2MC，求AB的长．

3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,求CF 和EC。
A
B
C
E
F
D

4、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积

5、如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。
（1）试说明：AF=FC；（2）如果AB=3，BC=4，求AF的长
7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为_______．

8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=3，BC=7，重合部分△EBD的面积为________．
9、如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。

10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，则折叠后痕迹EF的长为（ ）
A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77
2-5
11、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P：
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.

②再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请你说明理由.
12、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。

13、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

考点八：应用勾股定理解决勾股树问题
1、 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中
2、 最大的正方形的边长为5，则正方形A，B，C，D的面积的和为
2、已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 ．

考点九、图形问题
1、如图1，求该四边形的面积
2、如图2，已知，在△ABC中，∠A = 45°，AC = ，AB = +1，则边BC的长为 ．

3、某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由
.
4、将一根长24㎝的筷子置于地面直径为5㎝，高为12㎝的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h㎝，则h的取值范围 。
5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，已知AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站建在距A站多少千米处？

考点十：其他图形与直角三角形
如图是一块地，已知AD=8m，CD=6m，∠D=90°，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。

考点十一：与展开图有关的计算
1、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A到顶点C’的最短距离．
2、如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm
3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．

考点十二、航海问题
1、一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
2、如图，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。

3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
考点十三、网格问题
1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是 （ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
3、如图，小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
A． 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5

（图1） （图2） （图3）
4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
①使三角形的三边长分别为3、、（在图甲中画一个即可）；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可）．

课后练习
一、填空题（每题3分，共24分）
1．三角形的三边长分别为 a2＋b2、2ab、a2－b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（　　）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
2．若△ABC的三边a、b、c满足a2＋b2＋c2十338＝10a＋24b＋26c，则△ABC的面积是（　　）
A.338　　　　B.24　　　　　C.26　　　　　　　D.30
3．若等腰△ABC的腰长AB＝2，顶角∠BAC＝120°，以 BC为边的正方形面积为（　　）
A.3 　　　　　B.12 　　　　C.　　　　　　 D.
4．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（　　）
A.42 　 B.32 　 C.42 或32 　 D.37 或 33
5．直角三角形三条边的比是3∶4∶5.则这个三角形三条边上的高的比是（ ）
A.15∶12∶8 B. 15∶20∶12 C. 12∶15∶20 D.20∶15∶12
6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4.以斜边AB为直径作半圆，则这个半圆的面积等于（　　　）
A.　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.25π
7．如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）
A.2cm 　　　B.3 cm 　　　C.4 cm 　　　D.5 cm
图1
D
16cm
18cm
图2
B
A

8．如图2，一个圆桶儿，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（　　）
A.20cm B.30cm C.40cm D.50cm
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．在△ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是＿＿＿．
10．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（　　）
北
南
A
东
第12题图
A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元
A
B
E
F
D
C
第11题图

150°
20m
30m
第10题图

11．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
12．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（　　）
A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里
13.．一个长方体同一顶点的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长的木棒为＿＿＿.
14．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝60cm，CA＝80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA→AB→BC的路径再回到C点，需要＿＿＿分的时间．　　
15．如图3，一艘船由岛A正南30海里的B处向东以每小时20海里的速度航行2小时后到达C处.则AC间的距离是＿＿＿．
16．在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是＿＿＿．　
17..如下图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他的小屋位于他的南7km东8km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
A
B
小河
东
北
牧童
小屋

18.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.
19.如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

20.如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.
变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.
21．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
A
D
E
B
C
第21题图

22.如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=,PC=4,求△ABC的边长.
23.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45
试探究间的关系，并说明理由.

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