第四节线性方程组的解结构2011-2-16.doc
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1、第四节 线性方程组解的结构教学目的:1.掌握齐次与非齐次线性方程组解的性质;掌握齐次与非齐次线性方程组解的结构.2。能正确运用解的性质与解的结构原理求出方程组的通解,证明相关问题。教学方法:讲授与指导练习相结合教学过程:一、齐次线性方程组解性质与解的结构1。齐次线性方程组(1) 方程组 (2) 矩阵形式: 其中: ,.2。方程组的解集的全体解组成的集合,即. 显然,故非空。3.性质【性质1】若是的解,则也是的解。【性质2】若是的解,为常数也是的解.4.方程组的基础解系齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系. 基础解系不一定惟一。但各个基础解析间是等价的。其中所含向量个数
2、是确定的。5。【定理7】设,则元齐次线性方程组解集的秩为。 6.方程组的解结构设,则有基础解系;称为方程组的通解,其中为任意常数. 解集为任意常数.例1 求下列齐次线性方程组的基础解系与通解解 , 得最简同解方程组 有两个自由未知量,取为取,则【对应有】得基础解系:,那么通解为:,其中: 为任意常数。若取 ,则得基础解系。因为与等价,所以通解形式虽然不一样,但都表示方程组的解.另解: 取 ,则得基础解系。的通解为,其中为任意常数.例2 求元齐次线性方程组的一个基础解系与通解. 解 取,为自由未知量,令分别为,则得是原方程组的一个基础解系。通解为.例3 求4元齐次线性方程组的一个基础解系 解:
3、,取为自由未知量, 所以 是原方程组的一个基础解系 ,通解为。例4 若,则。证明 记,则可化为,从而的列向量均为的解,设为的解集,由知 若,则只有解,那么,于是;若, 则,即, 故。例5 设矩阵A为 型矩阵,并且,B为n阶方阵,求证:如果AB=A,则B=E证明:AB=A可化为设其中则矩阵方程可化为从而 ,所以为齐次线性方程组的解向量又型矩阵,仅有零解=0, 从而 故B=E证法二:AB=A可化为,且由知为列满秩矩阵,从而.提问:1。设的系数矩阵A的秩等于其列数,则齐次线性方程组无解。 ()2设,则线性方程组的基础解系中只含有4个线性无关的解( )3。 为齐次线性方程组解,则为的解。( )4。 已
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