2023届云南省昆明市九年级数学第一学期期末统考模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 ，则∠B的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．已知二次函数y=（a≠0）的图像如图所示，对称轴为x= -1，则下列式子正确的个数是（ ）
（1）abc＞0
（2）2a+b=0
（3）4a+2b+c＜0
（4）b2-4ac＜0

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．用配方法解方程x2+4x+1＝0时，原方程应变形为(　　)
A．(x+2)2＝3 B．(x﹣2)2＝3 C．(x+2)2＝5 D．(x﹣2)2＝5
4．如果点与点关于原点对称，则（ ）
A．8 B．2 C． D．
5．如图，已知矩形ABCD的对角线AC的长为8，连接矩形ABCD各边中点E、F、G、H得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长为（ ）

A．12 B．16 C．24 D．32
6．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+＝0 B．y2﹣3x+2＝0
C．x2＝5x D．x2﹣4＝（x+1）2
7．如图，AB是⊙O的弦，∠BAC＝30°，BC＝2，则⊙O的直径等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6
8．向阳村年的人均收入为万元，年的人均收入为万元．设年平均增长率为，根据题意，可列出方程为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是（ ）

A． B． C． D．
10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a>-1 B． C． D．a>-1且
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知线段c是线段、的比例中项，且，，则线段c的长度为______．
12．如图、正比例函数与反比例函数的图象交于（1,2），则在第一象限内不等式的解集为_____________．

13．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是__________．
14．在直角坐标平面内有一点A(3，4)，点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是_____．
15．如图，半径为，正方形内接于，点在上运动，连接，作，垂足为，连接.则长的最小值为________.

16．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是_______m．

17．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．
18．二次函数y＝ax1+bx+c（a≠2）的部分图象如图，图象过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．下列结论：①4a+b＝2；②9a+c＞3b；③当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；④当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；⑤8a+7b+1c＞2．其中正确的结论是_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB, CD.

（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求（1）中所作圆的半径
20．（6分）如图1是小区常见的漫步机，从侧面看如图2，踏板静止时，踏板连杆与立柱上的线段重合，长为0.2米，当踏板连杆绕着点旋转到处时，测得，此时点距离地面的高度为0.44米．求：

（1）踏板连杆的长．
（2）此时点到立柱的距离．（参考数据：，，）
21．（6分）如图，、、、分别为反比例函数与图象上的点，且轴，轴，与相交于点，连接、.

（1）若点坐标，点坐标，请直接写出点、点、点的坐标；
（2）连接、，若四边形是菱形，且点的坐标为，请直接写出、之间的数量关系式；
（3）若、为动点，与是否相似？为什么？
22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半径．

23．（8分）在中，，点在边上运动，连接，以为一边且在的右侧作正方形.
（1）如果，如图①，试判断线段与之间的位置关系，并证明你的结论；

（2）如果，如图②，（1）中结论是否成立，说明理由.

（3）如果，如图③，且正方形的边与线段交于点，设，，，请直接写出线段的长.（用含的式子表示）

24．（8分）如图，是一个锐角三角形，分别以、向外作等边三角形、，连接、交于点，连接.

（1）求证：
（2）求证：
25．（10分）计算：|﹣1|+2sin30°﹣（π﹣3.14）0+（）﹣1
26．（10分）二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y满足下表
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
0
3
1
0
…
不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质：
（1） 　 ；
（2） ；
（3） ．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据特殊角的函数值可得∠A度数，进一步利用两个锐角互余求得∠B度数．
【详解】解：∵，
∴∠A=30°，
∵∠C＝90°，
∴∠B=90°-∠A=60°
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题的关键.
2、B
【详解】由图像可知，抛物线开口向下，a＜0，图像与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴为直线x=-1＜0，即-＜0， 因为a＜0，所以b＜0，所以abc＞0，故（1）正确；
由-=-1得，b=2a，即2a-b=0，故（2）错误；
由图像可知当x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0 ， 故（3）正确；
该图像与x轴有两个交点，即b2-4ac＞0，故（4）错误，
本题正确的有两个，故选B．
3、A
【分析】先把常数项移到方程右侧，然后配一次项系数一半的平方即可求解．
【详解】x2+4x＝﹣1，
x2+4x+4＝3，
(x+2)2＝3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握在二次项系数为1的前提下，配一次项系数一半的平方是关键．
4、C
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们横坐标对应的符号、纵坐标对应的符号分别相反，可直接得到m=3，n=-5进而得到答案．
【详解】解：∵点A（3，n）与点B（-m，5）关于原点对称，
∴m=3，n=-5，
∴m+n=-2，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5、B
【分析】根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半，而矩形对角线是相等的，都为8，那么就求得了各边长，让各边长相加即可．
【详解】解：∵H、G是AD与CD的中点，
∴HG是△ACD的中位线，
∴HG=AC=4cm，
同理EF=4cm，根据矩形的对角线相等，连接BD，得到：EH=FG=4cm，
∴四边形EFGH的周长为16cm．
故选：B．
【点睛】
本题考查了中点四边形．解题时，利用了“三角形中位线等于第三边的一半”的性质．
6、C
【解析】依据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】A．x20是分式方程，故错误；
B．y2﹣3x+2=0是二元二次方程，故错误；
C．x2=5x是一元二次方程，故正确；
D．x2﹣4=(x+1)2是一元一次方程，故错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键．
7、C
【分析】如图，作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质解答．
【详解】如图，作直径BD，连接CD，
∵∠BDC和∠BAC是所对的圆周角，∠BAC＝30°，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°，
∵BD是直径，∠BCD是BD所对的圆周角，
∴∠BCD＝90°，
∴BD＝2BC＝4，

故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径；熟练掌握圆周角定理是解题关键．
8、A
【分析】设年平均增长率为，根据：2017年的人均收入×1+增长率=年的人均收入，列出方程即可．
【详解】设设年平均增长率为，根据题意，得：
，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
9、A
【详解】解：∵D为AB的中点，
∴BC=BD=AB，
∴∠A=30°，∠B=60°．
∵AC=，
∴BC=AC•tan30°==2，
∴S阴影=S△ABC﹣S扇形CBD==．
故选A．
【点睛】
本题考查解直角三角形和扇形面积的计算，掌握公式正确计算是本题的解题关键．
10、D
【解析】利用一元二次方程的定义及根的判别式列不等式a≠1且△=22﹣4a×（﹣1）＞1，从而求解.
【详解】解：根据题意得：a≠1且△=22﹣4a×（﹣1）＞1，
解得：a＞﹣1且a≠1．
故选D．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞1时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=1时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜1时，方程无实数根．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、6
【解析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.所以c2=4×9,解得c=±6(线段是正数,负值舍去)，
故答案为6.
12、x＞1
【分析】在第一象限内不等式k1x＞的解集就是正比例函数图象都在反比例函数图象上方，即有y1＞y2时x的取值范围．
【详解】根据图象可得：第一象限内不等式k1x＞
的解集为x＞1．
故答案是：x＞1．
【点睛】
此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题关键在于掌握反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
13、
【解析】根据方程有两个相等的实数根，可得b2-4ac=0，方程化为一般形式后代入求解即可.
【详解】原方程化为一般形式为：mx2+(2m+1)x=0，
∵方程有两个相等的实数根
∴（2m+1）2-4m×0=0

【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
14、
【解析】根据勾股定理求出OA的长度，根据余弦等于邻边比斜边求解即可.
【详解】∵点A坐标为（3，4），
∴OA==5，
∴cosα=，
故答案为
【点睛】
本题主要考查锐角三角函数的概念，在直角三角形中，在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边，熟练掌握三角函数的概念是解题关键.
15、
【分析】先求得正方形的边长，取AB的中点G，连接GF，CG，当点C、F、G在同一直线上时，根据两点之间线段最短，则CF有最小值，此时即可求得这个值.
【详解】如图，连接OA、OD，取AB的中点G，连接GF，CG，

∵ABCD是圆内接正方形，，
∴，
∴，
∵AF⊥BE，
∴，
∴，
，
当点C、F、G在同一直线上时，CF有最小值，如下图：

最小值是：，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定CF的最小值是解决本题的关键．
16、1
【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB=2DE，问题得解．
【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴AB=2DE=2×50=1米．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．
17、等
【解析】根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，所以解析式满足a＜0，b=0，c=0即可．
【详解】解：根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，
例如：.
【点睛】
此题是开放性试题，考查函数图象及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义.
18、①④⑤．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．
【详解】解：抛物线过点（﹣1，2），对称轴为直线x＝1．
∴x＝ ＝1，与x轴的另一个交点为（5，2），
即，4a+b＝2，故①正确；
当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜2，即，9a+c＜3b，因此②不正确；
当x＜1时，y的值随x值的增大而增大，因此③不正确；
抛物线与x轴的两个交点为（﹣1，2），（5，2），又a＜2，因此当函数值y＜2时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故④正确；
当x＝3时，y＝9a+3b+c＞2，
当x＝4时，y＝16a+4b+c＞2，
∴15a+7b+1c＞2，
又∵a＜2，
∴8a+7b+c＞2，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①④⑤，
故答案为：①④⑤．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图像性质.

三、解答题(共66分)
19、（1）图见解析；（2）1．
【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作AC，BC的中垂线交于点O，则点O是弧ACB所在圆的圆心；
（2）在Rt△OAD中，由勾股定理可求得半径OA的长．
【详解】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．

（2）连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x-8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2=122+（x-8）2，
解得：x=1．
答：圆的半径为1cm．
20、（1）1.2米 （2）0.72米
【解析】（1）过点C作CG⊥AB于G，得到四边形CFEG是矩形，根据矩形的性质得到EG＝CF＝0.44，故BG=0.24设AG＝x，求得AB＝x+0.24，AC＝AB＝x+0.24，根据余弦的定义列方程即可求出x，即可求出AB的长；
（2）利用正弦即可求出CG的长.
【详解】（1）过点C作CG⊥AB于G，

则四边形CFEG是矩形，
∴EG＝CF＝0.44，
故BG=0.24
设AG＝x，
∴AB＝x+0.24，AC＝AB＝x+0.24，
在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，∠CAG＝37°，
cos∠CAG＝＝0.8，
解得：x＝0.96，
经检验，x=0.96符合题意，
∴AB＝x+0.24=1.2（米），
（2）点到立柱的距离为CG，
故CG=ACsin37°=1.2×0.6=0.72（米）
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．
21、（1）、、；（2）；（3），证明详见解析.
【分析】（1）先利用A,B两点求出两个反比例函数的解析式，然后根据C点与A点纵坐标相同，D点与B点横坐标相同即可得到C,D的坐标，然后P的横坐标与B的横坐标相同，纵坐标与A的纵坐标相同；
（2）分别把A,C的坐标表示出来，再利用菱形的性质和点P的坐标即可求出答案；
（3）设点的坐标为，分别表示出点A,B,C,D的坐标，求出 的长度，能够得出，所以
【详解】（1）解：∵点在上，点在上
∴
∴
∵轴，轴
∴A,C的纵坐标相同，B,D的横坐标相同，点P的横坐标与B的横坐标相同，纵坐标与A的纵坐标相同
∴
当时，代入到中得 ，∴点
当时，代入到中得 ，∴点
∴，，
（2）∵点的坐标为
∵轴，轴
∴A,C的纵坐标与点P的纵坐标相同
当时，代入到中得 ，∴点
当时，代入到中得 ，∴点
∵四边形是菱形
∴
∴
∴
（3）解：
证明：设点的坐标为
则点的坐标为、点的坐标为
点的坐标为、点的坐标为
，
，
，，即
又

【点睛】
本题主要考查反比例函数和相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
22、（1）DE与⊙O相切；理由见解析；（2）4.
【分析】（1）连接OD，由D为的中点，得到，进而得到AD=CD，根据平行线的性质得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据四边形对角互补得到∠DAB＝∠DCE，由得到∠DAC＝∠DCA＝45°，求得△ABD∽△CDE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：DE与⊙O相切
证：连接OD，在⊙O中
∵D为的中点
∴

∴AD＝DC
∵AD＝DC，点O是AC的中点
∴OD⊥AC
∴∠DOA＝∠DOC＝90°
∵DE∥AC
∴∠DOA＝∠ODE＝90°
∵∠ODE＝90°
∴OD⊥DE
∵OD⊥DE，DE经过半径OD的外端点D
∴DE与⊙O相切.
（2）解：连接BD
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DAB＋∠DCB＝180°
又∵∠DCE＋∠DCB＝180°
∴∠DAB＝∠DCE

∵AC为⊙O的直径，点D、B在⊙O上,
∴∠ADC＝∠ABC＝90°
∵,
∴∠ABD＝∠CBD＝45°
∵AD＝DC，∠ADC＝90°
∴∠DAC＝∠DCA＝45°
∵DE∥AC
∴∠DCA＝∠CDE＝45°
在△ABD和△CDE中
∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°
∴△ABD∽△CDE
∴＝
∴＝
∴AD＝DC＝4, CE＝，AB＝6，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，
∴AC＝＝8
∴⊙O的半径为4.

【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
23、（1）；证明见解析； （2）成立；理由见解析；（3）.
【分析】（1）先证明，得到，再根据角度转换得到∠BCF=90°即可；
（2）过点作交于点，可得，再证明，得，即可证明；
（3）过点作交的延长线于点，可求出，则，根据得出相似比，即可表示出CP.
【详解】（1）；
证明：∵，，
∴，
由正方形得，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）时，的结论成立；
证明：如图2，过点作交于点，

∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
即；
（3）过点作交的延长线于点，

∵，
∴△AQC为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵DC=x，
∴，
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠ADE=90°，
∴∠PDC+∠ADQ=90°，
∵∠ADQ+∠QAD=90°，
∴∠PDC=∠QAD，
∴，
∴，
∴，
.
【点睛】
本题考查了全等三角形性质及判定，相似三角形的判定及性质，正方形的性质等，构建全等三角形，相似三角形是解决此题的关键．
24、（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根据全等三角形的判定定理即可得△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质可得AM=AN，根据角平分线的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE，再根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到结论；
（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连DK，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．
∵△ABD和△ACE为等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．
在△ACD和△AEB中，∵，
∴△ACD≌△AEB，
∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面积=△ABE的面积，
∴CD•AM=BE•AN，
∴AM=AN，
∴AF是∠DFE的平分线，
∴∠DFA=∠AFE．
∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，
∴∠DFB=∠DAG=60°，
∴∠GFE=120°，
∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．

（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连接DK．
∵∠DFB=60°，
∴△DFK为等边三角形，
∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，
∴∠K=∠DFA=60°．
∵∠ADB=60°，
∴∠KDB=∠FDA．
在△DBK和△DAF中，
∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，
∴△DBK≌△DAF，
∴BK=AF．
∵DF=DK=FK=BK+BF，
∴DF=AF+BF，
又∵CD=DF+CF，
∴CD=AF+BF+CF．

【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
25、1
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【详解】原式=1+21+2=1．
【点睛】
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
26、（1）抛物线与x轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x＜1时，y随x的增大而增大
【分析】根据表格中数据，可得抛物线与x轴交点坐标，与y轴交点坐标，抛物线的对称轴直线以及抛物线在对称轴左侧的增减性，从而进行解答.
【详解】解：由表格数据可知：当x=0时，y=3；当y=0时，x=-1或3
∴该函数三条不同的性质为：
（1）抛物线与x轴交于点（-1,0）和（3,0）；与y轴交于点（0,3）；（2）抛物线的对称轴为直线x=1;（3）当x＜1时，y随x的增大而增大
【点睛】
本题考查二次函数性质，数形结合思想解题是本题的解题关键.