江苏省苏州市2017届高三(上)期末数学试卷(解析版).doc

2016-2017学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1若集合A=x|x1，B=x|x3，则AB=2复数z=，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是3在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1的离心率为4用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是人5一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为6阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是7已知实数x，y满足，则z=2xy的最大值是8设Sn是等差数列an的前n项和，若a2=7，S7=7，则a7的值为9在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y2）2=5相切，且与直线ax+y1=0垂直，则实数a=10在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为11已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为12若2tan=3tan，则tan（）=13已知函数f（x）=若关于x的方程|f（x）|ax5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为14已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则的取值范围为二、解答题（共6小题，满分90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知函数f（x）=sin2xcos2x（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合（2）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值16已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点求证：（）直线MF平面ABCD；（）平面AFC1平面ACC1A117已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，并且过点P（2，1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PQ平分APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值18某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x2，2），曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点设计时要求：保持两曲线在各衔接处（B，D）的切线的斜率相等（1）曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）（设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中MP的单位：米若该景区可提供三种类型的观光车：游客踏乘；蓄电池动力；内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？19已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足=+（1）n+1，求数列bn的通项公式；（3）在（2）的条件下，设cn=2n+bn，问是否存在实数使得数列cn（nN*）是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由20已知函数f（x）=（lnxk1）x（kR）（1）当x1时，求f（x）的单调区间和极值（2）若对于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，求k的取值范围（3）若x1x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2e2k2016-2017学年江苏省苏州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1若集合A=x|x1，B=x|x3，则AB=x|1x3【考点】交集及其运算【分析】由集合A=x|x1，B=x|x3，结合集合交集的定义，可得答案【解答】解：集合A=x|x1，B=x|x3，AB=x|1x3，故答案为：x|1x32复数z=，其中i是虚数单位，则复数z的虚部是【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z=，复数z的虚部是故答案为：3在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】直接利用双曲线方程求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线=1，可知a=，c=3，则双曲线的离心率为： =故答案为：4用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是900人【考点】分层抽样方法【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该校高二年级共有学生300人，算出全校共有的人数【解答】解：用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，高二年级要抽取452010=15该校高二年级共有学生300人，每个个体被抽到的概率是=该校学生总数是=900，故答案为：9005一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，则目标受损但未完全击毁的概率为0.4【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】由已知条件利用对立事件概率计算公式直接求解【解答】解：一架飞机向目标投弹，击毁目标的概率为0.2，目标未受损的概率为0.4，P（目标未受损）=0.4，P（目标受损）=10.4=0.6，目标受损分为完全击毁和未完全击毁两种情形，它们是对立事件，P（目标受损）=P（目标受损但未完全击毁）+P（目标受损但击毁），即0.6=P（目标受损但未完全击毁）+0.2，P（目标受损但未完全击毁）=0.60.2=0.4故答案为：0.46阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是2，1【考点】选择结构【分析】由程序框图可得分段函数，根据函数的值域，即可确定实数x的取值范围【解答】解：由程序框图可得分段函数：令，则x2，1，满足题意；故答案为：2，17已知实数x，y满足，则z=2xy的最大值是5【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（3，1），化目标函数z=2xy为y=2xz，由图可知，当直线y=2xz过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为5故答案为：58设Sn是等差数列an的前n项和，若a2=7，S7=7，则a7的值为13【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质【分析】由等差数列的通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组由通项公式可得【解答】解：设等差数列an的公差为d，a2=7，S7=7，解方程组可得，a7=a1+6d=1164=13故答案为：139在平面直角坐标系xOy中，已知过点M（1，1）的直线l与圆（x+1）2+（y2）2=5相切，且与直线ax+y1=0垂直，则实数a=【考点】圆的切线方程【分析】由题意，直线ax+y1=0的斜率a=，即可得出结论【解答】解：由题意，直线ax+y1=0的斜率a=，a=故答案为10在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，若在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，则圆孔的半径为3【考点】棱柱的结构特征【分析】设半径为r，由题意得减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积，由此列出方程能求出圆孔的半径【解答】解：设半径为r，在一个长方体的三条棱长分别为3、8、9，在该长方体上面钻一个圆柱形的孔后其表面积没有变化，减少的2个圆的面积=圆柱的侧面积，2r2=2r3，解得r=3圆孔的半径为3故答案为：311已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】由条件可得（x+2）+（y+1）=4，则= （x+2）+（y+1）（），展开后，运用基本不等式即可得到所求最小值，注意等号成立的条件【解答】解：正数x，y满足x+y=1，即有（x+2）+（y+1）=4，则= （x+2）+（y+1）（）= 5+ 5+2=（5+4）=，当且仅当x=2y=时，取得最小值故答案为：12若2tan=3tan，则tan（）=【考点】两角和与差的正切函数【分析】利用特殊角的三角函数值及二倍角的正切函数公式可求tan的值，利用已知及两角差的正切函数公式化简所求，即可计算得解【解答】解：tan=1=，整理可得：tan2+2tan1=0，解得：tan=，或1，（舍去），2tan=3tan，可得：tan=tan=（），tan（）=故答案为：13已知函数f（x）=若关于x的方程|f（x）|ax5=0恰有三个不同的实数解，则满足条件的所有实数a的取值集合为e，2， 【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】作出y=|f（x）|的函数图象，根据直线y=ax+5与y=|f（x）|有3个交点得出两函数图象的关系，从而得出a的值【解答】解：令f（x）=0得x=2或x=ln5，f（x）在（，0）上单调递减，在（0，+）上单调递增，|f（x）|=，作出y=|f（x）|的函数图象如图所示：关于x的方程|f（x）|ax5=0恰有三个不同的实数解，直线y=ax+5与y=|f（x）|有3个交点，y=ax+5过点（2，0）或过点（ln5，0）或y=ax+5与y=|f（x）|的图象相切，（1）若y=ax+5过点（2，0），则a=，（2）若y=ax+5过点（ln5，0），则a=，（3）若y=ax+5与y=|f（x）|在（2，0）上的图象相切，设切点为（x0，y0），则，解得a=2，（4）若y=ax+5与y=|f（x）|在（0，ln5）上的图象相切，设切点为（x1，y1），则，解得a=e，a的取值集合为e，2， 故答案为e，2， 14已知A，B，C是半径为l的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则的取值范围为，4【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据题意，把化为3+21，利用参数表示点C（cos，sin），P（rcos，rsin）且0r1；根据三角函数的有界性求出3+21的最值即可【解答】解：根据题意， =，且|=|=|=1，=（+）（+）+（+）（+）+（+）（+）=3+2（+）+（+）=3+21，以点O为坐标原点，建立直角坐标系，设点C（cos，sin），点P（rcos，rsin），且0r1；则3+21=3r22rcos（）1，3+213r2+2r14，且3+213r22r1；的取值范围是，4故答案为：，4二、解答题（共6小题，满分90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知函数f（x）=sin2xcos2x（1）求f（x）的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合（2）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值【考点】余弦定理；三角函数的化简求值【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x）1，利用正弦函数的图象和性质即可求解（2）由已知可求sin（2C）1=0，结合范围0C，可求C=，由已知及正弦定理可得b=2a，进而由余弦定理可得a2+b2ab=3，联立即可解得a，b的值【解答】（本题满分为14分）解：（1）f（x）=sin2xcos2x=sin2x=sin（2x）1，4分当2x=2k，即x=k（kZ）时，f（x）的最小值为2，6分此时自变量x的集合为：x/x=k，kZ7分（2）f（C）=0，sin（2C）1=0，又0C，2C=，可得：C=，9分sinB=2sinA，由正弦定理可得：b=2a，又c=，由余弦定理可得：（）2=a2+b22abcos，可得：a2+b2ab=3，13分联立解得：a=1，b=214分16已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点求证：（）直线MF平面ABCD；（）平面AFC1平面ACC1A1【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（1）延长C1F交CB的延长线于点N，由三角形的中位线的性质可得MFAN，从而证明MF平面ABCD（2）由A1ABD，ACBD，可得BD平面ACC1A1，由DANB为平行四边形，故NABD，故NA平面ACC1A1，从而证得平面AFC1ACC1A1【解答】（本小题满分12分）证明：（）延长C1F交CB的延长线于点N，连接AN因为F是BB1的中点，所以，F为C1N的中点，B为CN的中点又M是线段AC1的中点，故MFAN又MF不在平面ABCD内，AN平面ABCD，MF平面ABCD（）连BD，由直四棱柱ABCDA1B1C1D1 ，可知A1A平面ABCD，又BD平面ABCD，A1ABD四边形ABCD为菱形，ACBD又ACA1A=A，AC，A1A平面ACC1A1，BD平面ACC1A1在四边形DANB中，DABN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NABD，NA平面ACC1A1，又因为NA平面AFC1，平面AFC1ACC1A117已知椭圆C： =1（ab0）的离心率为，并且过点P（2，1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PQ平分APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由题意的离心率可得a，b的关系，化椭圆方程为x2+4y2=4b2结合C过点P（2，1），可得b2的值，进一步求得a2的值，则椭圆方程可求；（2）设直线PA的方程为y+1=k（x2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入向量公式得答案【解答】（1）解：由，得，即a2=4b2，椭圆C的方程可化为x2+4y2=4b2又椭圆C过点P（2，1），4+4=4b2，得b2=2，则a2=8椭圆C的方程为；（2）证明：由题意，设直线PA的方程为y+1=k（x2），联立，得（1+4k2）x28（2k2+k）x+16k2+16k4=0，即直线PQ平分APB，即直线PA与直线PB的斜率互为相反数，设直线PB的方程为y=1=k（x2），同理求得又，y1y2=k（x1+x2）4k即=，直线AB的斜率为18某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥（如图1）将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸（图2）如下，其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，并且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x2，2），曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点设计时要求：保持两曲线在各衔接处（B，D）的切线的斜率相等（1）曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）车辆从A经B到C爬坡，定义车辆上桥过程中某点P所需要的爬坡能力为：M=（该点P与桥顶间的水平距离）（设计图纸上该点P处的切线的斜率）其中MP的单位：米若该景区可提供三种类型的观光车：游客踏乘；蓄电池动力；内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，用已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）设出方程，利用B为衔接点，即可求出曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；（2）分类讨论，求最值，即可得出结论【解答】解：（1）由题意A为抛物线的顶点，设A（a，0）（a2），则可设方程为y=（xa）2（ax2，0），y=2（xa）曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y=（x2，2），y=，且B（2，1），则曲线在B处的切线斜率为，a=6，=，曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为y=（6x2）；（2）设P为曲线段AC上任意一点P在曲线段AB上，则通过该点所需要的爬坡能力（MP）1=，在6，3上为增函数，3，2上是减函数，最大为米；P在曲线段BC上，则通过该点所需要的爬坡能力（MP）2=（x2，0），设t=x2，t0，4，（MP）2=y=t=0，y=0；0t4，y=1（t=4取等号），此时最大为1米由上可得，最大爬坡能力为米；0.81.52，游客踏乘不能顺利通过该桥；蓄电池动力和内燃机动力能顺利通过该桥19已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an2（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足=+（1）n+1，求数列bn的通项公式；（3）在（2）的条件下，设cn=2n+bn，问是否存在实数使得数列cn（nN*）是单调递增数列？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明你的理由【考点】数列递推式；数列的求和；数列与函数的综合【分析】（1）由Sn=2an2（nN*），可得a1=2a12，解得a1=2；n2时，an=SnSn1，化为：an=2an1即可得出（2）=+（1）n+1，n2时， =+，相减可得：bn=（1）n当n=1时， =，解得b1=（3）cn=2n+bn，n3时，cn=2n+，cncn1=2n1+0，即（1）n当n为大于或等于4的偶数时，当n为大于或等于3的奇数时，当n=2时，c2c10，即8即可得出【解答】解：（1）由Sn=2an2（nN*），可得a1=2a12，解得a1=2；n2时，an=SnSn1=2an2（2an12），化为：an=2an1数列an是等比数列，公比为2，首项为2an=2n（2）=+（1）n+1，=+，=（1）n+1，bn=（1）n当n=1时， =，解得b1=bn=（3）cn=2n+bn，n3时，cn=2n+，cn1=2n1+（1）n1，cncn1=2n1+0，即（1）n当n为大于或等于4的偶数时，即，当且仅当n=4时，当n为大于或等于3的奇数时，当且仅当n=3时，当n=2时，c2c1=0，即8综上可得：的取值范围是20已知函数f（x）=（lnxk1）x（kR）（1）当x1时，求f（x）的单调区间和极值（2）若对于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，求k的取值范围（3）若x1x2，且f（x1）=f（x2），证明：x1x2e2k【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）由题意x0， =lnxk，由此根据k0，k0利用导数性质分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间和极值（2）问题转化为k+1对于xe，e2恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x4，xe，e2，则，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围（3）设x1x2，则0x1ekx2ek+1，要证x1x2e2k，只要证x2，即证，由此利用导数性质能证明x1x2e2k【解答】解：（1）f（x）=（lnxk1）x（kR），x0， =lnxk，当k0时，x1，f（x）=lnxk0，函数f（x）的单调增区间是（1，+），无单调减区间，无极值；当k0时，令lnxk=0，解得x=ek，当1xek时，f（x）0；当xek，f（x）0，函数f（x）的单调减区间是（1，ek），单调减区间是（ek，+），在区间（1，+）上的极小值为f（ek）=（kk1）ek=ek，无极大值（2）对于任意xe，e2，都有f（x）4lnx成立，f（x）4lnx0，即问题转化为（x4）lnx（k+1）x0对于xe，e2恒成立，即k+1对于xe，e2恒成立，令g（x）=，则，令t（x）=4lnx+x4，xe，e2，则，t（x）在区间e，e2上单调递增，故t（x）min=t（e）=e4+4=e0，故g（x）0，g（x）在区间e，e2上单调递增，函数g（x）max=g（e2）=2，要使k+1对于xe，e2恒成立，只要k+1g（x）max，k+12，即实数k的取值范围是（1，+）证明：（3）f（x1）=f（x2），由（1）知，函数f（x）在区间（0，ek）上单调递减，在区间（ek，+）上单调递增，且f（ek+1）=0，不妨设x1x2，则0x1ekx2ek+1，要证x1x2e2k，只要证x2，即证，f（x）在区间（ek，+）上单调递增，f（x2）f（），又f（x1）=f（x2），即证f（x1），构造函数h（x）=f（x）f（）=（lnxk1）x（lnk1），即h（x）=xlnx（k+1）x+e2k（），x（0，ek）h（x）=lnx+1（k+1）+e2k（+）=（lnxk），x（0，ek），lnxk0，x2e2k，即h（x）0，函数h（x）在区间（0，ek）上单调递增，故h（x）h（ek），故h（x）0，f（x1）f（），即f（x2）=f（x1）f（），x1x2e2k成立第21页（共21页）