第一章热力学的基本规律课后作业及答案.doc

第一章 热力学的基本规律
1．1 试求理想气体的体胀系数a，压强系数b和等温压缩系数kT。
解：已知理想气体的物态方程为
由此得到
体胀系数，
压强系数
等温压缩系数
1.2试证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得：

如果，，试求物态方程。

解 以为自变量，物质的物态方程为

其全微分为

(1)
全式除以，有

根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为
(2)
有
(3)
若，，式(3)可表示为
(4)
积分
(5)
1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为和，和可近似看作常量，今使铜块加热至。问（1压强要增加多少才能使铜块体积不变？（2若压强增加，铜块的体积改多少
解：（1）有知，当时，有

故
即
分别设为，由定义得：

所以，
1.4 理想气体，在的恒温下发生膨胀，其压强由准静态地降到，求气体所做的功和所吸取的热量。
解 将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式(1.4.2)，在准静态等温过程中气体体积由膨胀到，外界对气体所做的功为

气体所做的功是上式的负值，将题给数据代入，得

在等温过程中理想气体的内能不变，即

根据热力学第一定律(式(1.5.3))，气体在过程中吸收的热量为

1.5在下，压强在0至之间，测得水的体积为

如果保持温度不变，将的水从加压至，求外界所做的功。
解 将题中给出的体积与压强关系记为
(1)
由此易得
(2)
保持温度不变，将的水由加压至，外界所做的功为

在上述计算中我们已将过程近似看作准静态过程。

1.6在和下，空气的密度为。空气的定压比热容，。今有的空气，试计算：
(a)若维持体积不变，将空气由加热至所需的热量。
(b)若维持压强不变，将空气由加热至所需的热量。
(c)若容器有裂缝，外界压强为，使空气由缓慢地加热至所需的热量。
解 (a)由题给空气密度可以算得空气的质量为

定容比热容可由所给定压比热容算出

维持体积不变，将空气由加热至所需热量为

(b)维持压强不变，将空气由加热至所需热量为

(c)若容器有裂缝，在加热过程中气体将从裂缝漏出，使容器内空气质量发生变化．根据理想气体的物态方程

为空气的平均摩尔质量，在压强和体积不变的情形下，容器内气体的质量与温度成反比。以、表示气体在初态的质量和温度，表示温度为时气体的质量，有

所以在过程(c)中所需的热量为

将所给数据代入，得

1.7抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入。当压强达到外界压强时将活门关上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能与原来在大气中的内能之差为，其中是它原来在大气中的体积。若气体是理想气体，求它的温度和体积。
解 将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能与其原来在大气中的内能由式(1.5.3)
(1)
确定。
由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，。过程中外界对系统所做的功可以分为和两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的过程中大气压强可以认为没有变化，即过程是等压的(但不是准静态的)。过程中大气对系统所做的功为

另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功变换，则

因此式(1)可表为
(2)
如果气体是理想气体，根据式(1.3.11)和(1.7.10)，有
(3)
， (4)
式中是系统所含物质的量。代入式(2)即有
(5)
活门是在系统的压强达到时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作，其物态方程为
(6)
与式(3)比较，知
(7)

1.8满足PVn=C的过程称为多方过程，其中常数n名为多方指数。试证明，理想气体在多方过程中的热容量为
解法一：
理想气体多方过程 P V = RT
P V n = C
有
所以
另一方面，理想气体
所以得 ， 证毕
解法二：根据热力学第一定律，有

利用理想气体的物态方程，可将可化为
(1)
将上式微分，得
(2)
将(2)代入(1)式，得
，由于，
即得

1.10 假设理想气体的Cp和CV之比是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系。该关系试中要用到一个函数F(T)，其表达式为：

解：准静态绝热过程中：
∴ （1）
对于理想气体，由焦耳定律知内能的全微分为
(2)
物态方程 （3）
（2），（3）代入（1）得：
（其中）

关系式

为T的函数 ∴为T的函数。
∴
1.11利用上题的结果证明，当是温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为。
解 在是温度的函数的情形下，§1.9就理想气体卡诺循环得到的式(1.6.18)——(1.6.21)仍然成立，即仍有
(1)， (2)
(3)
对于状态1、4和2、3有下面的关系：
(4)
(5)
从这两个方程消去和，得
(6)
故
(7)
所以在是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为
(8)
1.13热机在循环中与多个热源交换热量，在热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为。试根据克劳修斯不等式证明，热机的效率不超过。
解 根据克劳修斯不等式(1.9.4)，有
(1)
式中是热机从温度为的热源吸取的热量(吸热为正，放热为负)。将热量重新定义，可以将式(1)改写为
(2)
式中是热机从热源吸取的热量，是热机在热源放出的热量，，恒正。将式(2)改写为
(3)
假设热机从其中吸取热量的热源中，热源的最高温度为，在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温度为，必有

故由式(3)得
(4)
定义为热机在过程中吸取的总热量，为热机放出的总热量，则式(4)可表为
(5)
或
(6)
根据热力学第一定律，热机在循环过程中所做的功为

热机的效率为
(7)
1.14 理想气体分别经过等压过程和等容过程，温度由升至。假设是常数，试证明前者的熵增加值为后者的倍。
解 根据式(1.10.5)，理想气体的熵函数可表达为
(1)
在等压过程中温度由，升到时，熵增加值为
(2)
根据式(1.10.2)，理想气体的熵函数也可表达为
(3)
在等容过程中温度由，升到时，熵增加值为
(4)
所以
(5)
1.15温度为的水与温度为的恒温热源接触后，水温达到。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使参与过程的整个系统的熵保持不变，应如何使水温从升至?已知水的比热容为。
解 的水与温度为的恒温热源接触后水温升为，这一过程是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的熵变，可以设想一个可逆过程，它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化，通过设想的可逆过程来求不可逆过程前后的熵变。
为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在与之间。令水依次从这些热源吸热，使水温由升至。在这可逆过程中，水的熵变为
(1)
水从升温至所吸收的总热量为

为求热源的熵变，可令热源向温度为的另一热源放出热量。在这可逆过程中，热源的熵变为
(2)
由于热源的变化相同，式(2)给出的熵变也就是原来的不可逆过程中热源的熵变。则整个系统的总熵变为
(3)
为使水温从升至而参与过程的整个系统的熵保持不变，应令水与温度分布在与之间的一系列热源吸热。水的熵变仍由式(2)给出。这一系列热源的熵变之和为
(4)
参与过程的整个系统的总熵变为
(5)
1.16的电流通过一个的电阻器，历时。
(a)若电阻器保持为室温，试求电阻器的熵增加值。
(b)若电阻器被一绝热壳包装起来，其初温为，电阻器的质量为，比热容为，问电阻器的熵增加值为多少?
解 (a)以，为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的，如果电阻器的温度也保持为室温不变，则电阻器的熵作为状态函数也就保持不变。
(b)如果电阻器被绝热壳包装起来，电流产生的焦耳热将全部被电阻器吸收而使其温度由升为，所以有
，
故

1.17均匀杆的温度一端为，另一端为。试计算达到均匀温度后的熵增加值。
解 以表示杆的长度。杆的初始状态是端温度为，端温度为，温度梯度为，(设)。这是一个非平衡状态。通过均匀杆中的热传导过程，最终达到具有均匀温度的平衡状态。为求这一过程的熵变，我们将杆分为长度为的许多小段。位于到的小段，初温为
(1)
这小段由初温变到终温后的熵增加值为
(2)
其中是均匀杆单位长度的定压热容量。
根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为

式中是杆的定压热容量。

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