甘肃省张掖市2022年九年级数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc
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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷 考生须知: 1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题(每题4分,共48分) 1.抛物线y=2(x﹣3)2+2的顶点坐标是( ) A.(﹣3,2) B.(3,2) C.(﹣3,﹣2) D.(3,﹣2) 2.点A(﹣3,y1),B(﹣1,y2),C(1,y3)都在反比例函数y=﹣的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y1<y3 3.二次函数图象的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 4.下列说法中,正确的是( ) A.如果k=0,是非零向量,那么k=0 B.如果是单位向量,那么=1 C.如果||=||,那么=或=﹣ D.已知非零向量,如果向量=﹣5,那么∥ 5.若点在反比例函数的图象上,且,则下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 6.二次函数y=x2﹣2x+2的顶点坐标是( ) A.(1,1) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,3) 7.反比例函数的图象经过点,,当时,的取值范围是( ) A. B. C. D. 8.若△ABC∽△ADE,若AB=9,AC=6,AD=3,则EC的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 9.如图,水杯的杯口与投影面平行,投影线的几方向如箭头所示,它的正投影是( ) A. B. C. D. 10.下列图形中一定是相似形的是( ) A.两个菱形 B.两个等边三角形 C.两个矩形 D.两个直角三角形 11.八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为:80分,85分,95分,95分,95分,100分,则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是( ) A.95分,95分 B.95分,90分 C.90分,95分 D.95分,85分 12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(﹣1,2)和点N(1,﹣2),则下列说法错误的是( ) A.a+c=0 B.无论a取何值,此二次函数图象与x轴必有两个交点,且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2 C.当函数在x<时,y随x的增大而减小 D.当﹣1<m<n<0时,m+n< 二、填空题(每题4分,共24分) 13.抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标为_____. 14.如图,的直径垂直弦于点,且,,则弦__________. 15.已知1是一元二次方程的一个根,则p=_______. 16.如图,某河堤的横截面是梯形,,迎水面长26,且斜坡的坡比(即)为12:5,则河堤的高为__________. 17.在△ABC中,已知(sinA-)2+│tanB-│=1.那么∠C=_________度. 18.如图,在半径为2的⊙O中,弦AB⊥直径CD,垂足为E,∠ACD=30°,点P为⊙O上一动点,CF⊥AP于点F. ①弦AB的长度为_____; ②点P在⊙O上运动的过程中,线段OF长度的最小值为_____. 三、解答题(共78分) 19.(8分)如图,点E,F,G,H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形,AG=x,正方形EFGH的面积为y. (1)当a=2,y=3时,求x的值; (2)当x为何值时,y的值最小?最小值是多少? 20.(8分)甲、乙两人进行摸牌游戏现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,1.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上,甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再从中随机抽取一张. (1)甲从中随机抽取一张牌,抽取的数字为奇数的概率为 ; (2)请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取的数字相同的概率. 21.(8分)某厂生产的甲、乙两种产品,已知2件甲商品的出厂总价与3件乙商品的出厂总价相同,3件甲商品的出厂总价比2件乙商品的出厂总价多1500元. (1)求甲、乙商品的出厂单价分别是多少? (2)某销售商计划购进甲商品200件,购进乙商品的数量是甲的4倍.恰逢该厂正在对甲商品进行降价促销活动,甲商品的出厂单价降低了,该销售商购进甲的数量比原计划增加了,乙的出厂单价没有改变,该销售商购进乙的数量比原计划少了.结果该销售商付出的总货款与原计划的总货款恰好相同,求的值. 22.(10分)已知AD为⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为M,分别过A,D两点作BC的垂线,垂足分别为B,C,AD的延长线与BC相交于点E. (1)求证:△ABM∽△MCD; (2)若AD=8,AB=5,求ME的长. 23.(10分)已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(﹣1,0)、B(3,0),且与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是y轴正半轴上的一个动点,连结DP,将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE,点P的对应点E恰好落在抛物线上,求出此时点P的坐标; (3)点M(m,n)是抛物线上的一个动点,连接MD,把MD2表示成自变量n的函数,并求出MD2取得最小值时点M的坐标. 24.(10分)已知关于的方程 (1)无论取任何实数,方程总有实数根吗?试做出判断并证明你的结论. (2)抛物线的图象与轴两个交点的横坐标均为整数,且也为正整数.若,是此抛物线上的两点,且,请结合函数图象确定实数的取值范围. 25.(12分)我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.如图,在△ABC中,AB>AC,点D,E分别在AB,AC上,设CD,BE相交于点O,如果∠A是锐角,∠DCB=∠EBC=∠A.探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明你的结论. 26.如图,AB是⊙O的直径,,E是OB的中点,连接CE并延长到点F,使EF=CE.连接AF交⊙O于点D,连接BD,BF. (1)求证:直线BF是⊙O的切线; (2)若OB=2,求BD的长. 参考答案 一、选择题(每题4分,共48分) 1、B 【分析】根据y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k)可得答案. 【详解】解:抛物线y=2(x﹣3)2+2的顶点坐标是(3,2), 故选:B 【点睛】 本题考查二次函数的性质;熟练掌握二次函数由解析式求顶点坐标的方法是解题的关键. 2、C 【解析】将x的值代入函数解析式中求出函数值y即可判断. 【详解】当x=-3时,y1=1, 当x=-1时,y2=3, 当x=1时,y3=-3, ∴y3<y1<y2 故选:C. 【点睛】 考查反比例函数图象上的点的特征,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 3、A 【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标. 【详解】∵, ∴二次函数图像顶点坐标为:. 故答案为A. 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x-h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k). 4、D 【分析】根据平面向量的性质一一判断即可. 【详解】解:A、如果k=0,是非零向量,那么k=0,错误,应该是k=. B、如果是单位向量,那么=1,错误.应该是=1. C、如果||=||,那么=或=﹣,错误.模相等的向量,不一定平行. D、已知非零向量,如果向量=﹣5,那么∥,正确. 故选:D. 【点睛】 本题主要考查平面向量,平行向量等知识,解题的关键是熟练掌握平面向量的基本知识. 5、C 【分析】先判断反比例函数所在象限,再根据反比例函数的性质解答即可. 【详解】解:反比例函数为,函数图象在第二、四象限,在每个象限内,随着的增大而增大, 又,,,. 故选C. 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象和性质,属于基本题型,熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键. 6、A 【分析】根据顶点坐标公式,可得答案. 【详解】解:的顶点横坐标是,纵坐标是, 的顶点坐标是. 故选A. 【点睛】 本题考查了二次函数的性质,二次函数的顶点坐标是 7、B 【解析】由图像经过A(2,3)可求出k的值,根据反比例函数的性质可得时,的取值范围. 【详解】∵比例函数的图象经过点, ∴-3=, 解得:k=-6, 反比例函数的解析式为:y=-, ∵k=-6<0, ∴当时,y随x的增大而增大, ∵x=1时,y=-6,x=3时,y=-2, ∴y的取值范围是:-6<y<-2, 故选B. 【点睛】 本题考查反比例函数的性质,k>0时,图像在一、三象限,在各象限y随x的增大而减小;k<0时,图像在二、四象限,在各象限y随x的增大而增大;熟练掌握反比例函数的性质是解题关键. 8、C 【分析】利用相似三角形的性质得,对应边的比相等,求出AE的长,EC=AC-AE,即可计算DE的长; 【详解】∵△ABC∽△ADE, ∴, ∵AB=9,AC=6,AD=3, ∴AE=2, 即EC=AC-AE=6-2=4; 故选C. 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质,掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 9、D 【解析】水杯的杯口与投影面平行,即与光线垂直,则它的正投影图有圆形. 【详解】解:依题意,光线是垂直照下的,它的正投影图有圆形,只有D符合, 故选:D. 【点睛】 本题考查正投影的定义及正投影形状的确定. 10、B 【分析】如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,则这两个多边形是相似多边形. 【详解】解:∵等边三角形的对应角相等,对应边的比相等, ∴两个等边三角形一定是相似形, 又∵直角三角形,菱形的对应角不一定相等,矩形的边不一定对应成比例, ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形, 故选:B. 【点睛】 本题考查了相似多边形的识别.判定两个图形相似的依据是:对应边成比例,对应角相等,两个条件必须同时具备. 11、A 【详解】这组数据中95出现了3次,次数最多,为众数;中位数为第3和第4两个数的平均数为95, 故选A. 12、C 【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可. 【详解】解:∵函数经过点M(﹣1,2)和点N(1,﹣2), ∴a﹣b+c=2,a+b+c=﹣2, ∴a+c=0,b=﹣2, ∴A正确; ∵c=﹣a,b=﹣2, ∴y=ax2﹣2x﹣a, ∴△=4+4a2>0, ∴无论a为何值,函数图象与x轴必有两个交点, ∵x1+x2=,x1x2=﹣1, ∴|x1﹣x2|=2>2, ∴B正确; 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴x=﹣=, 当a>0时,不能判定x<时,y随x的增大而减小; ∴C错误; ∵﹣1<m<n<0,a>0, ∴m+n<0,>0, ∴m+n<; ∴D正确, 故选:C. 【点睛】 本题考查了二次函数的问题,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 二、填空题(每题4分,共24分) 13、(2,﹣1). 【解析】先把函数解析式配成顶点式得到y=(x-2)2-1,然后根据顶点式即可得到顶点坐标. 解:y=(x-2)2-1, 所以抛物线的顶点坐标为(2,-1). 故答案为(2,-1). “点睛”本题考查了二次函数的性质.二次函数的三种形式:一般式:y=ax2+bx+c,顶点式:y=(x-h)2+k;两根式:y=a(x-x1)(x-x2). 14、 【分析】先根据题意得出⊙O的半径,再根据勾股定理求出BE的长,进而可得出结论. 【详解】连接OB,∵,, ∴OC=OB=(CE+DE)=5, ∵CE=3, ∴OE=5−3=2, ∵CD⊥AB, ∴BE==. ∴AB=2BE=. 故答案为:. 【点睛】 本题考查的是垂径定理,熟知平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键. 15、2 【分析】根据一元二次方程的根即方程的解的定义,将代入方程中,即可得到关于的方程,解方程即可得到答案. 【详解】解:∵1是一元二次方程的一个根 ∴ ∴ 故答案是: 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义,一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值,即用这个数代替未知数所得式子仍然成立. 16、24cm 【分析】根据坡比(即)为12:5,设BE=12x,AE=5x,因为AB=26cm,根据勾股定理列出方程即可求解. 【详解】解:设BE=12x,AE=5x, ∵AB=26cm, ∴ ∴BE=2×12=24cm 故答案为:24cm. 【点睛】 本题主要考查的是坡比以及勾股定理,找出图中的直角三角形在根据勾股定理列出方程即可求解. 17、2 【分析】直接利用非负数的性质和特殊角的三角函数值求出∠A,∠B的度数,进而根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】∵(sinA)2+|tanB|=1, ∴sinA1,tanB1, ∴sinA,tanB, ∴∠A=45°,∠B=61°, ∴∠C=181°-∠A-∠B=181°-45°-61°=2°. 故答案为:2. 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解答本题的关键. 18、2. -1 【分析】①在Rt△AOE中,解直角三角形求出AE即可解决问题. ②取AC的中点H,连接OH,OF,HF,求出OH,FH,根据OF≥FH-OH,即,由此即可解决问题. 【详解】解:①如图,连接OA. ∵OA=OC=2, ∴∠OCA=∠OAC=30°, ∴∠AOE=∠OAC+∠ACO=60°, ∴AE=OA•sin60°=, ∵OE⊥AB, ∴AE=EB=, ∴AB=2AE=2, 故答案为2. ②取AC的中点H,连接OH,OF,HF, ∵OA=OC,AH=HC, ∴OH⊥AC, ∴∠AHO=90°, ∵∠COH=30°, ∴OH=OC=1,HC=,AC=2, ∵CF⊥AP, ∴∠AFC=90°, ∴HF=AC=, ∴OF≥FH﹣OH,即OF≤﹣1, ∴OF的最小值为﹣1. 故答案为﹣1. 【点睛】 本题考查轨迹,圆周角定理,解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题. 三、解答题(共78分) 19、(1)x=;(1)当x=a(即E在AB边上的中点)时,正方形EFGH的面积最小,最小的面积为a1. 【分析】(1)设正方形ABCD的边长为a,AE=x,则BE=a﹣x,易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG,再利用勾股定理求出EF的长,进而得到正方形EFGH的面积; (1)利用二次函数的性质即可求出面积的最小值. 【详解】解:设正方形ABCD的边长为a,AE=x,则BE=a﹣x, ∵四边形EFGH是正方形, ∴EH=EF,∠HEF=90°, ∴∠AEH+∠BEF=90°, ∵∠AEH+∠AHE=90°, ∴∠AHE=∠BEF, 在△AHE和△BEF中,, ∴△AHE≌△BEF(AAS), 同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG, ∴AE=BF=CG=DH=x,AH=BE=CF=DG=a﹣x ∴EF1=BE1+BF1=(a﹣x)1+x1=1x1﹣1ax+a1, ∴正方形EFGH的面积y=EF1=1x1﹣1ax+a1, 当a=1,y=3时,1x1﹣4x+4=3, 解得:x=; (1)∵y=1x1﹣1ax+a1=1(x﹣a)1+a1, 即:当x=a(即E在AB边上的中点)时,正方形EFGH的面积最小,最小的面积为a1. 【点睛】 本题考查了二次函数的应用,正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质,题目的综合性较强,难度中等. 20、(1);(2). 【分析】(1)解答时根据条件找出规律解答,先找出奇数,然后求概率.(2)熟悉列表法或画树状图法,求出数字相同的概率. 【详解】(1)∵共有3张纸牌,其中数字是奇数的有2张, ∴甲从中随机抽取一张牌,抽取的数字为奇数的概率为, 故答案为. (2)列表如下: 由表知,共有9种等可能结果,其中两人抽取的数字相同的有3种结果, 所以两人抽取的数字相同的概率为=. 【点睛】 此题重点考察学生对概率的实际应用能力,抓住概率的计算公式,理解列表法或画树状图法是解题的关键. 21、(1)甲商品的出厂单价为900元/件,乙商品的出厂单价为600元/件;(2)的值为1. 【分析】(1)设甲商品的出厂单价是x元/件,乙商品的出厂单价为y元/件,根据题意列出方程组,解之即可得出结论; (2)根据总价=单价×数量结合改变采购计划后的总货款与原计划的总货款恰好相同,即可得出关于a的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论. 【详解】解:(1)设甲商品的出厂单价为元/件,乙商品的出厂单价为元/件,根据题意,可得, ,解得. 答:甲商品的出厂单价为900元/件,乙商品的出厂单价为600元/件. (2)根据题意,可得, , 令,化简,得, 解得,(舍去). ∴,即. 答:的值为1. 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是找出等量关系,正确列出二元一次方程组与一元二次方程. 22、(1)证明见解析(2)4 【分析】(1)由AD为直径,得到所对的圆周角为直角,利用等角的余角相等得到一对角相等,进而利用两对角对应相等的三角形相似即可得证; (2)连接OM,由BC为圆的切线,得到OM与BC垂直,利用锐角三角函数定义及勾股定理即可求出所求. 【详解】解:(1)∵AD为圆O的直径,∴∠AMD=90°. ∵∠BMC=180°,∴∠2+∠3=90°. ∵∠ABM=∠MCD=90°,∴∠2+∠1=90°,∴∠1=∠3,∴△ABM∽△MCD; (2)连接OM. ∵BC为圆O的切线,∴OM⊥BC. ∵AB⊥BC,∴sin∠E==,即=. ∵AD=8,AB=5,∴=,即OE=16,根据勾股定理得:ME===4. 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质,圆周角定理,锐角三角函数定义以及切线的性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 23、(2)y=﹣x2+2x+2;(2)点P的坐标为(0,2+);(2)MD2=n2﹣n+3;点M的坐标为( ,)或(,). 【分析】(2)根据点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)过点E作EF⊥x轴于点F,根据旋转的性质及同角的余角相等,可证出△ODP≌△FED(AAS),由抛物线的解析式可得出点D的坐标,进而可得出OD的长度,利用全等三角形的性质可得出EF的长度,再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出DF,OP的长,结合点P在y轴正半轴即可得出点P的坐标;(2)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出m2﹣2m=2﹣n,根据点D,M的坐标,利用两点间的距离公式可得出MD2=n2﹣n+3,利用配方法可得出当MD2取得最小值时n的值,再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出当MD2取得最小值时点M的坐标. 【详解】(2)将A(﹣2,0),B(2,0)代入y=ax2+bx+2,得:, 解得:, ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2. (2)过点E作EF⊥x轴于点F,如图所示. ∵∠OPD+∠ODP=90°,∠ODP+∠FDE=90°, ∴∠OPD=∠FDE. 在△ODP和△FED中,, ∴△ODP≌△FED(AAS), ∴DF=OP,EF=DO. ∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2=﹣(x﹣2)2+3, ∴点D的坐标为(2,0), ∴EF=DO=2. 当y=2时,﹣x2+2x+2=2, 解得:x2=2﹣(舍去),x2=2+, ∴DF=OP=2+, ∴点P的坐标为(0,2+). (2)∵点M(m,n)是抛物线上的一个动点, ∴n=﹣m2+2m+2, ∴m2﹣2m=2﹣n. ∵点D的坐标为(2,0), ∴MD2=(m﹣2)2+(n﹣0)2=m2﹣2m+2+n2=2﹣n+2+n2=n2﹣n+3. ∵n2﹣n+3=(n﹣)2+, ∴当n=时,MD2取得最小值,此时﹣m2+2m+2=, 解得:m2=,m2=. ∴MD2=n2﹣n+3, 当MD2取得最小值时,点M的坐标为(,)或(,). 【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、二次函数的最值以及两点间的距离公式,解题的关键是:(2)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)利用全等三角形的性质及二次函数图象上点的坐标特征求出OP的长;(2)利用两点间的距离公式结合二次函数图象上点的坐标特征,找出MD2=n2﹣n+3. 24、(1)无论取任何实数,方程总有实数根;证明见解析;(2). 【分析】(1)由题意分当时以及当时,利用根的判别式进行分析即可; (2)根据题意令,代入抛物线解析式,并利用二次函数图像性质确定实数的取值范围. 【详解】解:(1)①当时,方程为时,,所以方程有实数根; ②当时, 所以方程有实数根 综上所述,无论取任何实数,方程总有实数根. (2)令,则,解方程, ∵二次函数图象与轴两个交点的横坐标均为整数,且为正整数 ∴ ∴该抛物线解析式 ∴对称轴 ∵,是抛物钱上的两点,且 ∴ 【点睛】 本题考查二次函数图像的综合问题,熟练掌握二次函数图像的相关性质是解题关键. 25、存在等对边四边形,是四边形DBCE,见解析 【分析】作CG⊥BE于G点,作BF⊥CD交CD延长线于F点,证明△BCF≌△CBG,得到BF=CG,再证∠BDF=∠BEC,得到△BDF≌△CEG,故而BD=CE,即四边形DBCE是等对边四边形. 【详解】解:此时存在等对边四边形,是四边形DBCE. 如图,作CG⊥BE于G点,作BF⊥CD交CD延长线于F点. ∵∠DCB=∠EBC=∠A,BC为公共边, ∴△BCF≌△CBG, ∴BF=CG, ∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,∠BEC=∠ABE+∠A, ∴∠BDF=∠BEC, ∴△BDF≌△CEG, ∴BD=CE ∴四边形DBCE是等对边四边形. 【点睛】 此题考查新定义形式下三角形全等的判定,由题意及图形分析得到等对边四边形是四边形DBCE,应证明线段BD=CE,只能作辅助线通过证明三角形全等得到结论,继而得解此题. 26、(1)证明见解析;(2)BD=. 【分析】(1)连接OC,由已知可得∠BOC=90°,根据SAS证明△OCE≌△BFE,根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°,继而可证明直线BF是⊙O的切线; (2)由(1)的全等可知BF=OC=2,利用勾股定理求出AF的长,然后由S△ABF=,即可求出BD=. 【详解】解:(1)连接OC, ∵AB是⊙O的直径,,∴∠BOC=90°, ∵E是OB的中点,∴OE=BE, 在△OCE和△BFE中, , ∴△OCE≌△BFE(SAS), ∴∠OBF=∠COE=90°, ∴直线BF是⊙O的切线; (2)∵OB=OC=2,由(1)得:△OCE≌△BFE, ∴BF=OC=2, ∴AF=, ∴S△ABF=, 即4×2=2BD, ∴BD=. 【点睛】 本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法,熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.- 配套讲稿:
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