第三讲：几何变换应用.doc

第三讲 全等变换的应用
全等变换的复习与九上证明二和证明三的衔接
【核心讲解】
在第一讲我们知道，全等变换是指对图形的旋转、平移以及对折（对称）．应用全等变换可以解决许多平面几何问题，使用这种解决问题的方法对于理清解题思路、简化解题步骤有着不可替代的作用，并且对难度较大的一些平面几何问题的解决有化难为易的奇效．
通过学习，首先应明白应用全等变换的目：一是将题目中所给的分散的条件加以拼合，组成某种特殊关系或者特殊形状的图形．二是将结论中或所要求解的线段、角等加以拼合，使得它们处在同一个基本图形中，从而达到方便解题的目的．下面，我们就通过例题来说明，如何利用全等变换解证几何问题的．
【思维体验】
一、旋转变换的应用
A
B
C
D
E
【例1】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE//BC且DE=½BC．

例1图

【反思与小结】1．当题设中涉及到具有公共点的相等线段（特别是已知线段的中点）时，可以考虑使用旋转变换，以这个公共点（或线段中点）为旋转中心，通过旋转使相等的线段重合．
2．本例证明的是几何中一个很重要的定理——三角形中位线定理：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．同学们可证明另一个定理：过三角形一边中点与另一边平行的直线，必平分第三边．
A
B
C
M
D
N
【例2】如图，点M、N在正方形ABCD边BC、CD上，已知△MCN的周长是正方形ABCD的周长的一半，求证：∠MAN=450
【点拨】注意到∠DAB=90°，所以只需证明∠MAN=
∠DAN+∠MAB．如何使∠DAN与∠MAB“合二为一”呢？

例2图

【反思与小结】旋转变换是几何变换中比较常见的一种变换，它在几何求解题、证明题、作图题中都有着广泛的应用，当题设中涉及到正多边形（等边三角形、正方形、正六边形等）的情形时，采用旋转变换将分散的元素集中或将有关条件建立起联系，可收到事半功倍之效。掌握旋转变换的应用，对进行初等几何教学具有很好的指导作用。
二、平移变换的应用
【例3】如图，△ABC中，BD、CE是AB、AC边上的中线，且BD=CE．求证：AB=AC
A
B
E
C
D
【点拨】将分散的条件“BD、CE是…且BD=CE”，集中于一个三角
形内（构成三角形的两条边）以便于利用这个条件．
【解】

例3图

【反思与小结】此为将分散条件通过平移而集中的一例，又是线段的平移．通常如本例所那样，是通过构造平行四边形来平移线段的．平移之后还要利用平移的性质，找出图中线段、角的等量关系.利用所找的等量关系和已知条件，确定解题方法并作出解答.
【例4】（2009年绥化中考题改编）如图：在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，FE的延长线分别交BA、CD的延长线于点M、N，若AB=CD．求证：∠BMF=∠CNF
A
M
B
E
C
D
F
N
【点拨】由于∠BMF与∠CNF看上去有些“错位”，因此需将它们通过
变换“拉近”．

例4图

【反思与小结】此为将结论中分散图形通过平移而集中的一例，又是角的平移．角的平移可有两种方法：一是在该角的一条边上选取一个适当的点，过该点作角的另一边的平行线；二是在图形中选取一个适当的点，过该点分别作角的两边的平行线．通常情况下的，方法一优于方法二．在例2中，需平移两个角，请注意这里是怎样利用中位线平移角的．
A
B
C
D
三、对称变换的应用
【例5】1．如图，△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC于D．
求证：BD=AC+CD．
【点拨】将条件中所涉及到的∠C移动位置，以便更好地利用
条件∠C=2∠B．那么怎样移动∠C呢？

例5图1

A
B
C
D
2．如图，△ABC中，AD是角平分线，若AB=AC+CD， 求证∠C=2∠B．
【点拨】注意利用角是以它的平分线为对称轴的图形添加辅助线，使∠C
处于与∠B有密切关系的位置．

例5图2

【反思与小结】当题设中涉及垂线（或角平分线）时，可以考虑使用对称法添加辅助线．这样，能够将垂线（或角平分线）一边的图形移动到这条垂线（或角平分线）的另一边．
【例6】（2010年浙江台州中考题）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E
=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．
②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．
（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．
【点拨】对于（2），需添加辅助线构造三角形，以便利用三角形两边之和大于第三边来证明．
图1
图2
图3
图4

【反思与小结】在解决某些几何问题时，可以选择某直线为对称轴，通过翻折，将不是轴对称的图形变为轴对称图形．或将轴一侧的图形通过“反射”变到另一侧，使条有关图形相对集中．
【积累与总结】
平移、旋转、对称是几何变换中的基本变换，三者也都是全等变换．.“全等变换,变而不变”.正是“变”,重构了图形的相互位置关系,优化配置了已知条件;正是“不变”,保留了非方位关系,得以在新的环境下对原对象进行等价研究.所以，全等变换是作为一种数学思想帮助我们打开证明思路，使题解“峰回路转”“柳暗花明”的．
【一试身手】
基础训练
A
F
B
M
C
D
E
1．如图，四边形ABCD中AB=CD，E、F、M分别是AD、BC、BD中点，求证：△EMF是等腰三角形。

y
O
A
B
C
P
D
x
2．(2010年鄂州)如图，正方形OABC的边长为6，点A、C分别在
x轴、y轴的正半轴上，点D(2，0)在OA上，P是OB上一动点，
则PA＋PD的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6

3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=400，∠B=700，求证：AD=AB–CD

A
B
C
P
4．等边△ABC中，P是三角形内一点，且∠APB=∠APC，求证：BP=CP

5．如图，正方形ABCD中，∠1=∠2，求证：BE+DF=AE

6．如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，求证：BC﹣AC=AD．
A
B
C
D

7．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，∠CAE=∠B，E是CD的中点，AE平分∠BAE．
A
B
C
E
D
求证：BD=AC．

提高训练
A
B
C
D
1．如图，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．AB>AD，下列结论正确的是（ ）
A．AB﹣AD>CB﹣CD
B． AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD<CB﹣CD
D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小不确定
2．如图，四边形ABCD中，AC=BD，AC、BD交于O，E、F是AB、CD中点，EF交对角线于点G、H，求证：OG=OH

3．在正方形ABCD作∠MAN=45°，M、N分别在BC、CD上，再作AH⊥MN于H．
求证：AH等于正方形的边长．

4．如图，在“风车三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°．
求证：S△AOB′+ S△BOC ′ + S△COA ′ <

5．(2010年重庆第26题第(3)题) 如图，△是边长为2的等边三角形, △是顶角∠
=120°的等腰三角形．，其两边分别与，交于点，，连接．将绕着点旋转（旋转角），使得，始终在边和边上．试判断在这一过程中，△的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化请说明理由．
A
C
B
O
M
N

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