2022年湖南省长沙市雅实、北雅、长雅三校数学九上期末经典模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．如图，在中，，，，则等于（ ）

A． B． C． D．
2．如图，在ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5， AD⊥AB于点A，过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则ADC的面积为（ ）

A． B．4 C． D．
3．从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程（ ）

A． B．
C． D．
4．已知二次函数y=-x2+2mx+2,当x<-2时，y的值随x的增大而增大，则实数m（ ）
A．m=-2 B．m>-2 C．m≥-2 D．m≤-2
5．太阳与地球之间的平均距离约为150000000km，用科学记数法表示这一数据为（ ）
A．1.5×108 km B．15×107 km C．0.15×109 km D．1.5×109 km
6．中国在夏代就出现了相当于砝码的“权”，此后的多年间，不同朝代有不同形状和材质的“权”作为衡量的量具.下面是一个“”形增砣砝码，其俯视图如下图所示，则其主视图为（ ）

A． B． C． D．
7．下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )

A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
9．关于抛物线，下列结论中正确的是（ ）
A．对称轴为直线
B．当时，随的增大而减小
C．与轴没有交点
D．与轴交于点
10．四边形为平行四边形，点在的延长线上，连接交于点，则下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
11．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．﹣
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，是用卡钳测量容器内径的示意图．量得卡钳上A，D两端点的距离为4cm，，则容器的内径BC的长为_____cm．

14．如图，的弦，半径交于点，是的中点，且，则的长为__________．

15．一元二次方程x2﹣x﹣=0配方后可化为__________．
16．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为_____．

17．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝2． 将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与轴相切，则平移距离为_____．

18．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，若已知点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）解方程：
(1)3(2x+1)2=108
(2)3x(x－1)=2－2x
(3)x2－6x+9=(5－2x)2
(4)x(2x－4)=5－8x
21．（8分）解方程：（x﹣2）（x﹣1）＝3x﹣6
22．（10分）在一个不透明的口袋中装有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其它都相同，从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率．
23．（10分）每年十月的第二个周四是世界爱眼日，为预防近视，超市决定对某型号护眼台灯进行降价销售．降价前，进价为30元的护眼台灯以80元售出，平均每月能售出200盏，调查表明：这种护眼台灯每盏售价每降低1元，其月平均销售量将增加10盏．
(1)写出月销售利润y(单位：元)与销售价x(单位：元/盏)之间的函数表达式；
(2)当销售价定为多少元时，所得月利润最大？最大月利润为多少元？
24．（10分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等
（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ：
（2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率．
25．（12分）为培养学生良好的学习习惯，某学校计划举行一次“整理错题集”的展示活动，对该校部分学生“整理错题集”的情况进行了一次抽样调查，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

整理情况
频数
频率
非常好

0.21
较好
70

一般

不好
36

（1）本次抽样共调查了多少名学生？
（2）补全统计表中所缺的数据．
（3）该校有1500名学生，估计该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约多少名．
26．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于A（1，a）、B两点．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】分析：先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．
详解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8，
∴BC=，
∴sinA=.
故选：A．
点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义．
2、D
【分析】根据题意得出AB∥DE，得△CED∽△CAB，利用对应边成比例求CD长度，再根据等腰直角三角形求出底边上的高，利用面积公式计算即可.
【详解】解：如图，过A作AF⊥BC，垂足为F，
∵AD⊥AB,
∴∠BAD =90°
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
BD= ,
∵AF⊥BD,
∴AF= .
∵AD⊥AB，DE⊥AD,
∴∠BAD=∠ADE=90°,
∴AB∥DE，
∴∠CDE=∠B, ∠CED=∠CAB,
∴△CDE∽△CBA,
∴ ,
∴,
∴CD= ,
∴S△ADC= .
故选：D

【点睛】
本题考查相似三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例求线段长是解答此题的关键.
3、B
【分析】根据题意，门框的长、宽以及竹竿长是直角三角形的三边长，等量关系为：门框长的平方+门框宽的平方=门的对角线长的平方，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．
∴门框的长为（x-2）尺，宽为（x-4）尺，
∴可列方程为（x-4）2+（x-2）2=x2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到门框的长，宽，竹竿长是直角三角形的三边长是解决问题的关键．
4、C
【解析】根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定m值的范围.
【详解】解：抛物线的对称轴为直线
∵,抛物线开口向下，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，
∵当时，y的值随x值的增大而增大，
∴ ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键.
5、A
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于150000000有9位，所以可以确定n=9-1=1．
【详解】150 000 000km=1.5×101km．
故选：A．
【点睛】
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
6、A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】从正面看中间的矩形的左右两边是虚的直线，
故选：A.
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
7、C
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
【详解】解：、不是轴对称图形，不合题意；
、不是轴对称图形，不合题意；
、是轴对称图形，符合题意；
、不是轴对称图形，不合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查的是轴对称图形的概念，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8、A
【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，

∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
9、B
【分析】根据二次函数的图像与性质即可得出答案.
【详解】A：对称轴为直线x=-1，故A错误；
B：当时，随的增大而减小，故B正确；
C：顶点坐标为(-1,-2)，开口向上，所以与x轴有交点，故C错误；
D：当x=0时，y=-1，故D错误；
故答案选择B.
【点睛】
本题考查的是二次函数，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质.
10、D
【分析】根据四边形为平行四边形证明，从而出，对各选项进行判断即可．
【详解】∵四边形为平行四边形
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的线段比例问题，掌握平行四边形的性质、相似三角形的性质以及判定是解题的关键．
11、D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
既是中心对称图形又是轴对称图形的有1个，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
12、C
【分析】将变形为﹣1，再代入计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：C．
【点睛】
考查了比例的性质，解题的关键是将变形为．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】依题意得：△AOD∽△BOC，则其对应边成比例，由此求得BC的长度．
【详解】解：如图，连接AD，BC，
∵，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴，
又AD＝4cm，
∴BC＝AD＝1cm．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
14、2
【分析】
连接OA，先根据垂径定理求出AO的长，再设ON=OA，则MN=ON-OM即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，连接OA，

∵半径交于点，是的中点，
∴AM=BM==4,∠AMO=90°，
∴在Rt△AMO中
OA= =5.
∵ON=OA，
∴MN=ON-OM=5-3=2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15、
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【详解】x2﹣x﹣=0
x2﹣x=
x2﹣x+=+

故填：.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
16、-1．
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积，再根据线段中点的性质可知，最后根据双曲线所在的象限即可求出k的值.
【详解】如图，连接OP
∵点B为AO的中点，的面积为3

由反比例函数的几何意义得
则，即
又由反比例函数图象的性质可知
则
解得
故答案为：.

【点睛】
本题考查了反比例函数的图象与性质、线段的中点，熟记反比例函数的性质是解题关键.
17、1或1
【分析】过点P作PC⊥x轴于点C，连接PA，由垂径定理得⊙P的半径为2，因为将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与轴相切，分两种情况进行讨论求值即可．由
【详解】解：
过点P作PC⊥x轴于点C，连接PA，
AB＝，，
点P的坐标为(1，－1)，PC=1，
，
将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与轴相切，
①当沿着y轴的负方向平移，则根据切线定理得：PC=PA=2即可，
因此平移的距离只需为1即可；
②当沿着y轴正方向移动，由①可知平移的距离为３即可．
故答案为1或1．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质及切线定理，关键是根据垂径定理得到圆的半径，然后进行分类讨论即可．
18、m＞4
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：△＜0，
∴，
∴m＞4
故答案为：m＞4
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式．

三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）；（3）存在，(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)
【分析】（1）将A点代入抛物线的解析式即可求得答案；
（2）先求得点B、点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC的解析式；
（3）设出P点坐标，然后表示出△ACP的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等建立方程，求解即可．
【详解】（1）将点代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）当时，，
∴点C的坐标为(0，4) ，
当时，，
解得： ，
∴点B的坐标为(6，0) ，
设直线BC的解析式为，
将点B (6，0)，点C (0，4)代入，得：
，
∴，
∴直线BC的解析式为，
（3）抛物线的对称轴为，
假设存在点P，设，
则，
，
，
∵△ACP为等腰三角形，
①当时，，
解之得：，
∴点P的坐标为(2，2)或(2，-2)；
②当时，，
解之得：或(舍去)，
∴点P的坐标为(2，0)或(2，8)，
设直线AC的解析式为，
将点A(-2，0)、C (0，4)代入得，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
当时，，
∴点(2，8)在直线AC上，
∴A、C、P在同一直线上，点(2，8)应舍去；
③当时，，
解之得：，
∴点P的坐标为(2，)；
综上，符合条件的点P存在，坐标为：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，方程思想及分类讨论思想等知识点．在（3）中利用点P的坐标分别表示出AP、CP的长是解题的关键．
20、（1）x1=，x2=；（2）x1=1，x2=；（3）x1 =，x2=2；（4）x1=， x2=
【分析】（1）两边同时除以3，再用直接开平方法解得；
（2）移项，方程左边可以提取公因式（x-1），利用因式分解法求解得；
（3）先把方程化为两个完全平式的形式，再用因式分解法求出x的值即可．
（4）方程整理为一般形式，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；
【详解】解：（1）两边同时除以3得：(2x+1)2=36，
开平方得：2x+1=±6，
x1=，x2=；
（2）移项得，3x（x-1）-2+2x=0，
因式分解得，（x-1）（3x+2）=0，
解得，x1=1，x2=；
（3）因式分解得：（x-3）2=（5-2x）2，
移项，得（x-3）2-（5-2x）2=0，
因式分解得（x-3-5+2x）（x-3+5-2x）=0，
（3x-8）（-x+2）=0，
解得x1 =，x2=2；
（4）x（2x-4）=5-8x，
方程整理得：2x2+4x-5=0，
这里a=2，b=4，c=-5，
∵△=16+40=56，
∴x=，
则x1=， x2=.
【点睛】
本题考查的是解一元二次方程，熟知用直接开平方法、公式法及因式分解法解一元二次方程是解答此题的关键．
21、x＝2或x＝1
【分析】将等式右边进行提取公因数3，然后移项利用因式分解法求解可得.
【详解】解：∵（x﹣2）（x﹣1）﹣3（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝1．
故答案为：x＝2或x＝1.
【点睛】
本题考查了因式分解法. 主要有提公因式法，运用公式法，分组分解法和十字相乘法.
22、两次摸到的球都是红球的概率为.
【分析】根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解.
【详解】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有1种情况，
∴两次摸到的球都是红球的概率=．
【点睛】
此题主要考查概率的计算，解题的关键是根据题意画出所有情况，再用公式进行求解.
23、（1）y＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．
【分析】(1)根据“总利润＝单件利润×销售量”可得；
(2)利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．
【详解】解：
(1)设售价为x元/盏，月销售利润y元，根据题意得：
y＝(x﹣30)[200+10(80﹣x)]＝﹣10x2+1300x﹣30000；
(2)∵y＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10(x﹣65)2+12250，
∴当销售价定为65元时，所得月利润最大，最大月利润为12250元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系.
24、（1）；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
【解析】（1）由概率公式即可得出结果；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果．
【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是；
故答案为：；
（2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，
画树状图如图：

共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，
∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为．
故答案为：
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键．
25、（1）200人；（2）见详解；（3）840人
【分析】(1)根据较好的部分对应的圆心角即可求得对应的百分比，即可求得总数，然后根据频率=频数÷总数即可求解；
(2)利用公式：频率=频数÷总数即可求解；
(3) 利用总人数乘以对应的频率即可．
【详解】解：(1)较好的所占的比例是：，
则本次抽样共调查的人数是：（人）；
(2)非常好的频数是：(人)，
一般的频数是：(人)，
较好的频率是：，
一般的频率是：，
不好的频率是：，
故补全表格如下所示：
整理情况
频数
频率
非常好
42
0.21
较好
70
0.35
一般
52
0.26
不好
36
0.18
(3) 该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生的频率为0.21+0.35=0.56，
该校学生整理错题集情况“非常好”和“较好”的学生一共约有(人) ．
【点睛】
本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
26、（1），；（2）P，．
【解析】试题分析：（1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，连接PB．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线AD的解析式为y=mx+n，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线AD的解析式，令直线AD的解析式中y=0求出点P的坐标，再通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．
试题解析：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=-x+4，
得：a=-1+4，解得：a=3，
∴点A的坐标为（1，3）．
把点A（1，3）代入反比例函数y=，
得：3=k，
∴反比例函数的表达式y=，
联立两个函数关系式成方程组得：，
解得：，或，
∴点B的坐标为（3，1）．
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，连接PB，如图所示．

∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为（3，1），
∴点D的坐标为（3，- 1）．
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y=-2x+1．
令y=-2x+1中y=0，则-2x+1=0，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，0）．
S△PAB=S△ABD-S△PBD=BD•（xB-xA）-BD•（xB-xP）
=×[1-（-1）]×（3-1）-×[1-（-1）]×（3-）
=．
考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.待定系数法求一次函数解析式；3.轴对称-最短路线问题．