圆的一般方程.doc
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1、(完整word)圆的一般方程圆的一般方程学习目标1.正确理解圆的方程的形式及特点,会由一般式求圆心和半径.2。会在不同条件下求圆的一般方程。知识点一圆的一般方程的定义1。当D2E24F0时,方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程,其圆心为,半径为.2。当D2E24F0时,方程x2y2DxEyF0表示点。3.当D2E24F0).则其位置关系如下表:位置关系代数关系点M在圆外xyDx0Ey0F0点M在圆上xyDx0Ey0F0点M在圆内xyDx0Ey0F0题型一圆的一般方程的定义例1判断方程x2y24mx2my20m200能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径长.解方法一由方程x2y24mx2my
2、20m200,知D4m,E2m,F20m20,故D2E24F16m24m280m8020(m2)2。因此,当m2时,它表示一个点;当m2时,原方程表示圆,此时,圆的圆心为(2m,m),半径长r|m2|。方法二原方程可化为(x2m)2(ym)25(m2)2。因此,当m2时,它表示一个点;当m2时,原方程表示圆。此时,圆的圆心为(2m,m),半径长r|m2|。跟踪训练1如果x2y22xyk0是圆的方程,则实数k的范围是_.答案解析由题意可知(2)2124k0,即k。题型二求圆的一般方程例2已知ABC的三个顶点为A(1,4),B(2,3),C(4,5),求ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.解
3、方法一设ABC的外接圆方程为x2y2DxEyF0,A,B,C在圆上,ABC的外接圆方程为x2y22x2y230,即(x1)2(y1)225。圆心坐标为(1,1),外接圆半径为5。方法二设ABC的外接圆方程为(xa)2(yb)2r2,A、B、C在圆上,解得即外接圆的圆心为(1,1),半径为5,圆的标准方程为(x1)2(y1)225,展开易得其一般方程为x2y22x2y230.方法三kAB,kAC3,kABkAC1,ABAC.ABC是以角A为直角的直角三角形.圆心是线段BC的中点,坐标为(1,1),r|BC|5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.展开得一般方程为x2y22x2y230.跟踪训练
4、2已知一个圆过P(4,2),Q(1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4,求圆的方程。解设圆的方程为x2y2DxEyF0。令x0,得y2EyF0.由已知|y1y24,其中y1,y2是方程y2EyF0的两根,(y1y2)2(y1y2)24y1y2E24F48。将P,Q两点的坐标分别代入圆的方程,得解联立成的方程组,得或圆的方程为x2y22x120或x2y2xy0。题型三求动点的轨迹方程例3已知直角ABC的斜边为AB,且A(1,0),B(3,0),求直角顶点C的轨迹方程.解方法一设顶点C(x,y),因为ACBC,且A,B,C三点不共线,所以x3,且x1。又因为kAC,kBC,且kACkBC1,所以
5、1,化简,得x2y22x30。所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3,且x1)。方法二同方法一,得x3,且x1。由勾股定理,得AC|2BC2|AB|2,即(x1)2y2(x3)2y216,化简得x2y22x30。所以直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3,且x1)。方法三设AB的中点为D,由中点坐标公式,得D(1,0).由直角三角形的性质,知CD|AB|2.由圆的定义,知动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,以2为半径长的圆(因为A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点)。设C(x,y),则直角顶点的轨迹方程为(x1)2y24(x3,且x1)。跟踪训练3求到点O(0,0)的距
6、离是到点A(3,0)的距离的的点的轨迹方程。解设M(x,y)到O(0,0)的距离是到A(3,0)的距离的。则。化简,得x2y22x30。即所求轨迹方程为(x1)2y24.代入法求圆的方程例4已知定圆的方程为(x1)2y24,点A(1,0)为定圆上的一个点,点C为定圆上的一个动点,M为动弦AC的中点,求点M的轨迹方程.分析由于点M依赖于动点C,且动点C在圆上,故只要找到点M与点C的坐标关系,再利用点C的坐标满足圆的方程,即可求得点M的轨迹方程。解设点M(x,y),点C(x0,y0),因为M是动弦AC的中点,所以由中点坐标公式可得即因为点C与点A不重合,所以x01,即x1.又因为点C(x0,y0)
7、在圆(x1)2y24上,所以(x01)2y4(x01),将代入,得(2x11)2(2y)24(x1),即x2y21(x1)。因此,动点M的轨迹方程为x2y21(x1).解后反思对于“双动点”问题,若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常采用本例的方法,这种求轨迹方程的方法叫做代入法.忽略有关圆的范围求最值致误例5已知圆的方程为x2y22x0,点P(x,y)在圆上运动,求2x2y2的最值。分析由x2y22x0,得y2x22x0,求得x的范围。而点P(x,y)在圆上,则可将2x2y2转化为关于x的二次函数,就变成了在给定区间上求二次函数的最值问题。解由x2y22x0,得y2x22
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