.直角三角形的边角关系

(完整版).直角三角形的边角关系
直角三角形的边角关系
适用学科
初中数学
适用年级
初中三年级
适用区域
北师大版本
课时时长（分钟）
120分钟
知识点
锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形及应用
教学目标
复习和巩固三角函数的关系，联系勾股定理
教学重点
1.理解锐角三角函数正弦、余弦、正切和余切的意义，并能举例说明；
2。能用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形两边的比;
3。能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.
教学难点
用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
教学过程
一、复习预习
复习勾股定理，复习直角三角形边与角的关系，学会掌握为什么是0。618,台风问题等等

二、知识讲解
1.直角三角形的边角关系(如图）
（1）边的关系（勾股定理)： ；
（2）角的关系： =∠C=900；
（3）边角关系：
①：

②：锐角三角函数：
∠A的 =;
∠A的 = ,
∠A的 =
注：三角函数值是一个比值．
2.三角函数的大小比较
（1) 同名三角函数的大小比较
①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而 ,随角的减小而 ．
②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而 ，随角的减小而 .
(2) 异名三角函数的大小比较
①tanA＞SinA，由定义知tanA= ，sinA= ;因为b＜c，所以tanA＞sinA
②cotA ＞cosA．由定义知cosA= ,cotA= ；因为 a＜c，所以cotA＞cosA．
③若0○ ＜A＜45○，则cosA＞sinA,cotA＞tanA；
若45○＜A＜90○,则cosA＜sinA，cotA＜tanA
3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题
1、实际问题中有关名词、术语的意义：
①仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视线与 的夹角叫做仰角；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做 .如图1。

②坡角与坡度：坡面与 的夹角叫做坡角,图2中的 α 是坡角；坡面的垂直高度h和 的比叫做坡度。即坡度

三、 例题精析
【例1】等腰三角形底边长为10㎝,周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）．
(A） （B） （C） （D)

课堂训练题
在△ABC中，若三边BC ，CA，AB满足 BC：CA：AB=5：12：13,则cosB= （ )
A。 B. C。 D。

【例2】已知，且∠A为锐角，则∠A=（ ）
A.30° B。45° C.60° D。75°

课堂训练题
cos30°=( ）
A。 B。 C。 D.

【例3】王英同学从A地沿北偏西60º方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m到C地，此时王英同学离A地 （　　）
（A） m （B）100 m （C）150 m 　　(D） m
【解题思路】作出如图所示的图形，则∠BAD＝90°－60°＝30°，AB＝100，所以BD＝50，cos30°＝,
所以AD＝50，
CD＝200－50＝150，在Rt△ADC中,
AC＝＝＝100.

课堂训练题
在一次夏令营活动中,小霞同学从营地点出发,要到距离点的地去，先沿北偏东方向到达地，然后再沿北偏西方向走了到达目的地,此时小霞在营地的（ ）
A。 北偏东方向上 B。 北偏东方向上
C。 北偏东方向上 D. 北偏西方向上

【例4】如图，已知△ABC中,∠ABC=45°,F是高AD和BE的交点,CD=4，则线段DF的长度为（ )
A． B．4 C． D．

课堂训练题
如图6—32，在菱形ABCD中,∠ADC=120°，则BD∶AC等于（ )
（A） (B） （C）1∶2 （D)

【例5】如图,在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC= 米．

课堂训练题
如图，孔明同学背着一桶水，从山脚出发,沿与地面成角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(处）,米，则孔明从到上升的高度是 米．

【例6】如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度。已知在离地面1500 m，高度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长。

∵OA， OB=OC=1500，
∴AB=（m）。
即隧道AB的长约为635m。

课堂训练题
A
C
D
B
E
F

G
某兴趣小组用高为1。2米的仪器测量建筑物CD的高度．如示意图，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为,在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A，B之间的距离为4米，，,试求建筑物CD的高度．

【例7】如图，一条小船从港口出发,沿北偏东方向航行海里后到达处,然后又沿北偏西方向航行海里后到达处．问此时小船距港口多少海里？(结果精确到1海里)
友情提示：以下数据可以选用：，,，．
解:过点作,垂足为点；过点分别作,

,垂足分别为点，则四边形为矩形．
， ，．
，；
．
，
；
．
．
,
．
由勾股定理，得．
即此时小船距港口约25海里。

课堂训练题
如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A,以A为圆心，500米为半径的圆形区域为居民区，则MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东.已知米,通过计算回答,如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区?

【例8】如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动.距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。
（1） 问B处是否会受到台风的影响？请说明理由.
（2） 为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物？
(供选用的数据：≈1.4,≈1。7)
【参考答案】解:(1）过点B作BD⊥AC，垂足为D。依题意得:∠BAC=30°，Rt△ABD中，
BD=AB=×20×16=160＜200，
∴B处会受到台风的影响.
(2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）,
由勾股定理可求得：DE=120,AD=160,
AE=AD－DE=160－120，
∵=3.8（小时）
∴该船应在3。8小时内卸完货物。
课堂训练题
如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得该岛在北偏东60°方向上,航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16海里内有暗礁.
（1） 试说明B点是否在暗礁区域外;
（2） 若继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由.

课后自我检测
A类题（10道题）
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA＝( )
A。 B。 C。 D。
2.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝，则tan＝ 。
3。计算的值是( ）
A. B. C. D.
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°,，AC＝6，则BC的长为（ ）
A.6 B.5 C.4 D。2
5. △ABC中,∠A、∠B均为锐角，且，试确定△ABC的形状。

6.已知正方形ABCD的两条对角线相交于O，P是OA上一点，且∠CPD＝60°，则PO∶AO＝ .
7.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线,已知∠ACD的正弦值是，则的值是（ ）
A. B. C。 D。

8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝,D为AC上一点,∠BDC＝45°，DC＝6，求AB的长。

9.某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝3米,斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC的坡度＝1∶3，求斜坡AB的坡角和坝底宽AB.

10.在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝30°，求河宽CD(结果可带根号）。

B类题（10道题)
1。某人沿倾斜角为的斜坡前进100米,则他上升的高度为（ ）
A.米 B.米 C。米 D.米
2。若,则锐角的度数是（ ）
A.20° B。30° C.40° D。50°
3.已知cos＜0。5,那么锐角的取值范围是（ )
A。60°＜＜90° B.0°＜＜60° C。30°＜＜90° D。0°＜＜30°
4.△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则等于( ）
A。cosB B。tanA C。cosA D。sinA
5.已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm,sin∠ABC＝，AC与BD相交于点O，∠BOC＝120°，试求AB的长。

6。如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米.现将梯子的底端A向外移动到,使梯子的底端到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到，那么( ）
A。等于1米 B。大于1米
C。小于1米 D.不能确定

7。如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∠BAD＝75°，∠D＝60°，求CD的长。

8。如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°,试求塔高与楼高（精确到0。01米).（参考数据：＝1.41421…，＝1。73205…)

9。如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO＝450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为,,求大桥AB的长（精确到1米，选用数据:＝1.41，＝1。73）

10.一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群,在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向，40分钟后，渔船行至B处,此时看见小岛C在船的北偏东30°方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?

C类题(10道题)
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（ ）
A。cosA＝cosB B.cosA＝sinB
C。sinA＝cosB D。
2.已知，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°,AC＝2，则AB的长为 。
3。如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起,且它们的夹角为,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ )
A。 B。
C。 D。1
4.在Rt△ABC中,∠C＝90°，∠A、∠B的对边分别是、,且满足，则tanA等于（ ）
A.1 B. C。 D。
5.如图,在△ABC中，∠A＝30°，E为AC上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB于F，连结FC，则tan∠CFB＝（ )
A。 B. C。 D.
6。已知，，则与的关系是（ ）
A. B. C. D。
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