刍议“三新”背景下单元探究课的研究路径——以“平面向量的应用”为例.pdf
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1、18中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)刍议“三新”背景下单元探究课的研究路径*以“平面向量的应用”为例江苏省无锡市市北高级中学(224000)胡蓓蓓摘要 学生的学习是基于整体的、系统的主题学习,本文以“平面向量的应用”为单元教学案例,围绕几何与代数中具有统摄性的一般观念,探讨如何把教学内容组织为连续的、有意义关联的结构化单元整体,提升学生的数学思维,落实学科育人.关键词 平面向量的应用;单元教学;探究课学生的学习是基于整体的、系统的主题学习,本文以“平面向量的应用”为单元教学案例,在 2019 人教版新教材(简称新教材)必修二 平面向量 章节展开由点到面的探索型实践,围绕几何与代数
2、中具有统摄性的一般观念,把教学内容组织为连续的、有意义关联的结构化单元整体,让学生在数学学习和应用的过程中逐步学会用数学方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出问题.1 教材背景新教材必修二第六章 6.4 节“平面向量的应用”包括“平面几何中的向量方法”“向量在物理中的应用举例”,以及“余弦定理、正弦定理”三块内容,借助向量运算,探索三角形边长与角度的关系,把解直角三角形拓展到解任意三角形.普通高中数学课程标准(2017 版 2020 年修订)(简称新课标)对本单元主题的内容要求:1 借助向量运算,探索三角形边长和角度的关系,掌握余弦定理、正弦定理 2 能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际
3、问题.学业要求:1 能够运用向量运算解决简单的几何和物理问题,知道数学运算与逻辑推理的关系 2 重点提升直观想象、逻辑推理、数学运算和数学抽象素养.2 教学设计“平面向量的应用探究正弦定理”是一节定理探究课,旨在建构正确数学概念之间的本质联系,揭示数学对象的规律性或逻辑必然性.数学定理是表达数学对象的数量关系和空间形式的真命题,要让学生经历从定理的背景中发现和提出猜想,推理论证,从而获得定理的过程,所以数学定理的学习过程一般包括定理的引入,定理的形成,定理的理解,定理的运用四个阶段.2.1 复习引入,创设问题情境上节课我们用向量方法探究得到了余弦定理,将初中学习的 SAS、SSS 判定三角形全
4、等的方法从数量化的角度进行了刻画,从而对三角形从定性研究上升到了定量研究.问题 1如果已知两角和一边,是否也有相应的直接解三角形的公式呢?这个公式是不是也能对 AAS 和 ASA 这两种判定三角形全等的方法进行量化的刻画呢?带着这个问题教师带领学生共同回忆初中还得到过三角形中等边对等角的结论,大边对大角,小边对小角的边角关系,即 ABC 中,a b A B.如果 a=2b,那么A 和 B 之间还有什么等量关系吗?也就是从量化的角度,将这个边角关系转化为:ABC 中,设 A 的对边为 a,B 的对边为 b,试探索 A,B,a,b 之间的定量关系.设计意图在定理引入的方式上,基于对三角形的定性刻画
5、转化为定量表达的认知需求,教师联通学生已有的认知基础,融合知识的发生与发展过程,追求“自然流淌”的境界,既能凸显所学知识的必要性,又能激发学生的学习动机.2.2 研究特例,提出猜想问题 2可以先从熟悉的直角三角形的边、角关系入手,具体如何分析呢?结论能否推广到任意三角形?设计意图鼓励学生大胆猜想,主动投入数学发现过程,探究定理的生成,发展学生的创造性思维能力.从特殊到一般归纳总结的过程中,学生充分感受到自己是学习的主导者,也体会到数学系统演绎性和实验归纳性两个特点.2.3 类比余弦定理,向量法证明问题 3 对于锐角和钝角三角形,用什么方法研究呢?回忆余弦定理是怎么证明的?设计意图通过向量数量积
6、的运算容易得到角的余弦,那么如何才能得到角的正弦呢?这是学生最大的困惑,也是正弦定理教学的难点.教师采用新旧知识类比的方法,可以让学生在巩固旧知识的基础上理解新知识,不但符合认知规律,而且用知识的联系启发思维,既消除学生对新知识的恐惧和陌生心理,又可以达到温故知新的效果.*本文系无锡市教育科学“十四五”规划 2021 年度立项课题“基于普通高中学业质量水平的单元教学案例研究-以教学必修教材为例”(批准号为:WXSJY202200330).2024 年第 3 期(下半月刊)中学数学研究192.4 实验验证、形成定理问题 4通过大胆猜想,再运用向量法证明得到了正弦定理,那么能不能借助信息技术,用数
7、据验证定理的真实存在?设计意图邀请学生共同参与数学实验,借助超级画板演示,观察发现:在拖动三角形某个顶点的过程中,表格中的数据随之变化,但是比值始终保持相等.信息技术实验再次验证猜想的成立,同时调动学生自主参与教学活动,激发他们的好奇心和探索的欲望.2.5 理解定理、课堂展示问题 5正弦定理给出了任意三角形中三条边与各自所对角的正弦之间的一个等量关系,它可以解决哪些类型的解三角形问题呢?问题 6 正弦定理是否还有其他的证明方法?课堂展示活动ABC 中,A,B,C 的对边分别为a,b,c,求证:asinA=bsinB.设计意图本单元学习,从平面几何中的向量方法到余弦定理推导,再到正弦定理的推导,
8、教师尝试以任务为驱动,为学生提供必要的数学活动经验,形成用向量方法研究平面几何问题的基本经验,探寻三角形中的边角关系.教师鼓励学生围绕探究任务类比余弦定理的探究过程,培养学生的直观想象、数学建模、逻辑推理、数学抽象和数学运算素养.因为有多种证明方法,本节课的教学容量很大,但笔者认为重要性质、定理的论证,本身就具备深刻的知识内涵和丰富的论证方法,重视定理的论证教学,在培养学生的解题能力,开阔眼界,挖掘知识点的联系等方面具有积极意义,所以笔者仍然坚持要有让学生展示的机会,成果如下:图 1上述证法均来源于学生课前的自主探究成果,采用初中学习的平面几何知识,将任意三角形通过作高(图 1)、等面积(图
9、2)、借助外接圆性质(图 4)等方法转化为直角三角形,还有同学运用余弦定理推导正弦定理(图 3),将新问题转化为熟悉问题解决.教师在讲解枯燥的定理时,恰当运用不同的引入方法及多种证明方法,并对学生想到的办法给予鼓励和肯定,充分调动学生的学习兴趣,培养发散思维,使教学收到意想不到的效果.图 2图 3图 42.6“圆”来如此,揭密数学史问题 7正弦定理中对边与对角的正弦的比值是多少?有特殊的几何意义吗?设计意图正弦定理的证明方法很多,笔者联通余弦定理证明方法的发现史,融合人类数学发现和学生的数学认知,将数学知识理解上升到数学思想方法,最终上升到数学文化,学生经历正弦定理的探究过程,感受定理背后的人
10、文价值,从而理解引入正弦定理的必要性,让数学文化与数学知识方法在课堂上一起生长.2.7 课堂小结问题 8 回顾本节课,谈谈你的收获?20中学数学研究2024 年第 3 期(下半月刊)(1)正余弦定理是初中三角形边角关系的延续和扩充:从初中来,到初中去,将定性结论上升到定量研究角度,由会解直角三角形到会解一般三角形.(2)通过证明方法的比较,体会向量法为解决数学问题打开了一扇窗,尤其余弦定理的推导过程更能够体现出向量法的优势和特点.但向量在历史上出现得比较晚,属于“新生事物”,所以我们平时要有意识地“逼迫”自己多使用向量法,将会有很多意外惊喜.(3)你能用正弦定理证明余弦定理吗?请同学们课后继续
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