阿里市2022-2023学年数学九年级第一学期期末调研模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．一根水平放置的圆柱形输水管横截面积如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（ ）

A．4米 B．5米 C．6米 D．8米
2．若直线与半径为5的相离，则圆心与直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．方程﹣1＝的解是（　　）
A．﹣1 B．2或﹣1 C．﹣2或3 D．3
4．如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO=2，以O为圆心，AO为半径作半圆，以A为圆心，AB为半径作弧BD，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．3π B．π+1 C．π D．2
5．若反比例函数y=的图象经过点(2，3)，则它的图象也一定经过的点是( )
A． B． C． D．
6．如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝1，那么这个方程是
A．（x＋1）2＝0
B．（x－1）2＝0
C．x2＝1
D．x2＋1＝0
7．对于函数y＝，下列说法错误的是( )
A．它的图像分布在第一、三象限 B．它的图像与直线y＝－x无交点
C．当x>0时，y的值随x的增大而增大 D．当x<0时，y的值随x的增大而减小
8．一组数据1，2，3，3，4，1．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
9．如图，中，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
10．要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为（ ）
A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
11．如图为O、A、B、C四点在数线上的位置图，其中O为原点，且AC=1，OA=OB，若C点所表示的数为x，则B点所表示的数与下列何者相等？（　　）

A．﹣（x+1） B．﹣（x﹣1） C．x+1 D．x﹣1
12．如图，平行四边形的顶点在双曲线上，顶点在双曲线上，中点恰好落在轴上，已知，，则的值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴、y轴上，双曲线y＝kx﹣1（k≠0，x＞0）与边AB、BC分别交于点N、F，连接ON、OF、NF．若∠NOF＝45°，NF＝2，则点C的坐标为_____．

14．如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是BC，AC，AB的中点，A2，B2，C2分别是B1C1，A1C1，A1B1的中点……依此类推，若△ABC的面积为1，则△AnBnCn的面积为__________．

15．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠BAC与∠BOC互补，则∠BOC的度数为_____．

16．如图，BC⊥y轴，BC＜OA，点A、点C分别在x轴、y轴的正半轴上，D是线段BC上一点，BD＝OA＝2，AB＝3，∠OAB＝45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF＝45°，将△AEF沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形，则线段OE的值为_____．

17．如图，转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向的数小于5的概率为_____．

18．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形OAB．经测量，纸杯上开口圆的直径是6cm，下底面直径为4cm，母线长为EF=8cm．求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用表示） ．

20．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B，C重合），EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F，G．
（1）求证：；
（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；
（3）当的值为多少时，△FDG为等腰直角三角形？

21．（8分）如图，是经过某种变换得到的图形，点与点，点与点，点与点分别是对应点

，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题：
分别写出点与点，点与点，点与点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征；
若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求、的值．
22．（10分）已知二次函数的图像是经过、两点的一条抛物线.

（1）求这个函数的表达式，并在方格纸中画出它的大致图像；
（2）点为抛物线上一点，若的面积为，求出此时点的坐标.
23．（10分）如图，点在以为直径的上，的平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点.

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长度.
24．（10分）如图，点的坐标为，把点绕坐标原点逆时针旋转后得到点．

（1）求点经过的弧长；（结果保留）
（2）写出点的坐标是________．
25．（12分）如图，△ABC．
（1）尺规作图：
①作出底边的中线AD；
②在AB上取点E，使BE＝BD；
（2）在（1）的基础上，若AB＝AC，∠BAC＝120°，求∠ADE的度数．

26．如图，在中，，点为边的中点，请按下列要求作图，并解决问题：
（1）作点关于的对称点；
（2）在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转，
①面出旋转后的（其中、、三点旋转后的对应点分别是点、、）；
②若，则________．（用含的式子表示）

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【详解】解：∵OC⊥AB，AB=8米，
∴AD=BD=4米，
设输水管的半径是r，则OD=r﹣2，
在Rt△AOD中，
∵OA2=OD2+AD2，即r2=（r﹣2）2+42，
解得r=1．
故选B．

【点睛】
本题考查垂径定理的应用；勾股定理．
2、B
【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.
【详解】解：∵直线与半径为5的相离，
∴圆心与直线的距离满足：.
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，当d>r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交.
3、D
【分析】找到最简公分母，去分母后得到关于x的一元二次方程，求解后，再检验是否有增根问题可解.
【详解】解：去分母得2x﹣（x2﹣4）＝x﹣2，
整理得x2﹣x﹣6＝0，
解得x1＝1，x2＝-2，
检验：当x＝1时，x2﹣4≠0，所以x＝1是原方程的解；当x＝-2时，x2﹣4＝0，所以x＝2是原方程的增根，
所以原方程的解为x＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的解法，解答完成后要对方程的根进行检验，判定是否有增根产生.
4、C
【分析】根据题意和图形可以求得的长，然后根据图形，可知阴影部分的面积是半圆的面积减去扇形的面积，从而可以解答本题．
【详解】解：在中，，，
，
图中阴影部分的面积为：，
故选：C．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
5、A
【详解】解：根据题意得k=2×3=6，
所以反比例函数解析式为y=，
∵﹣3×（﹣2）=6，2×（﹣3）=﹣6，3×（﹣2）=﹣6，﹣2×3=﹣6，
∴点（﹣3，﹣2）在反比例函数y=的图象上．
故选A．
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．
6、B
【分析】分别求出四个选项中每一个方程的根，即可判断求解．
【详解】A、（x+1）2=0的根是：x1=x2=-1，不符合题意；
B、（x-1）2=0的根是：x1=x2=-1，符合题意；
C、x2=1的根是：x1=1，x2=-1，不符合题意；
D、x2+1=0没有实数根，不符合题意；
故选B．
7、C
【解析】A. k=1>0，图象位于一、三象限，正确；
B. ∵y=−x经过二、四象限，故与反比例函数没有交点，正确；
C. 当x>0时，y的值随x的增大而增大，错误；
D. 当x<0时，y的值随x的增大而减小，正确，
故选C.
8、D
【解析】A. ∵原平均数是：(1+2+3+3+4+1) ÷6=3;
添加一个数据3后的平均数是：(1+2+3+3+4+1+3) ÷7=3;
∴平均数不发生变化.
B. ∵原众数是：3；
添加一个数据3后的众数是：3；
∴众数不发生变化；
C. ∵原中位数是：3；
添加一个数据3后的中位数是：3；
∴中位数不发生变化；
D. ∵原方差是：；
添加一个数据3后的方差是：；
∴方差发生了变化.
故选D.
点睛：本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数的，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
9、D
【解析】根据相似三角形的判定和性质，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴∽，
∴；
故选：D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质.
10、C
【解析】根据相似三角形三边对应成比例进行求解即可得.
【详解】设另一个三角形的最长边为xcm，由题意得
5：2.5=9：x，
解得：x=4.5，
故选C.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键.
11、B
【解析】分析：首先根据AC=1，C点所表示的数为x，求出A表示的数是多少，然后根据OA=OB，求出B点所表示的数是多少即可．
详解：∵AC=1，C点所表示的数为x，
∴A点表示的数是x﹣1，
又∵OA=OB，
∴B点和A点表示的数互为相反数，
∴B点所表示的数是﹣（x﹣1）．
故选B．
点睛：此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握．
12、B
【分析】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，证明△BEP≌△CDP（AAS），则△BEP面积=△CDP面积；易知△BOE面积=×8=2，△COD面积=|k|．由此可得△BOC面积=△BPO面积+△CPD面积+△COD面积=3+|k|=12，解k即可，注意k＜1．
【详解】连接BO，过B点和C点分别作y轴的垂线段BE和CD，

∴∠BEP=∠CDP，
又∠BPE=∠CPD，BP=CP，
∴△BEP≌△CDP（AAS）．
∴△BEP面积=△CDP面积．
∵点B在双曲线上，
所以△BOE面积=×8=2．
∵点C在双曲线上，且从图象得出k＜1，
∴△COD面积=|k|．
∴△BOC面积=△BPO面积+△CPD面积+△COD面积=2+|k|．
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴平行四边形ABCO面积=2×△BOC面积=2（2+|k|），
∴2（3+|k|）=12，
解得k=±3，
因为k＜1，所以k=-3．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数k的几何意义、平行四边形的面积，解决这类问题，要熟知反比例函数图象上点到y轴的垂线段与此点与原点的连线组成的三角形面积是|k|．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、 (0，+1)
【分析】将△OAN绕点O逆时针旋转90°，点N对应N′，点A对应A′，由旋转和正方形的性质即可得出点A′与点C重合，以及F、C、N′共线，通过角的计算即可得出∠N'OF＝∠NOF＝45°，结合ON′＝ON、OF＝OF即可证出△N'OF≌△NOF（SAS），由此即可得出N′M＝NF＝1，再由△OCF≌△OAN即可得出CF＝N，通过边与边之间的关系即可得出BN＝BF，利用勾股定理即可得出BN＝BF＝，设OC＝a，则N′F＝1CF＝1（a﹣），由此即可得出关于a的一元一次方程，解方程即可得出点C的坐标．
【详解】将△OAN绕点O逆时针旋转90°，点N对应N′，点A对应A′，如图所示．

∵OA＝OC，
∴OA′与OC重合，点A′与点C重合．
∵∠OCN′+∠OCF＝180°，
∴F、C、N′共线．
∵∠COA＝90°，∠FON＝45°，
∴∠COF+∠NOA＝45°．
∵△OAN旋转得到△OCN′，
∴∠NOA＝∠N′OC，
∴∠COF+∠CON'＝45°，
∴∠N'OF＝∠NOF＝45°．
在△N'OF与△NOF中，
，
∴△N′OF≌△NOF（SAS），
∴NF＝N'F＝1．
∵△OCF≌△OAN，
∴CF＝AN．
又∵BC＝BA，
∴BF＝BN．
又∠B＝90°，
∴BF1+BN1＝NF1，
∴BF＝BN＝．
设OC＝a，则CF＝AN＝a﹣．
∵△OAN旋转得到△OCN′，
∴AN＝CN'＝a﹣，
∴N'F＝1（a﹣），
又∵N'F＝1，
∴1（a﹣）＝1，
解得：a＝+1，
∴C（0，+1）．
故答案是：（0，+1）．
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质、旋转的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于a的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．
14、
【分析】由于、、分别是的边、、的中点，就可以得出△，且相似比为，就可求出△，同样地方法得出△依此类推所以就可以求出的值．
【详解】解：、、分别是的边、、的中点，
、、是的中位线，
△，且相似比为，
，且
，
、、分别是△的边、、的中点，
△的△且相似比为，
，
依此类推
，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方．
15、120°
【分析】利用圆周角定理得到∠BAC＝∠BOC，再利用∠BAC+∠BOC＝180°可计算出∠BOC的度数．
【详解】解：∵∠BAC和∠BOC所对的弧都是，
∴∠BAC＝∠BOC
∵∠BAC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
16、6﹣或6或9﹣3
【分析】可得到∠DOE＝∠EAF，∠OED＝∠AFE，即可判定△DOE∽△EAF，分情况进行讨论：①当EF＝AF时，△AEF沿AE翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；②当AE＝AF时，△AEF沿EF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长；③当AE＝EF时，△AEF沿AF翻折，所得四边形为菱形，进而得到OE的长．
【详解】解：连接OD，过点BH⊥x轴，
①沿着EA翻折，如图1：∵∠OAB＝45°，AB＝3，

∴AH＝BH＝ABsin45°=，
∴CO＝，
∵BD＝OA＝2，
∴BD＝2，OA＝8，
∴BC＝8﹣，
∴CD＝6﹣；
∵四边形FENA是菱形，
∴∠FAN＝90°，
∴四边形EFAN是正方形，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∵∠DEF＝45°，
∴DE⊥OA，
∴OE＝CD＝6﹣；
②沿着AF翻折，如图2：

∴AE＝EF，
∴B与F重合，
∴∠BDE＝45°，
∵四边形ABDE是平行四边形
∴AE＝BD＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝8﹣2＝6；
③沿着EF翻折，如图3：

∴AE＝AF，
∵∠EAF＝45°，
∴△AEF是等腰三角形，
过点F作FM⊥x轴，过点D作DN⊥x轴，
∴△EFM∽△DNE，
∴，
∴，
∴NE＝3﹣，
∴OE＝6﹣+3﹣＝9﹣3；
综上所述：OE的长为6﹣或6或9﹣3，
故答案为6﹣或6或9﹣3．
【点睛】
此题主要考查函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、平行四边形、菱形及正方形的性质，利用三角函数、勾股定理及相似三角形的性质进行求解.
17、
【解析】试题解析：∵共6个数，小于5的有4个，∴P（小于5）==．故答案为．
18、1
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【详解】由题意可得， =0.2，
解得，n=1．
故估计n大约有1个．
故答案为1．
【点睛】
此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．

三、解答题（共78分）
19、扇形OAB的圆心角为45°，纸杯的表面积为44．
【解析】试题分析：设扇形OAB的圆心角为n°，然后根据弧长AB等于纸杯上开口圆周长和弧长CD等于纸杯下底面圆周长，列关于n和OF的方程组，解方程组可得出n和OF的值，然后根据纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积，计算即可．
试题解析： 设扇形OAB的圆心角为n°
弧长AB等于纸杯上开口圆周长：
弧长CD等于纸杯下底面圆周长：
可列方程组，解得
所以扇形OAB的圆心角为45°，OF等于16cm
纸杯表面积=纸杯侧面积+纸杯底面积=扇形OAB的面积-扇形OCD的面积+纸杯底面积即
S纸杯表面积
=
=
考点：锥的侧面展开图、弧长公式、扇形面积公式．
20、（1）见解析；（2）FD与DG垂直，理由见解析；（3）当时，△FDG为等腰直角三角形，理由见解析.
【分析】（1）由比例线段可知，我们需要证明△ADC∽△EGC，由两个角对应相等即可证得；
（2）由矩形的判定定理可知，四边形AFEG为矩形，根据矩形的性质及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，从而不难得到结论；
（3）先判断出DF＝DG，再利用同角的余角相等判断出∠ADF＝∠CDG，∠BAD＝∠C，得出△ADF≌△CDG，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在△ADC和△EGC中，
∵∠ADC＝∠EGC，∠C＝∠C，
∴△ADC∽△EGC．
∴．
（2）解：FD与DG垂直．
理由如下：
在四边形AFEG中，
∵∠FAG＝∠AFE＝∠AGE＝90°，
∴四边形AFEG为矩形．
∴AF＝EG．
∵，
∴．
又∵△ABC为直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD＝∠C＝90°﹣∠DAC，
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF＝∠CDG．
∵∠CDG+∠ADG＝90°，
∴∠ADF+∠ADG＝90°．
即∠FDG＝90°．
∴FD⊥DG．

（3）解：当的值为1时，△FDG为等腰直角三角形，理由如下：
由（2）知，∠FDG＝90°，
∵△DFG为等腰直角三角形，
∴DF＝DG，
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADG+∠CDG＝90°，
∵∠FDG＝90°，
∴∠ADG+∠ADF＝90°，
∴∠ADF＝∠CDG，
∵∠CAD+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△ADF≌△CDG（AAS），
∴AD＝CD，
∵∠ADC＝90°，
∴∠C＝45°＝∠B，
∴AB＝AC，
即：当的值为1时，△FDG为等腰直角三角形．
【点睛】
此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等，判断出△ADF≌△CDG是解本题的关键．
21、（1）见解析；（2）；；
【解析】(1)在坐标系中直接读出点的坐标即可，再由所读数值发现坐标之间的特征；
(2)由上问所得结论可求解a、b的值.
【详解】由图象可知，点，点，点，点，点，点；
对应点的坐标特征为：横坐标、纵坐标都互为相反数；
由可知，，，
解得，．
【点睛】
本题考查了图形在坐标系中的旋转，根据坐标系中点的坐标确定旋转特点，从而确定旋转前后对应坐标之间的关系是解题关键.
22、（1），图画见解析；（2）或.
【分析】（1）利用交点式直接写出函数的表达式，再用五点法作出函数的图象；
（2）先求得AB的长，再利用三角形面积法求得点P的纵坐标，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知：.
.
∵顶点坐标为：

-1
0
1
2
3

0
3
4
3
0

描点、连线作图如下：

（2）设点P的纵坐标为,
，
∴.
∴或，
将代入，
得：，此时方程无解.
将代入，
得：，解得：；
或.
【点睛】
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式以及利用三角形面积法求点的坐标的应用，求函数图象上的点的坐标的问题一般要转化为求线段的长的问题．
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由为的直径得到∠ACB=90，根据CD平分∠ACB及圆周角定理得到∠AOD=90，再根据DE∥AB推出OD⊥DE ，即可得到是的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH，求出OH，根据△CHM∽△DOM求出HM得到AM，再利用平行线证明△CAM∽△CED，即可求出DE.
【详解】（1）如图，连接OD，
∵为的直径，
∴∠ACB=90，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=45，
∴∠AOD=90，
即OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE ,
∴是的切线；

（2）过点C作CH⊥AB于H，CD交AB于M，
∵∠ACB=90，，，
∴AB=,
∵S△ABC=,
∴CH=,
∴AH=,
∴OH=OA-AH=5-3.6=1.4，
∵∠CHM=∠DOM=90，∠HMC=∠DMO,
∴△CHM∽△DOM,
∴
∴=，，
∴HM=,
∴AM=AH+HM=,
∵AB∥DE,
∴△CAM∽△CED,
∴,
∴DE=.

【点睛】
此题考查圆的性质，圆周角定理，切线的判定定理，三角形相似，勾股定理，（2）是本题的难点，利用平行线构建相似三角形求出DE的长度，根据此思路相应的添加辅助线进行证明.
24、（1）；（2）
【分析】（1）过点P作x轴的垂线，求出OP的长，由弧长公式可求出弧长；
（2）作PA⊥x轴于A，QB⊥x轴于B，由旋转的性质得：∠POQ=90°，OQ=OP，由AAS证明△OBQ≌△PAO，得出OB=PA，QB=OA，由点P的坐标为（1，3），得出OB=PA=3，QB=OA=4，即可得出点Q的坐标．
【详解】解：（1）过作轴于，
∵，
∴，
∴点经过的弧长为；
（2）把点绕坐标原点逆时针旋转后得到点，
分别过点、做轴的垂线，
∴，，
∴，
，
，
∴，，
则点的坐标是．

【点睛】
本题考查了坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质和弧长公式；熟练掌握坐标与图形性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
25、（1）①详见解析；②详见解析；（2）15°．
【分析】（1）①作线段BC的垂直平分线可得BC的中点D，连接AD即可；
②以B为圆心，BD为半径画弧交AB于E，点E即为所求．
（2）根据题意利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）如图，线段AD，点E即为所求．

（2）如图，连接DE．

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵BD＝BE，
∴∠BDE＝∠BED＝（180°﹣30°）＝75°，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关的基本知识．
26、（1）见解析；（2）①见解析，②90°−α
【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出O点；
（2）①利用网格特点和旋转的性质分别画出A、B、C三点对应点点E、F、G即可；
②先确定∠OCB＝∠DCB＝α，再利用OB＝OC和三角形内角和得到∠BOC＝180°−2α，根据旋转的性质得到∠COG＝90°，则∠BOG＝270°−2α，于是可计算出∠OGB＝α−45°，然后计算∠OGC−∠OGB即可．
【详解】（1）如图，点O为所作；
（2）①如图，△EFG为所作；

②∵点O与点D关于BC对称，
∴∠OCB＝∠DCB＝α，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝α，
∴∠BOC＝180°−2α，
∵∠COG＝90°，
∴∠BOG＝180°−2α＋90°＝270°−2α，
∵OB＝OG，
∴∠OGB＝ [180°−（270°−2α）]＝α−45°，
∴∠BGC＝∠OGC−∠OGB＝45°−（α−45°）＝90°−α．
故答案为90°−α．
【点睛】
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．