F-平面向量(文科).doc

F　平面向量
F1　平面向量的概念及其线性运算
4．H1、F1[2012·上海卷] 若d＝(2,1)是直线l的一个方向向量，则l的倾斜角的大小为________(结果用反三角函数值表示)．
4．arctan　[解析] 考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出直线的斜率．
由已知可得直线的斜率k＝，k＝tanα，所以直线的倾斜角α＝arctan.
20．H5、F1、H1[2012·陕西卷] 已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
20．解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞2)，
其离心率为，故＝，则a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)解法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，
将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，所以x＝，
又由＝2得x＝4x，即＝，
解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
解法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以x＝，
由＝2得x＝，y＝，
将x，y代入＋＝1中，得＝1，
即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，
故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.
F2　平面向量基本定理及向量坐标运算
13．F2、F3[2012·湖北卷] 已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
13．[答案] (1)　(2)－　
[解析] (1)由题意，2a＋b＝(3,1)，所以与2a＋b同向的单位向量的坐标为，即.
(2)因为a＝(1,0)，b＝(1,1)，所以b－3a＝(－2,1)．设向量b－3a与向量a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.
3．F2[2012·广东卷] 若向量＝(1,2)，＝(3,4)，则＝(　　)
A．(4,6) B．(－4，－6)
C．(－2，－2) D．(2,2)
3．A　[解析] 因为＝＋＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．所以选择A.
9．F2[2012·全国卷] △ABC中，AB边的高为CD，若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)
A.a－b B.a－b
C.a－b D.a－b
9．D　[解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用a和b作为基底去表示向量.
易知a⊥b，|AB|＝，用等面积法求得|CD|＝，
∵AD＝＝，AB＝，∴＝＝(a－b)，故选D.
7．F2、C6[2012·陕西卷] 设向量a＝(1，cosθ)与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ等于(　　)
A. B. C．0 D．－1
7．C　[解析] 由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，则有－1＋2cos2θ＝0，则cos2θ＝2cos2θ－1＝0.故选C.
6．F2、F3[2012·重庆卷] 设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．2 D．10
6．B　[解析] 因为a⊥b，所以a·b＝0，即x·1＋1·(－2)＝0，解得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝＝，选B.
F3　平面向量的数量积及应用
12．F3[2012·上海卷] 在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．
12．[1,4]　[解析] 令＝n(0≤n≤1)，则＝(1－n)，在矩形ABCD中，＝＋n，
＝＋(1－n)，所以·＝(＋n)·[＋(1－n)]
＝(1－n)2＋n2＝4－3n，
而函数f(n)＝4－3n在[0,1]上是单调递减的，其值域为[1,4]，
所以·的取值范围是[1,4]．
1．F3[2012·辽宁卷] 已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，则x＝(　　)
A．－1 B．－
C. D．1
1．D　[解析] 本小题主要考查向量数量积的坐标运算．解题的突破口为正确运用数量积的坐标运算公式．
因为a·b＝(1，－1)·(2，x)＝1×2－1·x＝1⇒x＝1，所以答案选D.
15．F3[2012·课标全国卷] 已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
15．[答案] 3
[解析] 因为|2a－b|＝，平方得4a2－4a·b＋b2＝10，得4－4×|b|×＋|b|2＝10，解得|b|＝3.
12．F3[2012·江西卷] 设单位向量m＝(x，y)，b＝(2，－1)．若m⊥b，则|x＋2y|＝________.
12.　[解析] 设c＝(1,2) ，则c⊥b，∴c∥m.∵| m |＝1，∴|m·c|＝|c|＝.
21．H5、H8、F3[2012·重庆卷] 如图，设椭圆的中点为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．
(1)求该椭圆的离心率和标准方程；
(2)过B1作直线交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面积．
21．解：(1)设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F2(c,0)．
因△AB1B2是直角三角形且|AB1|＝|AB2|，故∠B1AB2为直角，从而|OA|＝|OB2|，
即b＝.结合c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，
c2＝4b2，所以离心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故
S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2，
由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，从而a2＝5b2＝20.
因此所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)、B2(2,0)．由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为：x＝my－2.代入椭圆方程得
(m2＋5)y2－4my－16＝0.(*)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1，y2是上面方程的两根，因此
y1＋y2＝，y1·y2＝.
又＝(x1－2，y1)，＝(x2－2，y2)，所以
·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－＋16
＝－，
由PB2⊥QB2，知·＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.
当m＝2时，方程(*)化为：9y2－8y－16＝0，
故y1＝，y2＝，|y1－y2|＝，
△PB2Q的面积S＝|B1B2|·|y1－y2|＝.
当m＝－2时，同理可得(或由对称性可得)△PB2Q的面积S＝.
综上所述，△PB2Q的面积为.
9．F3[2012·江苏卷] 如图1－3，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．

图1－3
9.　[解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F的位置．
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则＝(，0)．
设＝(x,2)，则由条件得x＝，得x＝1，
从而F(1,2)，＝(，1)，＝(1－，2)，
于是·＝.
15．F3[2012·湖南卷] 如图1－5，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.

图1－5
15．18　[解析] 本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来表示．
·＝·(＋2)
＝2·＝2·＝2||·||＝18.
[易错点] 本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错二：不会转化＝，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了在向量上的射影等于||.
13．F2、F3[2012·湖北卷] 已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
13．[答案] (1)　(2)－　
[解析] (1)由题意，2a＋b＝(3,1)，所以与2a＋b同向的单位向量的坐标为，即.
(2)因为a＝(1,0)，b＝(1,1)，所以b－3a＝(－2,1)．设向量b－3a与向量a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.
10．F3[2012·广东卷] 对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝(　　)
A. B. C．1 D.
10．D　[解析] 根据新定义得：
a∘b＝＝＝＝(n∈Z)，(1)
b∘a＝＝＝＝(m∈Z)，(2)
以上两式相乘得：cos2θ＝(n，m∈Z)．
∵θ∈，∴cos2θ∈，即
<，所以0<mn<2，又因为n，m∈Z，所以m＝n＝1，所以a∘b＝.所以选择D.
11．F3[2012·安徽卷] 设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.
11.　[解析] 因为a＋c＝(3,3m)，又b＝(m＋1,1)，(a＋c)⊥b, 所以(a＋c)·b＝0，即(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0，解得m＝－，则a＝(1，－1)．故|a|＝.
13．F3[2012·北京卷] 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________．
13．1　1　[解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．

法一：投影法：设向量，的夹角为θ，则·＝·＝||·||cosθ，由图可知，||cosθ＝||，所以原式等于||2＝1，要使·最大只要使向量在向量上的投影达到最大即可，因为在向量上的投影达到最大为||＝1，所以(·)max＝||2＝1；
法二：因为＝＋且⊥，所以·＝(＋)·＝||2＝1，·＝(＋)·＝·＝||||＝||，所以要使·最大，只要||最大即可，明显随着E点在AB边上移动||max＝1，故(·)max＝1.
法三：以D为坐标原点，与所在直线分别为x，y轴
建立平面直角坐标系，
如图所示，可知E(x,1)，0≤x≤1，
所以＝(x,1)，＝(0,1)，可得·＝x×0＋1×1＝1.
因为＝(1,0)，所以·＝x，因为1≥x≥0，
所以(·)max＝1.

3．A2、F3[2012·福建卷] 已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(　　)
A．x＝－ B．x＝－1
C．x＝5 D．x＝0
3．D　[解析] 因为a⊥b，所以a·b＝0，即(x－1)×2＋2×1＝0，解得x＝0.
8．F3[2012·天津卷] 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R.若·＝－2，则λ＝(　　)
A. B.
C. D．2
8．B　[解析] ·＝(－)·(－)＝[(1－λ)－]·(λ－)
＝－(1－λ)2－λ2＝3λ－4＝－2，解得λ＝.
7．F3[2012·浙江卷] 设a，b是两个非零向量(　　)
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
7．C　[解析] 本题考查对平面向量数量积理解及应用．法一：对于选项A，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的向量，A不正确；对于选项B，由a⊥b，得a·b＝0，由|a＋b|＝|a|－|b|得a·b＝－|a||b|，故B不正确；对于选项C，若|a＋b|＝|a|－|b|可得a·b＝－|a||b|，则a与b为方向相反的共线向量，∴b＝λa；对于选项D，若b＝λa，当λ>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当λ<0时，可有|a＋b|＝|a|－|b|，故D不正确．
法二：特值验证排除，先取a＝(2,0)，b＝(－1,0)，满足|a＋b|＝|a|－|b|，但两向量不垂直，故A错；再取a＝(2,0)，b＝(1,0)，满足a＝λb，但不满足|a＋b|＝|a|－|b|，故D错；取a＝(2,0)，b＝(0，－1)，满足a⊥b，但不满足|a＋b|＝|a|－|b|，故B错，所以答案为C.
[点评] 由|a＋b|＝|a|－|b|判断a，b方向相反，且有|a|≥|b|是一个重要的结论，由此可以对各选项加以正确分析与应用．
15．C8、F3[2012·浙江卷] 在△ABC中，M是线段BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
15．－16　[解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积．法一：
·＝(＋)·(＋)
＝||2－||2＝9－5×5＝－16.
法二：特例法：假设△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，如图，

AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝，cos∠BAC＝＝－，·＝||·||·cos∠BAC＝－16.
6．F2、F3[2012·重庆卷] 设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．2 D．10
6．B　[解析] 因为a⊥b，所以a·b＝0，即x·1＋1·(－2)＝0，解得x＝2，所以a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝＝，选B.
F4 单元综合
7．F4[2012·四川卷] 设a、b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－b
C．a∥b D．a＝2b
7．D　[解析] 要使得＝，在a，b为非零向量的前提下，必须且只需a、b同向即可，
结合四个选项，只有D满足这一条件．
16．C9、F4[2012·山东卷] 如图1－5，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．

图1－5
16．(2－sin2,1－cos2)　[解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数，考查数据处理能力与创新意识，难题．
根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点P旋转了2弧度．结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为Q，圆心为C2，作C2M⊥y轴于M, ∠PC2Q＝2，∠PC2M＝2－，∴点P的横坐标为2－1×cos＝2－sin2，
点P的纵坐标为1＋1×sin＝1－cos2.