数学分析习题选解(华东师大版).doc
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1、数学分析习题选解第一章 实数与函数1. 实数习题Page. 41. 设为有理数,为无理数,证明:(1). 是无理数;(2)当时,是无理数.证明:(用反证法)3. 设,证明:若对任何正数有,则.证明:反证法,如果,则取,有:,矛盾.6. 设(表示全体正实数的集合),证明:你能说明此不等式的几何意义吗?证明:用分析法,要证:(显然成立)几何意义,如图,在中,记,在直角边上,取一点连接,记,则,由勾股定理,此结论说明,三角形的两边之和大于第三边.7. 设,.证明:介于与之间.证明:与同号(注意,);又与同号,故介于与之间.8. 设为正整数,证明:若不是完全平方数,则是无理数.证明:(反证法)设是有理
2、数,记,其中,于是,.由于大于的整数能唯一地分解为素因数之积,若不是完全平方数,则的素因数分解式中,必有是的具有奇指数的素因数.则的左端有奇数个素因数,而右端没有,与分解的唯一性矛盾,证毕补充题:证明任何二个不同的有理数之间必有无理数.证明:设为二个不同的有理数(不妨),取为无理数,则,即介于与之间.证毕2. 数集、确界原理习题Page. 102. 设为非空数集,试对下列概念给出定义:(1). 无上界;(2). 无界.解:(1). 如果,使,则称无上界;(2). 如果,使,则称无界.3. 试证明由(3)式所确定的数集有上界,而无下界.证明:因为,有:,故有上界.而,取,有:,故无下界.证毕4.
3、 求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证:;.解:因为,所以,事实上,有:,即是上界;而,取,有,即不是上界,故.同理可证,.因为,所以,无上界,.且有最小数,故.因为,由无理数的性质与确界的定义,可断定, ,事实上,显然,有:,即是下界;而由有理数的稠密性,在与之间至少存在一个无理数,即,即不是下界,故.同理可证,因为,有最小数,故.又由确界的定义,事实上,有:,即是上界;而,取,其中,有,即不是上界,故.5. 6. 设为非空数集,定义,证明:;证明:,则,有:;,有:.,有:,有:.综合,知:,即.7. 设、皆为非空有界数集,定义数集,证明:,.分析:只要证,且.证第一个不等式,即证,常
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