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(完整word版)数值分析(研)试题答案
沈阳航空航天大学研究生试卷（A）
2011-2012学年 第一学期
课程名称：数值分析 出题人: 王吉波 审核人:
一、填空题（本题40分 每空4分）
1．设为节点的n次基函数，则 。
2．已知函数，则三阶差商= 0 。
3．当n=3时，牛顿-柯特斯系数，则 。
4．用迭代法解线性方程组Ax=b时，迭代格式收敛的充分必要条件是 或 B的谱半径小于1 。
5．设矩阵，则A的条件数= 3 。
6.正方形的边长约为100cm，则正方形的边长误差限不超过 0.005 cm 才能使其面积误差不超过1。
7.要使求积公式具有2次代数精确度，则
2/3 ， 3/4 。
8. 用杜利特尔（Doolittle）分解法分解，，则，
二、（10分）已知由数据（0,0），（0.5，y），（1,3）和（2，2）构造出的三次插值多项式的的系数是6，试确定数据y。

答案：利用Lagrange插值多项式，

及基函数的表达式可知的系数为
+
++
（5分）
代入有关数据得

解得y=4.25.
（5分）
三、（15分）试导出计算的Newton迭代格式，使公式中（对）既无开方，又无除法运算，并讨论其收敛性。
答案：将计算等价化为求的正根。
而此时有 ， （5分）
故计算的Newton迭代格式为
（5分）
迭代函数，故迭代法局部收敛。 （5分）
四、（15分）已知。
（1）推导出以这3个点作为求积节点在[0，1]上的插值型求积公式；
（2）指明求积公式所具有的代数精确度；
（3）用所求公式计算。
答案：（1）过这3个点的插值多项式
故，其中

，故所求的插值型求积公式为
（5分）
（2）上述求积公式是由二次插值函数积分而来，故至少具有2次代数精确度。再将代入上述求积公式，有

故上述求积公式具有3次代数精确度。 （5分）
（3） （5分）
五、（10分）给定方程组
判定Jacobi和Gauss-Seidel方法的收敛性。
答案：Jacobi迭代矩阵为 ； （2分）
由于，故Jacobi迭代收敛。 （3分）
Gauss-Seidel迭代矩阵为 ； （2分）
故，故Gauss-Seidel迭代收敛。 （3分）
六、 （10分）定义内积，试在中寻求对于
的最佳平方逼近多项式。
答案：取，经计算得法方程组为。（5分）
解得，故的最佳平方逼近多项式为。
（5分）