极坐标几何意义的运用.doc

极坐标、参数方程几何意义的应用

一、t 几何意义的理解：
1、(2018·武汉调研)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝，直线l与曲线C交于A，B两点.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)已知点P的极坐标为，求|PA|·|PB|的值.

2、(2018·全国Ⅲ卷)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点.
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

二、几何意义的理解：
3、在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，以x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值.

4、（2019顺德一模）在直角坐标系中，曲线 （为参数），直
（为参数），以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求与的极坐标方程；
（2）当时，直线与相交于两点；过点作的垂线，与曲线的另一个交点为，求的最大值．

5、（2019广州）已知曲线的极坐标方程为，直线，直线．以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线的直角坐标方程以及曲线的参数方程；
（2）若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，求的面积．

6、已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4.
(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.

7、(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.

8、(2018·湖南六校联考)已知直线l的参数方程为(t为参数).在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.
(1)求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|·|OB|.

极坐标、参数方程几何意义的应用
参考答案：
1、解　(1)l的普通方程为x＋y－1＝0；又∵ρ2＋ρ2sin2θ＝2，∴x2＋y2＋y2＝2，
即曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.
(2)点P的直角坐标为.
法一　P在直线l上，直线l的参数方程为(t′为参数)，
代入曲线C的直角坐标方程得＋2－2＝0，
即t′2＋t′－＝0，|PA|·|PB|＝|t1′|·|t2′|＝|t1′t2′|＝.
2、解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点.
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为(t为参数，<α<).设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，
则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数，<α<).
3、解　(1)将方程消去参数α得x2＋y2－4x－12＝0，
∴曲线C的普通方程为x2＋y2－4x－12＝0，将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρcos θ＝12，
∴曲线C的极坐标方程为：ρ2－4ρcos θ＝12.
(2)设A，B两点的极坐标分别为，，由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0，
根据题意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的两根，∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12，
∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2.

4、解：（1）因为曲线 （为参数），
所以曲线的普通方程为：………………………1分
由得的极坐标方程为．
化简得：……………………………………2分
因为直线（为参数），所以直线的极坐标方程为：…4分
（漏写不扣分）
（2）设点的极坐标为，，则……6分
点的极坐标为，则………7分
……8分
所以当时，………………………………………10分
解法二：由已知得：，为的直径…………………5分
故有，………………………………………6分
，……………………8分
即．……………………………………………9分
当且仅当时，取得最大值．……………………10分
5、解：(1) 依题意，直线的直角坐标方程为，的直角坐标方程为．…2分
由得，
因为，………3分
所以，……………………………4分
所以曲线的参数方程为（为参数）． ……………………5分
（2）联立得， ……………………………6分
同理，．……………………………………………………………7分
又， ………………………………………………………………………8分
所以， …………………9分
即的面积为． ……………………………………………………………10分

6、解　(1)由(θ为参数)，消去θ.得普通方程为(x－2)2＋y2＝4.
从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0.
(2)依题意，联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，得A，B两点的极坐标分别为，，
联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程，得P点极坐标为，∴|AB|＝2，
∴S△PAB＝×2×2sin＝2.
7、解　(1)由l1：(t为参数)消去t，得l1的普通方程y＝k(x－2)，①
同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②
联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0).所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).
(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝，
联立得∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，
∴l3与C的交点M的极径为.
8、解　(1)由消去t，
得y－＝(x－1)，即y＝x.
∴直线l的普通方程为y＝x.
曲线C：ρ2＝4ρcos θ＋2ρsin θ－4.
∴其直角坐标方程x2＋y2＝4x＋2y－4，
即(x－2)2＋(y－)2＝3.
(2)易由y＝x，得直线l的极坐标方程为θ＝.
代入曲线C的极坐标方程为ρ2－5ρ＋4＝0，
所以|OA|·|OB|＝|ρA·ρB|＝4.