新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析).doc

基本不等式
知识点：
1. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
3.若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）
5.若，则（当且仅当时取“=”）
注意：
(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用
应用一：求最值
例：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋
解：(1)y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）
(2)当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；
当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧
技巧一：凑项
例 已知，求函数的最大值。
解：因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，
，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。

技巧二：凑系数
例： 当时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。

变式：设，求函数的最大值。
解：∵∴∴
当且仅当即时等号成立。

技巧三： 分离
技巧四：换元
例：求的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。
例：求函数的值域。
解：令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数的值域为。

技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
例：已知，且，求的最小值。
错解：，且， 故 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。
正解：，
当且仅当时，上式等号成立，又，可得时， 。
技巧七
例：已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.
分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤。
同时还应化简中y2前面的系数为 ， x＝x ＝x·
下面将x，分别看成两个因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x ≤
技巧八：
已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.
分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
法一：a＝， ab＝·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
∴≤3，ab≤18，∴y≥
点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围.

技巧九、取平方
例: 求函数的最大值。
解析：注意到与的和为定值。

又，所以
当且仅当=，即时取等号。 故。
应用二：利用均值不等式证明不等式
例：已知a、b、c，且。求证：
分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手。
解：a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当时取等号。
应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。
解：令，
。 ，

应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若
，则的大小关系是 .
分析：∵ ∴
（
∴R>Q>P。