正方形(提高)知识讲解.doc
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1、正方形(提高) 【学习目标】1理解正方形的概念,了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系;2掌握正方形的性质及判定方法【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.要点诠释:既是矩形又是菱形的四边形是正方形,它是特殊的菱形,又是特殊的矩形,更为特殊的平行四边形,正方形是有一组邻边相等的矩形,还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边四边相等、邻边垂直、对边平行;2.角四个角都是直角;3.对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;4.是轴对称图形,有4条对称轴;又是中心对称图形,
2、两条对角线的交点是对称中心.要点诠释:正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质,其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.要点三、正方形的判定 正方形的判定除定义外,判定思路有两条:或先证四边形是菱形,再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形);或先证四边形是矩形,再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为:要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.(4)顺次连接正方形各边中点
3、得到的四边形是正方形.要点诠释:新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.(1)若原四边形的对角线互相垂直,则新四边形是矩形. (2)若原四边形的对角线相等,则新四边形是菱形.(3)若原四边形的对角线垂直且相等,则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、正方形的性质1、如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别在OD、OC上,且DECF,连接DF、AE,AE的延长线交DF于点M求证:AMDF【思路点拨】根据DE=CF,可得出OE=OF,继而证明AOEDOF,得出OAE=ODF,然后利用等角代换可得出DME=90,即得出了结论【答案与解析】证明:ABCD是正方形,ODOC,又D
4、ECF,ODDEOCCF,即OEOF,在RtAOE和RtDOF中,AOEDOF,OAEODF,OAEAEO90,AEODEM,ODFDEM90,即可得AMDF【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是通过全等的证明得出OAEODF,利用等角代换解题举一反三:【变式1】如图四边形ABCD是正方形,点E、K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CEBKAG以线段DE、DG为边作DEFG (1)求证:DEDG,且DEDG(2)连接KF,猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想【答案】证明:(1) 四边形ABCD是正方形, DCDA,DCEDAG90
5、 又 CEAG, DCEDAG, EDCGDA,DEDG又 ADEEDC90, ADEGDA90, DEDG (2)四边形CEFK为平行四边形证明:设CK,DE相交于M点, 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形, ABCD,ABCD,EFDG,EFDG; BKAG, KGABCD 四边形CKGD为平行四边形 CKDGEF,CKDGEF 四边形CEFK为平行四边形【变式2】如图,三个边长均为2的正方形重叠在一起,O1、O2是其中两个正方形的中心,则阴影部分的面积是_ 【答案】2;提示:阴影部分面积等于正方形面积的一半.类型二、正方形的判定2、(2015闸北区模拟)如图,在RtABC中,BAC
6、=90,AD=CD,点E是边AC的中点,连接DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AGBC,交DE于点G,连接AF、CG(1)求证:AF=BF;(2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形【思路点拨】(1)根据线段垂直平分线的性质,可得AF=CF,再根据等角的余角相等可得B=BAF,所以AF=BF(2)由AAS可证AEGCEF,所以AG=CF由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AFCG是平行四边形,进而证得四边形AFCG是菱形,最后根据有一个角为直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形【答案与解析】证明:(1)AD=CD,点E是边AC的中点,DEAC即得DE是线段AC的垂
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