圆知识结构图.doc

(word完整版)圆知识结构图
第二十四章《圆》小结
一、本章知识结构框图

二、本章知识点概括
(一）圆的有关概念
1、圆（两种定义)、圆心、半径;
2、圆的确定条件：
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小;
②不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3、弦、直径；
4、圆弧(弧）、半圆、优弧、劣弧；
5、等圆、等弧，同心圆;
6、圆心角、圆周角；
7、圆内接多边形、多边形的外接圆；
8、割线、切线、切点、切线长;
9、反证法：假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。
(二）圆的基本性质
1、圆的对称性
①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
*②圆是中心对称图形,圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系
①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
＊ [引申］ 一条直线若具有:Ⅰ、经过圆心；Ⅱ、垂直于弦;Ⅲ、平分弦;Ⅳ、平分弦所对的劣弧；Ⅴ、平分弦所对的优弧，这五个性质中的任何两条，必具有其余三条性质，即“知二推三"。（注意：具有Ⅰ和Ⅲ时，应除去弦为直径的情况)
3、弧、弦、圆心角的关系
①在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等.
③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.
归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
4、圆周角的性质
①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
③推论:半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
(三）与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r,OP=d则:
点P在圆内d<r； 点P在圆上d=r； 点P在圆外d〉r。
2、直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：
直线l与⊙O相交 d〈r 直线和圆有两个公共点；
直线l与⊙O相切 d=r 直线和圆只有一个公共点；
直线l与⊙O相离 d〉r 直线和圆没有公共点。
3、圆与圆的位置关系
①如果两圆没有公共点，那么这两个圆相离,分为外离和内含；
如果两圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切和内切；
如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交。
②设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则：
两圆外离 d＞r2＋r1；
两圆外切 d＝r2＋r1；
两圆相交 r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1)；
两圆内切 d＝r2－r1（r2＞r1)；
两圆内含 0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。
（四)圆的切线
1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.
2、性质：
①圆的切线到圆心的距离等于半径。
②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3、判定：
①利用切线的定义.
②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线.
(五）圆与三角形
1、三角形的外接圆
（1）定义:经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆.
（2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内,直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。
2、三角形的内切圆
（1)定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。
（六）圆与四边形
1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补.
*2、由切线长定理可以得到:圆的外切四边形两组对边的和相等。
（七）圆与正多边形
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形,其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形与圆的关系
把圆分成n（n≥3）等份,依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这时圆叫做正n边形的外接圆。
3、正多边形的有关计算(11个量）
边数n，内角和，每个内角度数,外角和，每个外角度数，中心角αn，边长an，半径Rn，边心距rn，周长ln,面积Sn (Sn=1/2lnrn）
4、正多边形的画法
画正多边形的步骤:首先画出符合要求的圆;然后用量角器或用尺规等分圆；最后顺次连结各等分点。如用尺规等分圆后作正四、八边形与正六、三、十二边形.注意减少累积误差。
（八）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式
＝ （其中l为弧长） (其中l为母线长)
（九）直角三角形的一个判定
如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（十）本章常见的辅助线

课 后 反 思