量子力学34.doc
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(完整word)量子力学34 第七章习题课 1.证明:. 解:利用泡利矩阵的性质,得 设的本征方程为 则 又 所以 2.对于自旋为1/2的粒子体系,定义自旋交换算符.证明:。 解:利用例1结果,有 3.对上题中的,证明:,。 解:利用泡利算符性质,得 或利用矩阵表示证明 同理 4.在的本征态下,求和。 解: 或 同理,。 5.在表象中,写出的矩阵形式,并证明:,。 解:在表象中,有 所以 也可以采用下面办法 6.设体系由两个自旋为的粒子构成,其哈密顿算符为。求能量本征值,其中、为实常数. 解:哈密顿算符变形为 因为,所以。 当时,,有 当时,,有 7.两个自旋为的非全同粒子构成一个复合体系.设两个粒子之间无相互作用。若一个粒子处于状态,另一个粒子处于状态,求体系处于单态的概率。 解:在表象中,两粒子的状态分别为 体系的状态 体系总的自旋量子数.处于单态时,,对应的波函数为 体系处于单态的概率为 或者,采用下面办法 因为 所以 因此 处于单态概率 8.设体系由两个自旋为的粒子构成,若体系处于两个粒子的自旋状态分别为、的状态中,分别求出体系处于单态和三重态的概率。其中 解: 体系处于单态和三重态的概率分别为 9.两个自旋为1/2的粒子的角动量分别为、,它们之间相互作用算符为(为常数),总角动量.证明、、可同时测量,并求的矩阵元。 解:(1)证明、、可同时测量,即证它们互相对易。 因为,所以 因为 所以 因此,、、互相对易,可同时测量。 (2)的矩阵元 因为,所以。 当时,,有; 当时,,有. 10.已知氢原子处在态中,求、、的可能取值和平均值。 解:状态为 显然已归一化。 主量子数,能量可能取值及相应概率为 能量平均值 轨道角量子数,的可能取值及概率为 的平均值为 角动量 由题意得 当时,,,所以; 当时,,,所以。 的可能取值及概率 ,;,;, 平均值 11.自旋为的粒子处于阱宽为的无限深方势阱中,若状态为 求能量的可能测量值及相应的取值概率.其中为该无限深势阱的第个本征态. 解:一维无限深方势阱中粒子能量的本征解为 () 因为 归一化 所以 能量取值及概率 能量平均值 7- 配套讲稿:
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