北京市海淀区清华附中2022-2023学年九年级数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．若m、n是一元二次方程x2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn的值是（ ）
A．-7 B．7 C．3 D．-3
2．已知，则等于（　　）
A． B． C．2 D．3
3．二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）中，若b2＝4a，则（　　）
A．y最大＝5 B．y最小＝5 C．y最大＝3 D．y最小＝3
4．如图，点，，均在⊙上，当时，的度数是（ ）

A． B． C． D．
5．在△ABC与△DEF中，，，如果∠B=50°，那么∠E的度数是（ ）．
A．50°； B．60°；
C．70°； D．80°．
6．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
7．如图，点A在反比例函数y=(x＞0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C在y轴上，则△ABC的面积为( )

A．3 B．2 C． D．1
8．若，则（ ）
A． B． C．1 D．
9．下列二次函数中，顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是（ ）
A．y＝（x－5）2 B．y＝x2－5 C．y＝－（x＋5）2 D．y＝（x＋5）2
10．若点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）都在反比例函数的图象上，并且x10x2x3，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1y2y3 B．y3y2y1 C．y2y3y1 D．y1y3y2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在中，，则∠C的度数为____．
12．如图，AB为的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且＝，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长度为__________，AG的长为____________.

13．A、B为⊙O上两点，C为⊙O上一点（与A、B不重合），若∠ACB=100°，则∠AOB的度数为____°．
14．将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为_______________________．
15．图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重叠，无缝隙）．图乙中，点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，若AB＝4，BC＝6，则图乙中阴影部分的面积为
_____．

16．在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，以点为位似中心，相们比为，把缩小，得到，则点的对应点的坐标为_____．
17．已知点 A（a，1）与点 B（﹣3，b）关于原点对称，则 ab 的值为_____．
18．如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为_______；

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点，顶点为，且与直线相交于两点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）求、两点的坐标；
（3）若点为轴上的一个动点，过点作轴与抛物线交于点，则是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
20．（6分）某商场销售一种电子产品，进价为元/件.根据以往经验:当销售单价为元时，每天的销售量是件；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件.
（1）销售该电子产品时每天的销售量(件)与销售单价(元)之间的函数关系式为______；
（2）商场决定每销售件该产品，就捐赠元给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为元，求的值．
21．（6分）解方程或计算
（1）解方程：3y(y-1)=2(y-1)
（2）计算：sin60°cos45°＋tan30°．
22．（8分）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式．
（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x取值范围．

23．（8分）对于平面直角坐标系中的点和半径为1的，定义如下：
①点的“派生点”为；
②若上存在两个点，使得，则称点为的“伴侣点”．

应用：已知点
（1）点的派生点坐标为________；在点中，的“伴侣点”是________；
（2）过点作直线交轴正半轴于点，使，若直线上的点是的“伴侣点”，求的取值范围；
（3）点的派生点在直线，求点与上任意一点距离的最小值．
24．（8分）某苗圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆植人3株时，平均每株盈利3元．在同样的栽培条件下，若每盆增加1株，平均每株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为10元，且每盆植入株数尽可能少，每盆应植入多少株？
25．（10分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点，再在河的这一边选定点和点，使得，然后选定点，使，确定与的交点，若测得米，米，米，请你求出小河的宽度是多少米？

26．（10分）用适当的方法解方程：．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2－5x－2=0的两个实数根，∴m+n=5，mn=-2，∴m+n－mn=5-（-2）=1．故选A．
2、A
【解析】由题干可得y＝2x，代入计算即可求解．
【详解】∵，
∴y＝2x，
∴，
故选A．
【点睛】
本题考查了比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积．即若，则ad＝bc，比较简单．
3、D
【分析】根据题意得到y＝ax2+bx+4＝，代入顶点公式即可求得．
【详解】解：∵b2＝4a，
∴，
∴
∵，
∴y最小值＝，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数最值问题，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，准确表达出二次函数的顶点坐标.
4、A
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，然后根据圆周角定理可得到的度数．
【详解】，
，
，
．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5、C
【分析】根据已知可以确定；根据对应角相等的性质即可求得的大小，即可解题．
【详解】解：∵，，
∴
与是对应角，与是对应角，
故．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，本题中得出和是对应角是解题的关键．
6、B
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形．
故选B．
【点睛】
本题考查了中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
7、C
【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB=S△CAB，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到S△OAB=|k|，便可求得结果．
【详解】解：连结OA，如图，

∵AB⊥x轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB=S△CAB，
而S△OAB=|k|=，
∴S△CAB=，
故选C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8、D
【分析】令=k，则x=2k，y=3k，z=4k，再代入分式进行计算即可．
【详解】解：令=k，则x=2k，y=3k，z=4k，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意，当条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数k，得出x，y，z与k的关系，然后再代入待求的分式化简即可．
9、C
【分析】根据二次函数的顶点式：y=a(x-m)2+k，即可得到答案．
【详解】顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的二次函数解析式为：y＝－（x＋5）2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的顶点式y=a(x-m)2+k，其中(m，k)是顶点坐标，是解题的关键．
10、D
【分析】由题意先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在象限，再根据题意即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中k＝3＞0，
∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小；
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴y1＜y3＜y2，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数图象上各点的坐标是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】先根据平方、绝对值的非负性求得、，再利用锐角三角函数确定、的度数，最后根据直角三角形内角和求得．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴．
故答案是：
【点睛】
本题考查了平方、绝对值的非负性，锐角三角函数以及三角形内角和，熟悉各知识点是解题的关键．
12、；
【分析】如图（见解析），连接CO、DO，并延长DO交CF于H，由垂径定理可知CE，在中，可以求出半径CO的长；又由＝和垂径定理得，根据圆周角定理可得，从而可知，在中可求出FG，也就可求得CF的长度；在中利用勾股定理求出DH，再求出，同样地，在中利用余弦函数求出OG，从而可求得.
【详解】，，
，（垂径定理）
连接，设，则
在中，解得
，
连接DO并延长交CF于H
＝，由垂径定理可知，
是所对圆周角，是所对圆心角，且=2
，
，

由勾股定理得：

，
.

【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形中的余弦三角函数，通过构造辅助线，利用垂径定理和圆周角定理是解题关键.
13、160°
【分析】根据圆周角定理，由∠ACB=100°，得到它所对的圆心角∠α=2∠ACB=200°，用360°-200°即可得到圆心角∠AOB．
【详解】如图，
∵∠α=2∠ACB，
而∠ACB=100°，
∴∠α=200°，
∴∠AOB=360°-200°=160°．
故答案为：160°．

【点睛】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
14、y= -x2 +5
【分析】根据二次函数的图像平移方法“左加右减，上加下减”可直接进行求解．
【详解】由将抛物线向左平移5个单位，再向上平移2个单位后得到的抛物线的解析式为；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图像平移，熟练掌握二次函数的图像平移方法是解题的关键．
15、
【分析】根据S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN，再求出菱形PHQF的面积，△HTN的面积即可解决问题．
【详解】如图，设FM＝HN＝a．

由题意点E、F、G、H分别为矩形AB、BC、CD、DA的中点，
∴四边形DFBH和四边形CFAH为平行四边形，
∴DF∥BH,CH∥AF，
∴四边形HQFP是平行四边形
又HP=CH=DP=PF，
∴平行四边形HQFP是菱形，它的面积＝S矩形ABCD＝×4×6＝6，
∵FM∥BJ，CF＝FB，
∴CM＝MJ，
∴BJ＝2FM＝2a，
∵EJ∥AN，AE＝EB，
∴BJ＝JN＝2a，
∵S△HBC＝•6•4＝12，HJ＝BH，
∴S△HCJ＝×12＝，
∵TN∥CJ，
∴△HTN∽△HCJ，
∴＝（）2＝，
∴S△HTN＝×＝，
∴S阴＝S菱形PHQF﹣2S△HTN＝6﹣＝，
故答案为．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、菱形的判定与性质及相似三角形的性质.
16、或
【解析】利用位似图形的性质可得对应点坐标乘以和-即可求解.
【详解】解：以点为位似中心，相似比为，把缩小，点的坐标是
则点的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查的是位似图形，熟练掌握位似变换是解题的关键.
17、-2
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．
【详解】解：由点A（a，1）与点B（-2，b）关于原点对称，得
a=2，b=-1．
ab=（2）×（-1）=-2，
故答案为-2．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律是：横、纵坐标都是互为相反数．
18、72°
【详解】五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为=72°.
故答案为72°.

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2），；（3）；坐标为或或或.
【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，
（2）联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；
（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标
【详解】解：（1）∵顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
又抛物线过原点，∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：，
即.
（2）联立抛物线和直线解析式可得，
解得：或，
∴，；
（3）存在；坐标为或或或.
理由：假设存在满足条件的点，
设，则，
∴，，
由（2）知，，，
∵轴于点，
∴，
∴当和相似时，有或，
①当时，
∴，即，
∵当时、、不能构成三角形，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
此时点坐标为：或；
②当时，
∴，
即，
∴，
∴，
解得：或，
此时点坐标为：或，
综上可知，在满足条件的点，其坐标为：或或或.
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N、M的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
20、（1）；（2）a=1．
【分析】(1)利用“实际销售量=原销售量-10×上涨的钱数”可得；
(2) 根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量即可求解．
【详解】(1) 由题意得，
∴函数关系式为：
(2)设每天扣除捐赠后可获得利润为w元，
依题意得：

∵-10＜0，且抛物线的对称轴为直线，
∴当y的最大值是1440，
∴，
化简得：，
解得：(不合题意，舍去)， ．
答：的值为1．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．
21、（1）y1=1 , y2=;（2）
【分析】（1）先移项，再用提公因式法解方程即可；
（2）将三角函数的对应值代入计算即可.
【详解】（1）3y(y-1)=2(y-1)，
，
（3y-2）（y-1）=0，
y1=1 , y2=；
（2）sin60°cos45°＋tan30°，
，
=.
【点睛】
此题考查计算能力，（1）是解方程，解方程时需根据方程的特点选择适合的方法使计算简便；（2）是三角函数值的计算，熟记各角的三角函数值是解题的关键.
22、（1），y＝－x－1；（1）x＞1或－4＜x＜0
【分析】（1）先把A（-4，1）代入求出m=-8，从而确定反比例函数的解析式为；再把B（n，-4）代入求出n=1，确定B点坐标为（1，-4），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（1）观察图象得到当-4＜x＜0或x＞1 时，一次函数的图象都在反比例函数图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值．
【详解】（1）把A（-4，1）代入得m=-4×1=-8，
∴反比例函数的解析式为；
把B（n，-4）代入得-4n=-8，解得n=1，
∴B点坐标为（1，-4），
把A（-4，1）、B（1，-4）分别代入y=kx+b得
，
解方程组得，
∴一次函数的解析式为y=-x-1；
（1）观察函数图象可得反比例函数的值大于一次函数的值的x取值范围是：-4＜x＜0或x＞1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式；求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标就是把两个图象的解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．也考查了待定系数法以及观察函数图象的能力．
23、（1）（1,0），E、D、；（2）；（3）
【分析】（1）根据定义即可得到点的坐标，过点E作的切线EM，连接OM，利用三角函数求出∠MEO=30°，即可得到点E是的“伴侣点”；根据点F、D、的坐标得到线段长度与线段OE比较即可判定是否是的“伴侣点”；
（2）根据题意求出，∠OGF=60°，由点是的“伴侣点”，过点P作的切线PA、PB，连接OP，OB，证明△OPG是等边三角形，得到点P应在线段PG上，过点P作PH⊥x轴于H，求出点P的横坐标是-，由此即可得到点P的横坐标m的取值范围；
（3）设点(x，-2x+6)，P（m，n），根据派生点的定义得到3m+n=6，由此得到点P在直线y=-3x+6上，设直线y=-3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点O作OH⊥AB于H，交于点C，求出AB的长，再根据面积公式求出OH即可得到答案.
【详解】（1）∵，
∴点的派生点坐标为（1,0），
∵E(0，-2)，
∴OE=2，
过点E作的切线EM，连接OM，
∵OM=1，OE=2，∠OME=90°，
∴sin∠MEO=,
∴∠MEO=30°，
而在的左侧也有一个切点，使得组成的角等于30°，
∴点E是的“伴侣点”；
∵，
∴OF=>OE，
∴点F不可能是的“伴侣点”；
∵，（1,0），，，
∴点D、是的“伴侣点”，
∴的“伴侣点”有：E、D、，
故答案为：（1,0），E、D、；

（2）如图，直线l交y轴于点G，
∵，
∴，∠OGF=60°
∵直线上的点是的“伴侣点”，
∴过点P作的切线PA、PB，且∠APB=60°，
连接OP，OB，
∴∠BOP=30°，
∵∠OBP=90°，OB=1，
∴OP=2=OG，
∴△OPG是等边三角形，
∴若点P是的“伴侣点”，则点P应在线段PG上，
过点P作PH⊥x轴于H，
∵∠POH=90°-60°=30°，OP=2，
∴PH=1，
∴OH=，即点P的横坐标是-，
∴当直线上的点是的“伴侣点”时的取值范围是；

（3）设点(x，-2x+6)，P（m，n），
根据题意得：m+n=x，m-n=-2x+6，
∴3m+n=6，
即n=-3m+6，
∴点P坐标为（m，-3m+6），
∴点P在直线y=-3x+6上，
设直线y=-3x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点O作OH⊥AB于H，交于点C，如图，则A（2,0），B（0,6），
∴,
∴,
∴,
∴,
即点P与上任意一点距离的最小值为.
【点睛】
此题考查圆的性质，切线长定理，切线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键.
24、4株
【分析】根据已知假设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，得出平均单株盈利为元，由题意得求出即可。
【详解】解：设每盆花苗增加株，则每盆花苗有株，
平均单株盈利为：元，
由题意得：．
化简，整理，．
解这个方程，得，，
则，，
每盆植入株数尽可能少，
盆应植4株．
答：每盆应植4株．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数平均单株盈利总盈利得出方程是解题关键.
25、小河的宽度是210米.
【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算出AB即可得到小河的宽度．
【详解】∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴.
答：小河的宽度是210米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用：利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
26、，
【分析】根据因式分解法即可求解.
【详解】解： +2x-3=0
(x+3)(x-1)=0
x+3=0或x-1=0
，.
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法解方程.