2022-2023学年广东省深圳市莲花中学九年级数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线y＝3x2向右平移一个单位得到的抛物线是（　　）
A．y＝3x2+1 B．y＝3x2﹣1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3（x﹣1）2
2．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
①经过三个点一定可以作圆；②若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是3或7；③一个正六边形的内角和是其外角和的2倍；④随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件；⑤关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0有两个不相等的实数根．
A．①②③ B．①④⑤ C．②③④ D．③④⑤
4．的倒数是（ ）
A． B． C． D．
5．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（ ）
A．－1 B．－1或 C． D．1或
6．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球
B．抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7
C．抛掷一枚一元硬币，正面朝上
D．从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块
7．在中，=90〫，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（　　）
A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4
9．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝4cm，则BC的长为（　　）

A．8cm B．12cm C．11cm D．10cm
10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是_____．
12．如图，已知正六边形内接于，若正六边形的边长为2，则图中涂色部分的面积为______.

13．已知关于x的方程x2＋3x＋2a＋1＝0的一个根是0，则a＝______．
14．若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为 ▲ ．
15．如图，中，点、分别是边、的中点，、分别交对角线于点、，则______.

16．如图，已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．如果AD：DB=1：2，则CE：CF的值为____________．

17．已知关于 x 的一元二次方程x2+2x-a=0的两个实根为x1，x2，且，则 a的值为 ．
18．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）成都市某景区经营一种新上市的纪念品，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价是30元时，每天的销售量为200件；销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件.这种纪念品的销售单价为x（元）.
（1）试确定日销售量y（台）与销售单价为x（元）之间的函数关系式；
（2）若要求每天的销售量不少于15件，且每件纪念品的利润至少为30元，则当销售单价定为多少时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为多少？
20．（6分）如图，已知抛物线C1交直线y=3于点A（﹣4，3），B（﹣1，3），交y轴于点C（0，6）．

（1）求C1的解析式．
（2）求抛物线C1关于直线y=3的对称抛物线的解析式；设C2交x轴于点D和点E（点D在点E的左边），求点D和点E的坐标．
（3）将抛物线C1水平向右平移得到抛物线C3，记平移后点B的对应点B′，若DB平分∠BDE，求抛物线C3的解析式．
（4）直接写出抛物线C1关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式．
21．（6分）在一个不透明的布袋中，有三个除颜色外其它均相同的小球，其中两个黑色，一个红色.
(1)请用表格或树状图求出：一次随机取出2个小球，颜色不同的概率.
(2)如果老师在布袋中加入若干个红色小球.然后小明通过做实验的方式猜测加入的小球数，小 明每次換出一个小球记录下慎色并放回，实验数据如下表：
实验次数
100
200
300
400
500
1000
摸出红球
78
147
228
304
373
752
请你帮小明算出老师放入了多少个红色小球.
22．（8分）如图，是的直径，点在上，平分，是的切线，与相交于点，与相交于点，连接．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．（8分）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．

24．（8分）如图，矩形中，点为边上一点，过点作的垂线交于点.

（1）求证：；
（2）若，求的长.
25．（10分）甲、乙、丙、丁共四支篮球队要进行单循环积分赛（每两个队间均要比赛一场），每天比赛一场，经抽签确定比赛场次顺序．
（1）甲抽到第一场出场比赛的概率为　 　；
（2）用列表法或树状图计算甲、乙两队抽得第一场进行比赛的概率．
26．（10分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌
粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【解析】先确定抛物线y＝3x1的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【详解】y＝3x1的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y＝3（x﹣1）1．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2、B
【分析】根据中心对称图形的概念判断即可．
【详解】A．不是中心对称图形；
B．是中心对称图形；
C．不是中心对称图形；
D．不是中心对称图形．
故选B．
【点睛】
本题考查了中心对称图的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3、D
【分析】利用不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，故①说法错误；
若等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长是7，故②说法错误；
③一个正六边形的内角和是180°×（6-2）=720°其外角和是360°，所以一个正六边形的内角和是其外角和的2倍，故③说法正确；
随意翻到一本书的某页，页码可能是奇数，也可能是偶数，所以随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件，故④说法正确；
关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0，，所以方程有两个不相等的实数根，故⑤说法正确．
故选：D.
【点睛】
本题考查了不在同一直线上的三个点确定一个圆，等腰三角形的性质及三角形三边关系、正多边形内角和公式和外角和、随机事件的定义及一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是本题的解题关键．
4、A
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可．
【详解】解：∵×1=1，
∴的倒数是1．
故选A．
【点睛】
本题考查了倒数的概念，熟记倒数的概念是解答此题的关键．
5、B
【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】解：当x>0时，有，解得， (舍去)，
x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)．
故选B.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．
6、B
【解析】根据事件发生的可能性大小即可判断.
【详解】A. 从装有10个黑球的不透明袋子中摸出一个球，恰好是红球的概率为0，故错误；
B. 抛掷一枚普通正方体骰子，所得点数小于7的概率为1，故为必然事件，正确；
C. 抛掷一枚一元硬币，正面朝上的概率为50%，为随机事件，故错误；
D. 从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张，恰好是方块，为随机事件，故错误；
故选B.
【点睛】
此题主要考查事件发生的可能性，解题的关键是熟知概率的定义.
7、A
【分析】根据同角三角函数关系：+求解．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，，
∵+，
∴ ,
∴=
故选：A
【点睛】
本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道是解题的关键．
8、D
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，
∴这两个三角形们的面积比为1：4，
故选：D．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解决此题的关键．
9、B
【分析】由平行可得＝，再由条件可求得＝，代入可求得BC．
【详解】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
且DE＝4cm，
∴＝，
解得：BC＝12cm，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段成比例是解题的关键．
10、B
【解析】∵△ADE是由△ABC绕点A旋转100°得到的，
∴∠BAD=100°，AD=AB，
∵点D在BC的延长线上，
∴∠B=∠ADB=.
故选B.
点睛：本题主要考察了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题中只要抓住旋转角∠BAD=100°，对应边AB=AD及点D在BC的延长线上这些条件，就可利用等腰三角形中：两底角相等求得∠B的度数了.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、x＝﹣1
【分析】直接利用二次函数对称轴公式求出答案．
【详解】抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是：直线x＝﹣＝﹣＝﹣1．
故答案为：直线x＝﹣1．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆二次函数对称轴公式是解题关键．
12、
【分析】根据圆的性质和正六边形的性质证明△CDA≌△BDO，得出涂色部分即为扇形AOB的面积，根据扇形面积公式求解.
【详解】解：连接OA,OB,OC,AB,OA与BC交于D点
∵正六边形内接于,
∴∠BOA=∠AOC=60°,OA=OB=OC=4,
∴∠BOC=120°，OD⊥BC,BD=CD
∴∠OCB=∠OBC=30°,
∴OD= ,
∵∠CDA=∠BDO,
∴△CDA≌△BDO,
∴S△CDA=S△BDO,
∴图中涂色部分的面积等于扇形AOB的面积为：.
故答案为：.

【点睛】
本题考查圆的内接正多边形的性质，根据圆的性质结合正六边形的性质将涂色部分转化成扇形面积是解答此题的关键.
13、－
【分析】把x=0代入原方程可得关于a的方程，解方程即得答案．
【详解】解：∵关于x的方程x2＋3x＋2a＋1＝0的一个根是x=0，
∴2a＋1＝0，解得：a=－．
故答案为：－．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
14、
【解析】根据题意画出图形，如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠BOC=×360°=60°．
∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．∴∠OBC=60°．
∵正六边形ABCDEF的周长为21，∴BC=21÷6=1．
∴OB=BC=1，∴BM=OB·sin∠OBC =1·．
∴．
15、
【分析】由四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，AD=BC，△DEH∽△BCH，进而得，连接AC，交BD于点M，如图，根据三角形的中位线定理可得EF∥AC，可推得，△EGH∽△CMH，于是得DG=MG，，设HG=a，依次用a的代数式表示出MH、DG、BH，进而可得答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEH∽△BCH，∵E是AD中点，AD=BC，∴，
连接AC，交BD于点M，如图，∵点、分别是边、的中点，∴EF∥AC，
∴，△EGH∽△CMH，∴DG=MG，，
设HG=a，则MH=2a，MG=3a，∴DG=3a，∴DM=6a，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BM=DM=6a，BH=8a，
∴.
故答案为：.

【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识，连接AC，充分利用平行四边形的性质、构建三角形的中位线和相似三角形的模型是解题的关键.
16、
【分析】根据折叠的性质可得DE=CE,DF=CF,利用两角对应相等的两三角形相似得出△AED∽△BDF，进而得出对应边成比例得出比例式，将比例式变形即可得.
【详解】解：如图，连接DE,DF,
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC, ∠A=∠B=∠ACB=60°,
由折叠可得，∠EDF=∠ACB=60°,DE=CE,DF=CF
∵∠BDE=∠BDF+∠FDE=∠A+∠AED,
∴∠BDF+60°=∠AED+60°,
∴∠BDF=∠AED,
∵∠A=∠B,
∴△AED∽△BDF,
∴ ,
设AD=x，∵AD：DB=1：2,则BD=2x,
∴AC=BC=3x,
∵,
∴
∴
∴,
∴.

故答案为： .
【点睛】
本题考查了折叠的性质，利用三角形相似对应边成比例及比例的性质解决问题，能发现相似三角形的模型，即“一线三等角”是解答此题的重要突破口.
17、1．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程x2+2x-a=0 的两个实根为x1，x2，
∴x1+x2=-2，x1x2=-a，
∴
∴a=1．
18、πa
【分析】首先根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，再利用弧长公式求出的长=的长=的长=，那么勒洛三角形的周长为
【详解】解：如图．∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a，
∴的长=的长=的长=，
∴勒洛三角形的周长为
故答案为πa．

【点睛】
本题考查了弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），也考查了等边三角形的性质．

三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）当销售单价定为50元时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为3000元.
【分析】（1）利用“实际销售量=原销售量-10×”可得日销售量y（台）与销售单价为x（元）之间的函数关系式；
（2））设每天的销售利润为w元，按照每件的利润乘以实际销量可得w与x之间的函数关系式，根据每天的销售量不少于15件，且每件纪念品的利润至少为30元求出x的取值范围，利用二次函数的性质可得答案；
【详解】（1）；
（2）设每天的销售利润为w元.
则
，
∵，
∴，
∵且对称轴为：直线，
∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，w随着x的增大而减小，
∴当时，w取最大值为3000元.
答：当销售单价定为50元时，该纪念品每天的销售利润最大，最大利润为3000元.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键.
20、（1）C1的解析式为y=x2+x+1；（2）抛物线C2的解析式为y=﹣x2﹣x，D（﹣5，0），E（0，0）；（3）抛物线C3的解析式为y=；（4）y=x2x+2n﹣1．
【分析】（1）设抛物线C1经的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入求解即可得到解析式；
（2）先求出点C关于直线y=3的对称点的坐标为(0,0)，设抛物线C2的解析式为y=a1x2+b1x+c1，即可求出答案；
（3）如图，根据平行线的性质及角平分线的性质得到BB′=DB，利用勾股定理求出DB的长度即可得到抛物线平移的距离，由此得到平移后的解析式；
（4）设抛物线C1关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式为y=mx+nx+k，根据对称性得到m、n的值，再利用对称性得到新函数与y轴交点坐标得到k的值，由此得到函数解析式.
【详解】（1）设抛物线C1经的解析式为y=ax2+bx+c，
∵抛物线C1经过点A（﹣4，3），B（﹣1，3），C（0，1）．
∴,
解得，
∴C1的解析式为y=x2+x+1；
（2）∵C点关于直线y=3的对称点为（0，0），
设抛物线C2的解析式为y=a1x2+b1x+c1，
∴，
解得，
∴抛物线C2的解析式为y=﹣x2﹣x；
令y=0，则﹣x2﹣x=0，
解得x1=0，x2=﹣5，
∴D（﹣5，0），E（0，0）；
（3）如图，

∵DB′平分∠BDE，
∴∠BDB′=∠ODB′，
∵AB∥x轴，
∴∠BB′D=∠ODB′，
∴∠BDB′=∠BB′D，
∴BB′=DB，
∵BD==5，
∴将抛物线C1水平向右平移5个单位得到抛物线C3，
∵C1的解析式为y=x2+x+1=（x+）2+，
∴抛物线C3的解析式为y=（x+﹣5）2+=；
（4）设抛物线C1关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式为y=mx+nx+k，
根据对称性得：新抛物线的开口方向与原抛物线的开口方向相反，开口大小相同，故m=-，对称轴没有变化，故n=-，
当n>1时，n+（n-1）=2n-1，故新抛物线与y轴的交点为（0，2n-1），
当n<1时，n-（1-n）=2n-1，新抛物线与y轴的交点为（0，2n-1），
∴k=2n-1，
∴抛物线C1关于直线y=n（n 为常数）对称的抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣x+2n﹣1.
【点睛】
此题考查待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的对称性，抛物线平移的性质，解题中确定变化后的抛物线的特殊点的坐标是解题的关键.
21、（1）P=；（2）加入了5个红球
【分析】（1）利用列表法表示出所有可能，进而得出结论即可；
（2）根据概率列出相应的方程，求解即可.
【详解】（1）列表如图，

黑1
黑2
红
黑1
/
（黑1，黑2）
（黑1，红）
黑2
（黑2，黑1）
/
（黑2，红）
红
（红，黑1）
（红，黑2）
/
一共有6种等可能事件，其中颜色不同的等可能事件有4种，∴颜色不同的概率为P=
（2）由图表可得摸到红球概率为
设加入了x个红球
=
解得x=5
经检验x=5是原方程的解
答：加入了5个红球。
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22、（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据切线的性质得∠ABD=90°，则∠BAD+∠D=90°，然后利用等量代换证明∠BED=∠D，从而判断BD=BE；
（2）利用圆周角定理得到∠AFB=90°，则根据等腰三角形的性质DF=EF =2，再证明，列比例式求出AD的长，然后计算AD-DE即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵是的切线，
∴，
∴．
又∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵是的直径，
∴，
又∵，
∴．
在中，根据勾股定理得，．
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴．
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质、切线的性质.熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
23、答案见解析
【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证.
【详解】解∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质.
24、（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）根据同角的余角相等推出，结合即可判定相似；
（2）根据条件可得CD=2，再利用相似三角形对应边成比例，建立方程即可求出DE.
【详解】解：（1），

又

（2）

，

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握“一线三垂直”模型的证明方法是解题的关键.
25、 (1)；(2)
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得．
【详解】解答】解：（1）甲抽到第一场出场比赛的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两队的有2种情况，
∴甲、乙两队抽得第一场进行比赛的概率为．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图计算概率的方法，概率=所求情况数与总情况数之比
26、（1）y=-20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．
【解析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获的利润×销售量列出函数关系式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
试题分析：
试题解析：（1）由题意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600；
（2），∵x≥45，抛物线的开口向下，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．
考点：二次函数的应用．