2023届湖北省通城市隽水镇南门中学九年级数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．圆 C．等边三角形 D．正五边形
2．下列由几何图形组合的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．能判断一个平行四边形是矩形的条件是（ ）
A．两条对角线互相平分 B．一组邻边相等
C．两条对角线互相垂直 D．两条对角线相等
4．若点是直线上一点，已知，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．2
5．如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动，点E、F别是AM、MC的中点，则EF的长随着M点的运动（　　）

A．不变 B．变长 C．变短 D．先变短再变长
6．三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是　　
A．24 B．24或 C．48或 D．
7． 如图，点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上一点，AC、BD交于点O，且∠EAF＝45°，AE，AF分别交对角线BD于点M，N，则有以下结论：①△AOM∽△ADF；②EF＝BE+DF；③∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；④S△AEF＝2S△AMN，以上结论中，正确的个数有（　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF，其中点C、D在半径OA上，点F在半径OB上，点E在弧AB上，则扇形与正方形的面积比是（　　）

A．π：8 B．5π：8 C．π：4 D．π：4
9．下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
10．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4.某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为____.

12．如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．，平分，，的长为__．

13．某班从三名男生(含小强)和五名女生中，选四名学生参加学校举行的“中华古诗文朗诵大赛”，规定女生选n名，若男生小强参加是必然事件，则n=__________．
14．如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为_____度．
15．如图，点M是反比例函数（）图象上任意一点，AB⊥y轴于B，点C是x轴上的动点，则△ABC的面积为______．

16．二次函数图象的顶点坐标为________．
17．点向左平移两个单位后恰好位于双曲线上，则__________．
18．如图，∠XOY=45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB=10，那么点O到顶点A的距离的最大值为_____．

三、解答题(共66分)
19．（10分）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC，A、C、D在同一直线上，量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.求台灯的高(即台灯最高点E到底盘AB的距离).(结果取整，参考数据sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73)

20．（6分）如图，直线分别与轴交于点，与轴交于点，与双曲线交于点．
（1）求与的值；
（2）已知是轴上的一点，当时，求点的坐标．

21．（6分）已知：△ABC中∠ACB＝90°，E在AB上，以AE为直径的⊙O与BC相切于D，与AC相交于F，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若DF∥AB，则BD与CD有怎样的数量关系？并证明你的结论．

22．（8分）已知：如图，平行四边形，是的角平分线，交于点，且，；求的度数．

23．（8分）如图1是一种折叠台灯，将其放置在水平桌面上，图2是其简化示意图，测得其灯臂长为灯翠长为,底座厚度为根据使用习惯，灯臂的倾斜角固定为，
(1)当转动到与桌面平行时,求点到桌面的距离；
(2)在使用过程中发现，当转到至时，光线效果最好，求此时灯罩顶端到桌面的高度(参考数据:，结果精确到个位).

24．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+4经过点（2，0）和（﹣2，12）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）写出它的图象的开口方向　 　、顶点坐标　 　、对称轴　 　；
（3）画出函数的大致图象．

25．（10分）计算：
（1）
（2）解方程：
26．（10分）已知关于的一元二次方程的两实数根分别为．
（1）求的取值范围；
（2）若，求方程的两个根．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各项分析判断即可.
【详解】平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误；圆既是轴对称图形又是中心对称图形，故B正确；等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误；正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误.
故答案为：B.
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握其定义是解题的关键.
2、A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，属于应知应会题型，熟知二者的概念是解题关键．
3、D
【分析】根据矩形的判定进行分析即可；
【详解】选项A中，两条对角线互相平分是平行四边形，故选项A错误；
选项B中，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项B错误；
选项C中，两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C错误；
选项D中，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项D正确；
故选D.
【点睛】
本题主要考查了矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键.
4、B
【分析】根据题意先确定点B在哪个位置时的最小值，先作点A关于直线CD的对称点E,点B、E、O三点在一条直线上，再根据题意，连结OE与CD的交点就是点B,求出OE的长即为所求．
【详解】解：在y=-x+2中，当x=0时， y=2,当y=0时， 0=-x+2，解得x=2,
∴直线y=-x+2与x的交点为C(2.0)，与y轴的交点为D(0，2)，如图，
∴OC=OD=2,
∵OC⊥OD,:OC⊥OD,
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠OCD=45°，
∴A(0,-2)，
∴OA=OC=2

连接AC，如图，
∵OA⊥OC,
∴△OCA是等腰直角三角形，
∴∠OCA= 45°，
∴∠ACD=∠OCA+∠OCD=90°，
∴.AC⊥CD,
延长AC到点E，使CE=AC,连接BE，作EF⊥轴于点F，
则点E与点A关于直线y= -x+2对称，∠EFO= ∠AOC=90，
点O、点B、点E三点共线时，OB+AB取最小值，最小值为OE的长,
在△CEF和△CAO中，

∴△CEF≌OCAO(AAS),
∴EF=OA=2，CF=OC=2
∴OF=OC+CF=4,

即OB+AB的最小值为．
故选:B
【点睛】
本题考查的是最短路线问题，找最短路线是解题关键．找一点的对称点连接另一点和对称点与对称轴的交点就是B点．
5、A
【分析】由题意得EF为三角形AMC的中位线，由中位线的性质可得：EF的长恒等于定值AC的一半.
【详解】解：∵E，F分别是AM，MC的中点，
∴，
∵A、C是定点，
∴AC的的长恒为定长，
∴无论M运动到哪个位置EF的长不变，
故选A．

【点睛】
此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
6、B
【分析】由，可利用因式分解法求得x的值，然后分别从x=6时，是等腰三角形；与x=10时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】∵，

∴(x−6)(x−10)=0，
解得：x1=6,x2=10，
当x=6时，则三角形是等腰三角形，如图①，AB=AC=6，BC=8，AD是高，
∴BD=4,AD=，
∴S△ABC= BC⋅AD=×8×2=8；
当x=10时，如图②，AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形,∠C=90°，
S△ABC=BC⋅AC=×8×6=24.
∴该三角形的面积是：24或8.
故选B.
【点睛】
此题考查勾股定理的逆定理，解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，解题关键在于利用勾股定理进行计算.
7、D
【解析】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到EH=EF，所以∠ANM=∠AEB，则可求得②正确；
根据三角形的外角的性质得到①正确；
根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；
根据相似三角形的性质得到∠AEN=∠ABD=45°，推出△AEN是等腰直角三角形，根据勾股定理得到AE＝AN，再根据相似三角形的性质得到EF＝MN，于是得到S△AEF=2S△AMN．故④正确．
【详解】如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH

由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF
∵∠EAF＝45°
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°
∴∠EAH＝∠EAF＝45°
在△AEF和△AEH中

∴△AEF≌△AEH（SAS）
∴EH＝EF
∴∠AEB＝∠AEF
∴BE+BH＝BE+DF＝EF，
故②正确
∵∠ANM＝∠ADB+∠DAN＝45°+∠DAN，
∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）＝90°﹣（45°﹣∠BAH）＝45°+∠BAH
∴∠ANM＝∠AEB
∴∠ANM＝∠AEB＝∠ANM；
故③正确，
∵AC⊥BD
∴∠AOM＝∠ADF＝90°
∵∠MAO＝45°﹣∠NAO，∠DAF＝45°﹣∠NAO
∴△OAM∽△DAF
故①正确
连接NE，

∵∠MAN＝∠MBE＝45°，∠AMN＝∠BME
∴△AMN∽△BME
∴
∴
∵∠AMB＝∠EMN
∴△AMB∽△NME
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∵∠EAN＝45°
∴∠NAE＝NEA＝45°
∴△AEN是等腰直角三角形
∴AE＝
∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME
∴△AMN∽△AFE
∴
∴
∴
∴S△AFE＝2S△AMN
故④正确
故选D．
【点睛】
此题考查相似三角形全等三角形的综合应用，熟练掌握相似三角形，全等三角形的判定定理是解决此类题的关键．
8、B
【分析】连接OE，设正方形的边长为a．根据等腰直角三角形的性质，得OC=CF=a，在直角三角形OFC中，根据勾股定理列方程，用a表示出r的值，再根据扇形及正方形的面积公式求解．
【详解】解：连接OE，设正方形的边长为a，则正方形CDEF的面积是a2，

在Rt△OCF中，a2+（2a）2=r2，即r=a，
扇形与正方形的面积比=：a2=：a2=5π：1．
故选B．
【点睛】
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
9、A
【分析】根据轴对称图形和的概念和各图形特点解答即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的特点，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合．
10、C
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.
【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：
x（x-1）=55，
化简得：x2-x-110=0，
解得：x1=11，x2=-10（舍去），
故答案为C.
【点睛】
考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【解析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=1，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，则AB=AD=1．
【详解】如图，过点A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD=OA=1．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
∴BD=AD=1，
∴AB=AD=1．
即该船航行的距离（即AB的长）为1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
12、．
【分析】根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明BM=MN．再证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．
【详解】在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
，
，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13、1;
【解析】根据必然事件的定义可知三名男生都必须被选中，可得答案.
【详解】解：∵男生小强参加是必然事件，
∴三名男生都必须被选中，
∴只选1名女生，
故答案为1.
【点睛】
本题考查的是事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
14、1
【分析】直接利用扇形弧长公式代入求出即可．
【详解】解：扇形的半径是1，弧长是，
，即，
解得：，
此扇形所对的圆心角为：．
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了弧长公式的应用，正确利用弧长公式是解题关键．
15、1
【解析】解：设A的坐标是（m，n），则mn=2，则AB=m，△ABC的AB边上的高等于n，则△ABC的面积=mn=1．故答案为1．
点睛：本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，△ABC的面积=|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
16、
【解析】二次函数（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【详解】解：根据二次函数的顶点式方程知，该函数的顶点坐标是：（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式，解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方程中的h，k所表示的意义．
17、
【分析】首先求出点P平移后的坐标，然后代入双曲线即可得解.
【详解】点向左平移两个单位后的坐标为，代入双曲线，得

∴
故答案为-1.
【点睛】
此题主要考查坐标的平移以及双曲线的性质，熟练掌握，即可解题.
18、10
【分析】
当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离的最大，则△ABC是等腰直角三角形，据此即可求解．
【详解】
解：∵
∴当∠ABO=90°时，点O到顶点A的距离最大．
则OA=AB=10．
故答案是：10．
【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，正确确定点O到顶点A的距离的最大的条件是解题关键．

三、解答题(共66分)
19、台灯的高约为45cm.
【分析】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，可得四边形DGFH是矩形，可得DG=FH，根据∠A的余弦可求出AC的长，进而可得AD的长，根据∠A的正弦即可求出DG的长，由∠ADE=135°可得∠EDH=15°，根据∠DEH的正弦可得EH的长，根据EF=EH+FH求出EF的长即可得答案.
【详解】如图，作DG⊥AB，EF⊥AB，交AB延长线于G、F，DH⊥EF于H，
∴四边形DGFH是矩形，
∴DG=FH，
∵∠A=60°，AB=16，
∴AC=AB·cos60°=16×=8，
∴AD=AC+CD=8+40=48，
∴DG=AD·sin60°=24，
∵DH⊥EF，AF⊥EF，
∴DH//AF，
∴∠ADH=180°-∠A=120°，
∵∠ADE=135°，
∴∠EDH=∠ADE-∠ADH=15°，
∵DE=15，
∴EH=DE·sin15°≈3.9，
∴EF=EH+FH=EH+DG=24+3.9≈45，

答：台灯的高约为45cm.
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用，正确应用锐角三角函数的关系是解题关键.
20、（1）12；（2）或．
【解析】（1）把点（4，m）代入直线求得m，然后代入与反比例函数，求出k；
（2）设点P的纵坐标为y，一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，则A（-2，0），C（0，1），然后根据S△ABP=S△APC+S△BPC列出关于y的方程，解方程求得即可．
【详解】解：（1）点在一次函数上，
，
又点在反比例函数上，
；
（2）设点的纵坐标为，一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，
，，
又点在轴上，，
，即，
，
或
或．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，三角形的面积等知识，求出交点坐标，利用数形结合思想是解题的重点．
21、 (1)见解析；(2) BD＝2CD证明见解析
【分析】（1）连接OD．根据圆的半径都相等的性质及等边对等角的性质知：∠OAD＝∠ODA；再由切线的性质及平行线的判定与性质证明∠OAD＝∠CAD；
（2）连接OF，根据等腰三角形的性质以及圆周角定理证得∠BAC＝60°，根据平行线的性质得出BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，根据解直角三角形即可求得结论．
【详解】（1）证明：连接OD，
∴OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴∠OAD＝∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）连接OF，
∵DF∥AB，
∴∠OAD＝∠ADF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠ADF＝∠OAF，
∵∠ADF＝∠AOF，
∴∠AOF＝∠OAF，
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵∠ADF＝∠DAF，
∴DF＝AF，
∵DF∥AB，
∴BD：CD＝AF：CF，∠DFC＝∠BAC＝60°，
∴＝2，
∴BD＝2CD．

【点睛】
本题考查了切线的性质，涉及知识点有：平行线的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及圆周角定理，数形结合做出辅助线是解本题的关键
22、50°
【分析】根据平行四边形的性质求出CD=CE，得到AB=BE，所以
根据，得到的度数
【详解】证明：四边形是平行四边形

是的角平分线

四边形是平行四边形

【点睛】
本题考查平行四边形的性质，由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解，得出AB=BE是解决问题的关键．
23、（1）点到桌面的距离为；（2）灯罩顶端到桌面的高度约为．
【分析】（1）作CM⊥EF于M，BP⊥AD于P，交EF于N，则CM＝BN，PN＝3，由直角三角形的性质得出AP＝AB＝14，BP＝AP＝14，得出CM＝BN＝BP＋PN＝14＋3即可；
（2）作CM⊥EF于M，作BQ⊥CM于Q，BP⊥AD于P，交EF于N，则∠QBN＝90°，CM＝BN，PN＝3，由（1）得QM＝BN，求出∠CBQ＝25，由三角函数得出CQ＝BC×sin25，得出CM＝CQ＋QM即可．
【详解】解当转动到与桌面平行时，
如图2所示:作于于,交于则

，

即点到桌面的距离为;

作于，作于于，交于,如图3所示:
则，
由得
，

在中，
,
即此时灯罩顶端到桌面的高度约为.

【点睛】
本题考查了解直角三角形、翻折变换的性质、含30角的直角三角形的性质等知识；通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
24、（1）；（2）向上，（1，﹣），直线x＝1；（1）详见解析．
【分析】（1）直接利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
（2）根据二次函数的性质求解；
（1）利用描点法画函数图象．
【详解】（1）由题意得：
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）∵(x﹣1)2，
∴图象的开口方向向上，顶点为，对称轴为直线 x=1．
故答案为：向上，(1，)，直线x=1；
（1）如图；
．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质．
25、（1）；（2）
【分析】（1）由题意利用乘方运算法则并代入特殊三角函数值进行计算即可；
（2）根据题意直接利用因式分解法进行方程的求解即可.
【详解】解：（1）

（2）
，

解得.
【点睛】
本题考查实数的混合运算以及解一元二次方程，熟练掌握乘方运算法则和特殊三角函数值以及利用因式分解法解方程是解题的关键.
26、 (1) ；(2)原方程的两根是﹣3和1．
【分析】（1）根据根的判别式求出的取值范围；
（2）将，代入方程，求得，再根据，求解方程的两个根．
【详解】（1）∵ 一元二次方程有两实数根，，
∴
∴
（2） ∵的两实数根分别为
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴原方程的两根是﹣3和1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式以及解法是解题的关键．