2022年广东省肇庆市端州区数学九上期末统考试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）

A．8tan20° B． C．8sin20° D．8cos20°
2．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出四个结论：①； ②；③若点、为函数图象上的两点，则；④关于的方程一定有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1
3．下列说法中不正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形
C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等
4．若关于x的一元二次方程ax2+bx+6=0（a≠0）的其中一个解是x=1，则2018﹣a﹣b的值是（　　）
A．2022 B．2018 C．2017 D．2024
5．二次函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值为（ ）
A．1或－3 B．5或－3 C．－5或3 D．－1或3
6．如图，几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
7．方程的根为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．一元二次方程有实数解的条件( )
A． B． C． D．
9．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k>-3 B．k≥-3 C．k≥0 D．k≥1
10．如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝图象交于M、N两点，则不等式ax+b＞解集为(　　)

A．x＞2或﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜0
C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．x＞2
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AC＝2，则BC的值为_____．
12．如图，五边形是正五边形，若，则__________．

13．已知关于的方程的一个根为-2，则方程另一个根为__________．
14．如图，AB为的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且＝，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长度为__________，AG的长为____________.

15．不等式＞4﹣x的解集为_____．
16．已知圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，则圆锥的侧面积是__________cm2.
17．如图所示，在中，、相交于点，点是的中点，联结并延长交于点，如果的面积是4，那么的面积是______.

18．在比例尺为1∶500 000的地图上，量得A、B两地的距离为3 cm，则A、B两地的实际距离为_____km．
三、解答题(共66分)
19．（10分）已知二次函数y＝2x2+4x+3，当﹣2≤x≤﹣1时，求函数y的最小值和最大值，如图是小明同学的解答过程．你认为他做得正确吗？如果正确，请说明解答依据，如果不正确，请写出你得解答过程．
20．（6分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
①写出旋转角α的度数；
②求证：EA′+EC＝EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）
21．（6分）某食品商店将甲、乙、丙3种糖果的质量按配置成一种什锦糖果，已知甲、乙、丙三种糖果的单价分别为16元／、20元／、27元／．若将这种什锦糖果的单价定为这三种糖果单价的算术平均数，你认为合理吗？如果合理，请说明理由；如果不合理，请求出该什锦糖果合理的单价．
22．（8分）某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地.
（1）当他按原路匀速返回时，汽车的速度与时间有怎样的函数关系？
（2）如果该司机返回到甲地的时间不超过，那么返程时的平均速度不能小于多少？
23．（8分）解方程：x2﹣4x﹣5＝1．
24．（8分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=1．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
25．（10分）一艘运沙船装载着5000m3沙子，到达目的地后开始卸沙，设平均卸沙速度为v（单位：m3/小时），卸沙所需的时间为t（单位：小时）．
（1）求v关于t的函数表达式，并用列表描点法画出函数的图象；
（2）若要求在20小时至25小时内（含20小时和25小时）卸完全部沙子，求卸沙的速度范围．
26．（10分）如图，抛物线的图象过点.

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．
【详解】设木桩上升了h米，
∴由已知图形可得：tan20°=，
∴木桩上升的高度h=8tan20°
故选B.
2、C
【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴及与y轴交点情况可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据点离对称轴的远近可判断；④根据抛物线与直线交点个数可判断．
【详解】由图象可知：开口向下，故，
抛物线与y轴交点在x轴上方，故＞0，
∵对称轴，即同号，
∴，
∴，故①正确；
∵对称轴为，
∴，
∴，故②不正确；
∵抛物线是轴对称图形，对称轴为，
点关于对称轴为的对称点为
当时，
此时y随的增大而减少，
∵30，
∴，故③错误；
∵抛物线的顶点在第二象限，开口向下，与轴有两个交点，
∴抛物线与直线有两个交点，
∴关于的方程有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上：①④正确，共2个；
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．
3、C
【分析】根据菱形的判定与性质即可得出结论.
【详解】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确；
B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确；
C．菱形的对角线互相垂直且相等；不正确；
D．菱形的邻边相等；正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键．
4、D
【分析】根据题意将x=1代入原方程并整理得出，最后进一步整体代入求值即可.
【详解】∵x=1是原方程的一个解，
∴把x=1代入方程，得：，
即．
∴，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握相关概念是解题关键.
5、B
【分析】由二次函数y=x2-（m-1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，可知△=0，继而求得答案．
【详解】解：∵二次函数y=x2-（m-1）x+4的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=b2-4ac=[-（m-1）]2-4×1×4=0，
∴（m-1）2=16，
解得：m-1=±4，
∴m1=5，m2=-1．
∴m的值为5或-1．
故选：B．
【点睛】
此题考查了抛物线与x轴的交点问题，注意掌握二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x轴没有交点．
6、D
【解析】试题分析：观察几何体，可知该几何体是由3个大小完全一样的正方体组成的，它的左视图是，故答案选D.
考点：简单几何体的三视图.
7、D
【分析】用直接开平方法解方程即可.
【详解】
x-1=±1
x1=2，x2=0
故选：D
【点睛】
本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，关键是要掌握开平方的方法，解题时要注意符号.
8、B
【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可得．
【详解】一元二次方程有实数解
则，即
解得
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式有：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）当时，方程有两个相等的实数根；（3）当时，方程没有实数根．
9、D
【解析】根据∆>0且k-1≥0列式求解即可.
【详解】由题意得
()2-4×1×(-1)>0且k-1≥0，
解之得
k≥1.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.
10、A
【解析】根据函数图象写出一次函数图象在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：由图可知，x＞2或﹣1＜x＜0时，ax+b＞．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，利用数形结合，准确识图是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数及三角形的边角关系求解．
【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为D．

在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴∠BCD＝45°，
∵∠BCA＝75°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD
＝30°
在Rt△ACD中，
∵cos∠ACD＝cos30°＝＝，
∴CD＝AC＝,
在Rt△ACD中，
∵sin∠B＝sin45°＝＝
∴CB＝DC＝
故答案为.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值及直角三角形的边角间关系，构造直角三角形是解决本题的关键．
12、72
【解析】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB交于点F，

∵，
∴∠2=∠3，
∵五边形是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为：72°.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
13、1
【分析】将方程的根-2代入原方程求出m的值，再解方程即可求解．
【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；
故原方程为：，
解方程得：．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．
14、；
【分析】如图（见解析），连接CO、DO，并延长DO交CF于H，由垂径定理可知CE，在中，可以求出半径CO的长；又由＝和垂径定理得，根据圆周角定理可得，从而可知，在中可求出FG，也就可求得CF的长度；在中利用勾股定理求出DH，再求出，同样地，在中利用余弦函数求出OG，从而可求得.
【详解】，，
，（垂径定理）
连接，设，则
在中，解得
，
连接DO并延长交CF于H
＝，由垂径定理可知，
是所对圆周角，是所对圆心角，且=2
，
，

由勾股定理得：

，
.

【点睛】
本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形中的余弦三角函数，通过构造辅助线，利用垂径定理和圆周角定理是解题关键.
15、x＞1．
【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可.
【详解】解：去分母得：x﹣1＞8﹣2x，
移项合并得：3x＞12，
解得：x＞1，
故答案为：x＞1
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键.
16、
【解析】圆锥侧面积=×4×2π×6= cm2.
故本题答案为：.
17、36
【分析】首先证明△AFE∽△CBE，然后利用对应边成比例，E为OA的中点，求出AE：EC=1：3，即可得出．
【详解】在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
则△AFE∽△CBE，
∴ ，
∵O为对角线的交点，
∴OA=OC，
又∵E为OA的中点，
∴AE=AC，
则AE：EC=1：3，
∴AF：BC=1：3，
∴
即
∴=36
故答案为：36
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．
18、1
【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，
∴A、B两地的实际距离3×500000=100000cm=1km，
故答案为1．
【点睛】
此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．

三、解答题(共66分)
19、错误，见解析
【分析】根据二次函数的性质和小明的做法，可以判断小明的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：小明的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2+1，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时取得最小值，最小值是1，
∵﹣2≤x≤﹣1，
∴当x＝﹣2时取得最大值，此时y＝1，
当x＝﹣1时取得最小值，最小值是y＝1，
由上可得，当﹣2≤x≤﹣1时，函数y的最小值是1，最大值是1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质,关键在于熟记性质.
20、（1）①105°，②见解析；（2）
【分析】（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题，
②连接A′F，设EF交CA′于点O，在EF时截取EM=EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF=PB′，推出PA+PF=PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．
【详解】①解：由∠CA′D＝15°，可知∠A′CD=90°-15°=75°，所以∠A′CA=180°-75°=105°即旋转角α为105°．
②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．
∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，

∴∠CEA′＝120°，
∵FE平分∠CEA′，
∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，
∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，
∴△FOC∽△A′OE，
∴＝，
∴＝，
∵∠COE＝∠FOA′，
∴△COE∽△FOA′，
∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，
∴△A′CF是等边三角形，
∴CF＝CA′＝A′F，
∵EM＝EC，∠CEM＝60°，
∴△CEM是等边三角形，
∠ECM＝60°，CM＝CE，
∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，
∴∠FCM＝∠A′CE，
∴△FCM≌△A′CE（SAS），
∴FM＝A′E，
∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．
（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．

由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，
∴△A′EF≌△A′EB′，
∴EF＝EB′，
∴B′，F关于A′E对称，
∴PF＝PB′，
∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，
在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，
∴B′M＝CB′＝1，CM＝，
∴AB′＝＝＝．
∴PA+PF的最小值为．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查旋转变换相关，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题，难度较大．
21、这样定价不合理,理由见解析
【分析】根据加权平均数的概念即可解题.
【详解】解：这样定价不合理．
（元／）．
答：该什锦糖果合理的单价为18.7元／．
【点睛】
本题考查了加权平均数的实际计算,属于简单题,熟悉加权平均数的概念是解题关键.
22、（1）；（2）.
【分析】（1）利用路程=平均速度×时间，进而得出汽车的速度v与时间t的函数关系；
（2）结合该司机必须在5个小时之内回到甲地，列出不等式进而得出速度最小值．
【详解】（1）由题意得，两地路程为，
∴汽车的速度与时间的函数关系为；
（2）由，得，
又由题意知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：返程时的平均速度不能小于1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的应用，根据路程=平均速度×时间得出函数关系是解题关键．
23、x＝﹣1或x＝2．
【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】x2-4x-2=1，
移项，得x2-4x=2，
两边都加上4，得x2-4x+4=2+4，所以（x-2）2=9，
则x-2=3或x-2=-3
∴x＝﹣1或x＝2．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
24、（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．
（2）根据利润计算公式列式即可；
（3）进行配方求值即可．
【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得解得：
∴y=－2x+200（30≤x≤60）
（2）W=（x－30）（－2x+200）－450
=－2x2+260x－6450
=－2（x－65）2 +2000）
（3）W =－2（x－65）2 +2000
∵30≤x≤60
∴x=60时,w有最大值为1950元
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元
考点：二次函数的应用．
25、（1）v＝，见解析；（2）200≤v≤1
【分析】(1)直接利用反比例函数解析式求法得出答案；
(2)直接利用(1)中所求解析式得出v的取值范围．
【详解】(1)由题意可得：v=，
列表得：
v
…
10
11
625
…
t
…
2
4
6
…
描点、连线，如图所示：
；
(2)当t=20时，v==1，
当t=25时，v==200，
故卸沙的速度范围是：200≤v≤1．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
26、（1）；（2）存在，点，周长为：；（3）存在，点M坐标为
【分析】（1）由于条件给出抛物线与x轴的交点，故可设交点式，把点C代入即求得a的值，减小计算量．
（2）由于点A、B关于对称轴：直线对称，故有，则，所以当C、P、B在同一直线上时，最小．利用点A、B、C的坐标求AC、CB的长，求直线BC解析式，把代入即求得点P纵坐标．
（3）由可得，当两三角形以PA为底时，高相等，即点C和点M到直线PA距离相等．又因为M在x轴上方，故有．由点A、P坐标求直线AP解析式，即得到直线CM解析式．把直线CM解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M坐标．
【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点
∴可设交点式
把点代入得：

∴抛物线解析式为
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得的周长最小．
如图1，连接PB、BC
∵点P在抛物线对称轴直线上，点A、B关于对称轴对称

∵当C、P、B在同一直线上时，最小

最小
设直线BC解析式为
把点B代入得：，解得：
∴直线BC：

∴点使的周长最小，最小值为．
（3）存在满足条件的点M，使得．
∵
∴当以PA为底时，两三角形等高
∴点C和点M到直线PA距离相等
∵M在x轴上方

，设直线AP解析式为
解得：
∴直线
∴直线CM解析式为：

解得：（即点C），
∴点M坐标为

【点睛】
考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M在x轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．