衡水中学2013届高三第二次模拟考试数学(理)试题.doc

衡水中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题第卷（选择题 共60分） 共120分钟一、 选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设,，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A6 B8 C10 D123.已知等比数列满足，则（ ）A64 B81 C128 D2434.已知向量，满足，则向量，夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 5.已知已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为（ ） A.2 B. C. D. 6.若(x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）A10 B20 C30 D1207. 设集合，如果方程（）至少有一个根，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ）A.6 B.8 C. 9 D.108.如图，ABCD是边长为l的正方形，O为AD的中点，抛物线的顶点为O且通过点C，则阴影部分的面积为（ ）A B C D9.设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（ ） A . B. C. D.310.点P到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a的值是（ ）A. B. C.或 D. 或11. 从点出发的三条射线两两成角，且分别与球相切于三点，若球的体积为，则两点之间的距离为( ) A. B. C.1.5 D. 212.已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）A BC D. 第卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.已知，则= 14. 在约束条件 下,过点的线性目标函数取得最大值10,则线性目标函数_ （写出一个适合题意的目标函数即可）；15. 四棱锥的三视图如右图所示,四棱锥的五个顶点都在一个球面上，、分别是棱、的中点，直线被球面所截得的线段长为，则该球表面积为 .16. 已知等差数列的首项及公差都是整数，前项和为，若，设的结果为 。三.解答题（共6个小题，共70分）17.（本题满分10分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（）求出表中及图中的值；（）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间内的人数；（）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间内的概率.18、（本题满分12分）已知为锐角，且，函数，数列的首项.（）求函数的表达式；（）求数列的前项和19.（本题满分12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，（）求证：；（）求直线与平面所成的角；（）设点在棱上， ,若平面，求的值.20.（本题满分12分）已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点F重合. （）求椭圆的方程；（II）直线经过点与椭圆相交于A、B两点，与抛物线相交于C、D两点求的最大值21. （本题满分12分）给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为.（）求椭圆的方程和其“准圆”方程.（）点是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点，求证：为定值.22. （本题满分12分）设函数 （）当时，求函数的最大值；()令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；()当，方程有唯一实数解，求正数的值20122013学年度高三年级二模考试数学试卷（理科）4.【考察目标】考察向量的概念、向量的几何意义，以及平面向量的线性运算和向量的数量积的运算及其几何意义，考察学生运用平面向量处理有关长度、角度问题的能力，考察数形结合的数学思想。【解题思路】 解法1：， 解法2：数形结合方法【答案】B5.【考察目标】本题考查双曲线的概念，标准方程和几何性质，综合考察运算求解能力。 【解题思路】 解法1：设，则 解法2：,根据双曲线的定义知，【答案】A6【考察目标】考察学生运用二项式定理解决与二项展开式系数有关问题的能力【解题思路】解：因为(x)n展开式的二项式系数之和为64，即为2n=64,n=6,那么展开式中常数项就是x的幂指数为0的项，即为20.【答案】B7.【考察目标】考察分类计数原理和分步计数原理，以及运用其解决简单的实际问题的能力，设置A为四元素集，减少分类的类型，把两个原理的考察放在了中心位置。【解题思路】 解法1：当时，则都可以，共4种；当时，则即，则，共2种；当时，则即，则，共2种当时，则即，则，共1种；【答案】C8.【考察目标】考查定积分的基本思想和微积分的基本定理的含义，考察考生运用数学知识解决实际问题的能力。【解题思路】.以O为圆心，以OD为y轴建立直角坐标系，抛物线的方程为，.【答案】C9.【考察目标】考察三角函数的图像和性质，了解三角函数的周期性。【解题思路】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k1,故，【答案】C10.【考察目标】考察抛物线的概念，标准方程和几何性质，考察数形结合思想，考察圆锥曲线的简单运用。【解题思路】解法一：点P在抛物线上，设,则有=，化简得, 当时, 符合题意；当时，=0,有,，则。解法二：由题意有点P在抛物线上，B在直线y=2上,当时,B为直线y=2与准线的交点，符合题意；当时，B为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，【答案】D11.【考察目标】考察学生对空间结合体的结构特征，考察考生空间想象能力。【解题思路】 过圆心做一个平面和三条线相交于三点M，N，K，则P-MNK构成了一个正四面体。设PM=a,则，在中，运用面积法，可得,故，故，故【答案】B12. 【考察目标】考察学生运用函数的图像分析函数图像和性质的能力，考察数形结合的能力。【解题思路】解：的图象为椭圆上半部分，的图象为两条线段根据的周期T=4可知其图象，由方程恰有5个实数解，则有两解 即 有两解，所以解得； 无解即无解，所以解得。故【答案】B13.【考察目标】考察二倍角公式，同角基本关系式，考查恒等变形的能力【解答过程】=【答案】14.【考察目标】本试题主要考查了线性规划的最优解问题的运用。【解题思路】根据已知线性约束条件可知，不等式组表示的平面区域为下图所示，线性目标函数，那么过点（1,1）取得最大值为10，因此只要满足且；因此可以为 。【答案】（若为线性目标函数，只要满足且15.【考察目标】考察考察简单组合体的结构特征，考察三视图的概念和识别三视图所表示的结合体的方法，考察学生空间想象能力。【解答过程】由三视图可知原图是一个四棱锥。【答案】16.【考察目标】考察等差数列概念，通项公式，前n项和公式，考察错位想减求和。【解题思路】 解法1：运用线性规划的知识可得整数点，解法2：运用不等式的知识可得，解法3：猜测也可以【答案】17.解（）由分组内的频数是，频率是知，所以. 1分因为频数之和为，所以，. 2分. 3分因为是对应分组的频率与组距的商，所以.4分（）因为该校高三学生有240人，分组内的频率是，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为人. 6分（）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有人，设在区间内的人为，在区间内的人为. 则任选人共有，15种情况， 而两人都在内只能是一种， 8分所以所求概率为.（约为） 10分18. 解： 又为锐角 5分 （2） ， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列。 可得， 9分 12分19.【方法一】（1）证明：由题意知 则（4分）（2），又平面.平面平面.过作/交于过点作交于,则为直线与平面所成的角. 在Rt中，.即直线与平面所成角为（8分）（3）连结，平面.又平面，平面平面，.又，即（12分）【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF/AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（1）设，则， （4分）（2）由（1）知.由条件知A（1，0，0），B（1，0），.设则即直线为.（8分）（3）由（2）知C（3，0），记P（0，0，a），则，而，所以，=设为平面PAB的法向量，则，即，即. 进而得， 由,得（12分） 20. 解：（）解法1：由抛物线方程，得焦点，1分故 又椭圆经过点， 由消去并整理，得，解得，或（舍去），从而 故椭圆的方程为 4分 解法2：由抛物线方程，得焦点， 故椭圆的方程为 4分 , 所以， 8分由 得 显然，该方程有两个不等的实数根设，. , 由抛物线的定义，得 10分综上，当直线l垂直于轴时，取得最大值. 12分21. 解：（），椭圆方程为2分准圆方程为。 3分（）当中有一条无斜率时，不妨设无斜率，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为，当方程为时，此时与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是（或），即为（或），显然直线垂直；同理可证方程为时，直线垂直. 6分当都有斜率时，设点，其中.设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为，则消去，得.由化简整理得：.8分因为，所以有.设的斜率分别为，因为与椭圆只有一个公共点，所以满足上述方程，所以，即垂直. 10分综合知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直，所以线段为准圆的直径，所以=4. 12分 22.所以， 当时，取得最大值，所以8分(3)因为方程有唯一实数解，因为，所以方程（*）的解为，即，解得12分14