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《圆与方程》元测试题及答案1
《圆与方程》元测试题及答案1

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第四章单元测试题
(时间：120分钟　总分:150分)
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1．已知两圆的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是(　　）
A．相离　　　　　　　　　 B．相交
C．外切 D．内切
2．过点（2,1）的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为(　　）
A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0
3．若直线(1＋a）x＋y＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切,则a的值为(　　)
A．1，－1 B．2，－2
C．1 D．－1
4．经过圆x2＋y2＝10上一点M(2，）的切线方程是(　　)
A．x＋y－10＝0 B。x－2y＋10＝0
C．x－y＋10＝0 D．2x＋y－10＝0
5．点M（3，－3,1)关于xOz平面的对称点是（　　）
A．(－3，3,－1） B．(－3,－3，－1）
C．（3,－3,－1) D．(3，3,1）
6．若点A是点B(1,2，3）关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5）关于y轴对称的点，则|AC｜＝（　　）
A．5 B.
C．10 D。
7．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标原点）,则k的值为(　　)
A。 B.
C。或－ D.和－
8．与圆O1:x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圆O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直线条数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
9．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直,则直线l的方程是(　　）
A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
10．圆x2＋y2－（4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆的面积为(　　)
A．9π B．π
C．2π D．由m的值而定
11．当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3，0）的连结线段PQ的中点的轨迹方程是(　　）
A．（x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3）2＋y2＝1
C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3）2＋4y2＝1
12．曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是(　　）
A．(0，) B．(，＋∞）
C．(，] D．（,]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分,把答案填在题中横线上)
13．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最小值为____________．
14．圆心为（1,1）且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．
15．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆,①关于直线y＝x对称;②关于直线x＋y＝0对称；③其圆心在x轴上，且过原点;④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的是__________．
16．直线x＋2y＝0被曲线x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）自A（4,0）引圆x2＋y2＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程．

18．(12分）已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N:x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．

19．（12分)已知圆C1：x2＋y2－3x－3y＋3＝0，圆C2：x2＋y2－2x－2y＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长．

20．(12分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线,切点为M，O为坐标原点，且有｜PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．

21．（12分）已知⊙C:(x－3)2＋（y－4）2＝1，点A(－1,0)，B（1,0)，点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋｜PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．

22．(12分)已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10）y＋10k＋20＝0,其中k≠－1.
(1）求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上;
（2)证明曲线C过定点；
（3)若曲线C与x轴相切，求k的值．

答案：
1. 解析：将圆x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化为标准方程得(x－3)2＋（y－4)2＝16。∴两圆的圆心距＝5,又r1＋r2＝5，∴两圆外切．答案:C
2.解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，－2）,由直线的两点式方程得＝，即3x－y－5＝0.答案:A
3。解析:圆x2＋y2－2x＝0的圆心C(1,0），半径为1,依题意得＝1,即｜a＋2|＝，平方整理得a＝－1.答案：D
4.解析:∵点M(2，）在圆x2＋y2＝10上，kOM＝，∴过点M的切线的斜率为k＝－,
故切线方程为y－＝－(x－2），即2x＋y－10＝0。答案：D
5.解析：点M（3，－3，1)关于xOz平面的对称点是（3，3，1）．答案:D
6。解析：依题意得点A(1，－2,－3)，C(－2，－2，－5）．∴|AC｜＝＝。答案:B
7。解析：由题意知，圆心O（0,0）到直线y＝kx＋1的距离为，∴＝,∴k＝±。
答案:C
8.解析：两圆的方程配方得,O1：(x＋2)2＋（y－2）2＝1，O2:(x－2)2＋（y－5)2＝16，
圆心O1（－2,2），O2（2，5),半径r1＝1,r2＝4，∴｜O1O2｜＝＝5，r1＋r2＝5。∴|O1O2|＝r1＋r2,∴两圆外切,故有3条公切线．答案：B
9。解析：依题意知，直线l过圆心(1，2），斜率k＝2,∴l的方程为y－2＝2（x－1)，即2x－y＝0.答案：A
10。解析:∵x2＋y2－（4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0，∴［x－（2m＋1）］2＋(y－m）2＝m2。
∴圆心（2m＋1,m)，半径r＝|m|.依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.∴圆的面积S＝π×12＝π。答案：B
11。解析：设P(x1,y1)，Q(3,0）,设线段PQ中点M的坐标为（x，y），则x＝，y＝，∴x1＝2x－3，y1＝2y.又点P（x1，y1）在圆x2＋y2＝1上，∴（2x－3）2＋4y2＝1.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.答案：C
12.解析：如图所示，曲线y＝1＋

变形为x2＋(y－1）2＝4（y≥1)，直线y＝k(x－2）＋4过定点(2,4）,当直线l与半圆相切时，有＝2,解得k＝。
当直线l过点(－2，1）时，k＝。因此，k的取值范围是<k≤。答案：D
13.解析：圆心(0，0）到直线3x＋4y－25＝0的距离为5，∴所求的最小值为4。答案:4
14。解析：r＝＝，所以圆的方程为（x－1）2＋(y－1）2＝2。
答案：（x－1)2＋(y－1）2＝2
15。解析:已知方程配方得，(x＋a）2＋(y－a)2＝2a2（a≠0），圆心坐标为（－a，a）,它在直线x＋y＝0上,∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．
答案：②
16。解析：由x2＋y2－6x－2y－15＝0,
得（x－3)2＋（y－1)2＝25.
圆心（3,1）到直线x＋2y＝0的距离d＝＝.在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中，由勾股定理得,弦长＝2×＝4.
答案：4
17。解：解法1：连接OP,则OP⊥BC，设P（x，y）,当x≠0时,kOP·kAP＝－1，即·＝－1，
即x2＋y2－4x＝0①
当x＝0时，P点坐标为(0，0）是方程①的解,
∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0（在已知圆内)．
解法2:由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M（2,0)，|PM|＝｜OA|＝2，由圆的定义知，P点轨迹方程是以M（2，0)为圆心,2为半径的圆．
故所求的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝4(在已知圆内)．
18。解：由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M（m，－2）,N(－1，－1)．
两圆的方程相减得直线AB的方程为
2（m＋1）x－2y－m2－1＝0.
∵A，B两点平分圆N的圆周，
∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1），
∴2（m＋1）×（－1)－2×（－1)－m2－1＝0，
解得m＝－1。
故圆M的圆心M（－1,－2）．
19.解：设两圆的交点为A（x1,y1），B（x2，y2)，则A、B两点的坐标是方程组的解，两方程相减得：x＋y－3＝0，
∵A、B两点的坐标都满足该方程,
∴x＋y－3＝0为所求．
将圆C2的方程化为标准形式，
(x－1)2＋(y－1）2＝2,
∴圆心C2(1,1），半径r＝.
圆心C2到直线AB的距离d＝＝,
|AB|＝2＝2＝。
即两圆的公共弦长为.
20.解：如图：PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△PMC为直角三角形，∴｜PM｜2＝｜PC｜2－｜MC|2.

设P（x，y），C（－1，2）,|MC|＝.
∵｜PM|＝｜PO|，
∴x2＋y2＝（x＋1)2＋(y－2)2－2，
化简得点P的轨迹方程为:2x－4y＋3＝0.
求|PM|的最小值，即求｜PO|的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入点到直线的距离公式可求得｜PM｜最小值为.
21.解:设点P的坐标为（x0，y0)，则
d＝(x0＋1）2＋y02＋（x0－1)2＋y02＝2(x02＋y02)＋2.
欲求d的最大、最小值，只需求u＝x02＋y02的最大、最小值，即求⊙C上的点到原点距离的平方的最大、最小值．
作直线OC,设其交⊙C于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
如图所示．

则u最小值＝|OP1｜2＝(|OC|－|P1C｜)2＝（5－1）2＝16.
此时，＝＝，
∴x1＝，y1＝。
∴d的最小值为34，对应点P1的坐标为。
同理可得d的最大值为74，对应点P2的坐标为。
22。解:(1)证明：原方程可化为(x＋k）2＋(y＋2k＋5）2＝5(k＋1）2
∵k≠－1,∴5（k＋1）2>0。
故方程表示圆心为(－k，－2k－5），半径为|k＋1|的圆．
设圆心的坐标为(x，y），则
消去k,得2x－y－5＝0.
∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上．
(2）证明:将原方程变形为
（2x＋4y＋10）k＋（x2＋y2＋10y＋20）＝0，
∵上式对于任意k≠－1恒成立，
∴
解得
∴曲线C过定点（1，－3）．
(3）∵圆C与x轴相切，
∴圆心(－k，－2k－5）到x轴的距离等于半径,
即|－2k－5｜＝｜k＋1｜。
两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2，
∴k＝5±3.