常微分方程习题及答案.[1].doc

第十二章 常微分方程
(A)
一、是非题
1．任意微分方程都有通解。( )
2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( )
3．函数是微分方程的解。( )
4．函数是微分方程的解。( )
5．微分方程的通解是 (为任意常数)。( )
6．是一阶线性微分方程。( )
7．不是一阶线性微分方程。( )
8．的特征方程为。( )
9．是可分离变量的微分方程。( )
二、填空题
1．在横线上填上方程的名称
①是 。
②是 。
③是 。
④是 。
⑤是 。
2．的通解中应含 个独立常数。
3．的通解是 。
4．的通解是 。
5．是 阶微分方程。
6．微分方程是 阶微分方程。
7．所满足的微分方程是 。
8．的通解为 。
9．的通解为 。
10．，其对应的齐次方程的通解为 。
11．方程的通解为 。
12．3阶微分方程的通解为 。
三、选择题
1．微分方程的阶数是( )。
A．3 B．4 C．5 D． 2
2．微分方程的通解中应含的独立常数的个数为( )。
A．3 B．5 C．4 D． 2
3．下列函数中，哪个是微分方程的解( )。
A． B． C． D．
4．微分方程的一个特解是( )。
A． B． C． D．
5．函数是下列哪个微分方程的解( )。
A． B． C． D．
6．是方程的( )，其中，为任意常数。
A．通解 B．特解 C．是方程所有的解 D． 上述都不对
7．满足的特解是( )。
A． B． C． D．
8．微分方程的一个特解具有形式( )。
A． B．
C． D．
9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
A． B．
C． D．
10．微分方程满足初始条件的特解为( )。
A． B． C． D．
11．在下列函数中，能够是微分方程的解的函数是( )。
A． B． C． D．
12．过点且切线斜率为的曲线方程应满足的关系是( )。
A． B． C．， D． ，
13．下列微分方程中，可分离变量的是( )。
A． B．(,,是常数)
C． D．
14．方程的通解是( )。
A． B． C． D．
15．微分方程满足的特解是( )。
A． B． C． D．
16．微分方程的通解是( )。
A． B． C． D．
17．微分方程的解为( )。
A． B． C． D．
18．下列函数中，为微分方程的通解是( )。
A． B． C． D．
19．微分方程的通解为( )。
A． B． C． D．
20．微分方程的通解是( )。
A． B．
C． D．
21．的通解为( )。
A． B． C． D．
22．按照微分方程通解定义，的通解是( )。
A． B．
C． D．
四、解答题
1．验证函数(为任意常数)是方程的通解，并求出满足初始条件的特解。
2．求微分方程的通解和特解。
解：，
3．求微分方程的通解。
解：。
4．求微分方程的特解。
解：。
5．求微分方程的通解。
解：
6．求微分方程的通解。
解：
7．求微分方程的特解。
解：
8．求微分方程满足初始条件，，的特解。
解：
9．求微分方程满足初始条件，，的特解。
解：或
10．验证二元方程所确定的函数为微分方程的解。

11．求微分方程的通解。
解：
12．求，的特解。
解：
13．验证，都是的解，并写出该方程的通解。

14．求微分方程的通解。
解：
15．求微分方程满足初始条件的特解。
解：
16．求微分方程的通解。
解：
17．求微分方程满足条件的特解。
解：
18．求微分方程的通解。
解：
19．求微分方程的通解。
解：
20．求微分方程的通解。
解：
21．试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线。
解：
(B)
一、是非题
1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( )
2．若，都是的特解，且与线性无关，则通解可表为。( )
3．函数是微分方程的解。( )
4．曲线在点处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是(是任意常数)。( )
5．微分方程，满足初始条件的特解为。( )
二、填空题
1．与是方程的两个解，则该方程的通解为 。
2．微分方程的通解为 。
3．微分方程的通解为  。
4．微分方程的通解是 。
5．微分方程的通解是 。
6．微分方程的通解是 。
三、选择题
1．微分方程的两个线性无关解是( )。
A．与 B．与 C．与 D． 与
2．下列方程中，不是全微分方程的为( )。
A． B．
C． D．
3．下列函数中，哪个函数是微分方程的解( )。
A． B． C． D．
4．下列函数中，是微分方程的解( )。
A． B． C． D．
5．方程的通解是( )。
A． B． C． D．
6．微分方程满足的特解是( )。
A． B．
C． D．
7．微分方程的通解是( )。
A． B．
C． D．
8．微分方程的通解是( )。
A． B．
C． D．
9．方程的通解是( )。
A． B． C． D．
四、解答题
1．求微分方程的通解。
解：
2．求微分方程的通解。
解：
3．求微分方程的通解。
解：
(C)
一、是非题
1．只要给出阶线性微分方程的个特解，就能写出其通解。
2．已知二阶线性齐次方程的一个非零解，即可求出它的通解。( )
二、填空题
1．微分方程的通解是 。
2．已知，，某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
3．微分方程的通解为 。
三、选择题
1．微分方程的通解为( )。
A． B． C． D．
2．微分方程的通解是( )。
A． B． C． D．
3．的解是( )。
A． B． C． D．
4．微分方程的通解为( )。
A． B． C． D．
5．已知微分方程的一个特解为，则此微分方程的通解是( )。
A． B．
C． D．
6．微分方程的一个特解应具有形式(式中，为常数)( )。
A． B． C． D．
四、解答题
1．设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解。
解：代入到方程中，得
原方程为
，
∵， ∴。
。
2．已知，，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
解：，均是齐次方程的解且线性无关。
是齐次方程的通解。当，时，齐次方程的特解为
、都是齐次方程的解且线性无关。
∴是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1，2，故特征方程。
相应的齐次方程为
故所求的二阶非齐方程为

是非齐次方程的特解代入上式得

所以为所求的微分方程。
3．已知，试确定，使为全微分方程，并求此全微分方程的通解。
解：，，由得
，即
∴
∵，∴，
得全微分方程：
解得。
故此全微分方程的通解为。

第十二章 微分方程
(A)
一、是非题
1．×；2．×；3． √；4．×；5．√；6．×；7．×；8．√；9．√。
二、填空题
1．在横线上填上方程的名称
①可分离变量微分方程；②可分离变量微分方程；③齐次方程；
④一阶线性微分方程；⑤二阶常系数齐次线性微分方程。
2．3；3．； 4．5．3；
6．2；7． ；8．； 9．；
10．； 11．；12．。
三、选择题
1．D； 2．A；3．B； 4．B；5．C；6．A；7．B；8．C；9．A；10．A；11．C；12．C；13．B；14．C；15．A；16．B；17．B；18．B；19．A；20．D；21．C；
22．A．
四、解答题
1．验证函数(为任意常数)是方程的通解，并求出满足初始条件的特解。
2．求微分方程的通解和特解。
解：，。
3．求微分方程的通解。
解：。
4．求微分方程的特解。
解：。
5．求微分方程的通解。
解：。
6．求微分方程的通解。
解：。
7．求微分方程的特解。
解：。
8．求微分方程满足初始条件，，的特解。
解：。
9．求微分方程满足初始条件，，的特解。
解：或。
10．验证二元方程所确定的函数为微分方程的解。
解：略。
11．求微分方程的通解。
解：。
12．求，的特解。
解：。
13．验证，都是的解，并写出该方程的通解。
解：略。
14．求微分方程的通解。
解：。
15．求微分方程满足初始条件的特解。
解：。
16．求微分方程的通解。
解：。
17．求微分方程满足条件的特解。
解：。
18．求微分方程的通解。
解：。
19．求微分方程的通解。
解：。
20．求微分方程的通解。
解：。
21．试求的经过点且在此点与直线相切的积分曲线。
解：。
(B)
一、是非题
1．×；2．√；3．√；4．×；5．×。
二、填空题
1．； 2． ；3．；
4．；5． 6．
三、选择题
1．C；2．C；3．C；4．C；5．D；6．A；7．A；8．C；9．A．
四、解答题
1．求微分方程的通解。
解：。
2．求微分方程的通解。
解：。
3．求微分方程的通解。
解：。
(C)
一、是非题
1．×；2．√；
二、填空题
1．； 2． ；
3．
三、选择题
1．B；2．C；3．A；4．A；5．D；6．D．
四、解答题
1．设是微分方程的一个解，求此微分方程满足条件的特解。
解：代入到方程中，得
原方程为
，
∵， ∴。
。
2．已知，，是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
解：，均是齐次方程的解且线性无关。
是齐次方程的通解。当，时，齐次方程的特解为
、都是齐次方程的解且线性无关。
∴是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1，2，故特征方程。
相应的齐次方程为
故所求的二阶非齐方程为

是非齐次方程的特解代入上式得

所以为所求的微分方程。
3．已知，试确定，使为全微分方程，并求此全微分方程的通解。
解：，，由得
，即
∴
∵，∴，
得全微分方程：
解得。
故此全微分方程的通解为。

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