解三角形问题及其简单应用易错笔记.doc
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1、 第十七讲 解三角形问题及其简单应用291.解三角形问题中三角形解的个数原因探究 1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形 1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解 1.3 由产生的漏解现象2.解三角形出现增解的应对策略 2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定2.2根据两角正弦值大小剔除增解2.3 根据三角函数值的范围剔除增解3几何法判断三角形解的个数3.1画图观察直观判断三角形解的个数3.2 根据三角形解的个数求字母参数范围4.三角形形状的判定4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角4.2化边为角判定三角形形状4.3化角为边判断判定三角形形状5.三角形中的取值范围与最值问题5.1三
2、角形形状隐含角的范围5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用5.3利用余弦定理、基本不等式求最值5.4化归为三角函数的最值与值域问题6. 三角形中几种常见的变换方法6.1 两角和与第三角的三角函数关系6.2 不能遗忘的“切化弦”7.常见的解三角形实例7.1距离的测量问题7.2高度的测量问题7.3角度的测量问题7.4是否进入某区域问题7.5与最值有关的实际应用问题1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形【典例】在,角所对的边分别为,且.(1)若,则 _;(2)若,则 _【变式1】在中,角所对的边分别为,已知,则= .【变式2】已知在中,角所对的边
3、分别为, 试判断符合条件的有多少个?1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解【典例1】在中,求的面积.【变式1】若的面积为,且,则等于 【变式2】中,角所对的边分别为,且,的面积为,求与的值.【变式3】已知,是的内角,且,求的大小.【变式4】在中,角所对的边分别为, (1)求角; (2)若,的面积为,求.【典例2】在中,角所对的边分别为,如果有性质,试问这个三角形的形状具有什么特点?【变式1】在中,角所对的边分别为,已知,判断的形状.【变式2】在中,角所对的边分别为,已知,判断的形状. 【变式3】在中,内角所对的边分别为.已知,求角的大小1.3 由产生的漏解现象【典例】在中,角所对的边分别是,已
4、知.若,求ABC的面积.【变式1】若是三角形的内角,则可能为0,但 在ABC中,已知角.若,求角的大小.【变式3】等式两边乘以或除以同一个不为零的数,等式仍然成立在中,角所对的边分别为,已知,判断的形状.2.解三角形出现增解的应对策略2.1 已知两边及大边对角的三角形唯一确定【典例】在中,角所对的边分别为,若,,则角的大小为 .【变式1】三角形中大边对大角,非最大边所对的角一定是锐角在中,角所对的边分别为,已知,则边长等于() A. B. C. D.【变式2】在中,角所对的边分别为,已知,则 【变式3】已知在中,则的面积为_.【变式4】在中,角所对的边分别为,若,则角_.【变式5】在中,角所对
5、的边分别为,若角依次成等差数列,且,则角 .【变式6】在中,已知.求的值.2.2根据两角正弦值大小剔除增解【典例】在中,则的值为_.【变式1】在中,求证:.【变式2】在中,若,则的值为 【变式3】在中,则的值为_. 2.3 根据三角函数值的范围剔除增解【典例】在中,角所对的边分别为,则满足此条件的三角形有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【变式1】钝角的面积是, ,则( )A5 B. C2 D1【变式2】借助余弦函数的单调性,缩小角的范围,避免讨论已知在中,角所对的边分别为, 为锐角,且,则的值为 【变式3】根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件,合理舍去增解在中,
6、已知,则角 .3几何法判断三角形解的个数3.1画图观察直观判断三角形解的个数【典例】已知在中,角所对的边分别为, 试判断符合条件的有多少个?【变式1】已知在中,角所对的边分别为,不解三角形,则下列判断正确的 (1)有两个解;(2)有一个解;(3)有一解;(4)无解.【变式2】已知在中,角所对的边分别为,根据下列条件解三角形:30,14,7;60,10,9那么,下面判断正确的是( )A只有一解,也只有一解B有两解,也有两解C有两解,只有一解D只有一解,有两解【变式3】在中,角所对的边分别为,若,则此三角形有() A无解 B两解 C一解 D解的个数不确定【变式4】在中,角所对的边分别为,已知,则满
7、足此条件的三角形的个数是几个?3.2 根据三角形解的个数确定字母参数的范围【典例】如果满足,的三角形ABC恰好有一个解,那么实数的取值范围是 【变式1】在中,角所对的边分别为,已知,此三角形有解,则角的取值范围是 .【变式2】若满足条件,的有两个,则边长的取值范围是 .【变式3】在中,角所对的边分别是,已知,且此三角形只有一个解,则边长的取值范围是 .4.三角形形状的判定4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角【典例】在中,角所对的边分别为,用余弦定理证明:当角C为钝角时,;当角C为锐角时,.【变式1】在中,若,则的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【变式2】在
8、中,若,则的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定【变式3】在中,角所对的边分别为,若三边满足,则的形状是( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定4.2化边为角判定三角形形状【典例】在中,角所对的边分别为,已知,判定的形状.【变式1】在中,角所对的边分别为,已知,判定的形状.【变式2】在中,已知,判定的形状.【变式3】在中,角所对的边分别为,已知,判定的形状.【变式4】在中,角所对的边分别为,已知,判定的形状.【变式5】在中,角所对的边分别为,已知,判定的形状.4.3化角为边判断判定三角形形状【典例1】在中,角所对的边分别为,已知,判断的形状.【
9、变式1】在中,若,则的形状一定是()A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形【变式2】在中,角所对的边分别为,若,试判断的形状【典例2】在ABC中,若 ,试判定ABC的形状.【变式1】在ABC中,若,则ABC的形状 .【变式2】在ABC中,若,则ABC的形状如何? 5.三角形中的取值范围与最值问题5.1三角形形状隐含角的范围【典例】设锐角三角形的内角的对边分别为,且,求的取值范围【变式1】在锐角中,则的取值范围是 .【变式2】锐角的内角的对边分别为, 设,则的取值范围是 .【变式3】钝角三角形的三个内角成等差数列,且最大边与最小边之比为,则的取值范围是 .【变式4】在
10、锐角中,则的值等于 ,的取值范围为 . 【变式5】锐角ABC满足不等式同时成立锐角中,若,则的取值范围是 .5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用【典例】在锐角中,角所对的边分别为,边长,则边长的取值范围是 .【评注】为锐角三角形同时成立,且三角形两边之和大于第三边;若是钝角,则且.【变式1】锐角的边长分别为,3,1,则的取值范围是 .【变式2】在钝角中,三边长分别为4,5,则实数的取值范围为_.5.3利用余弦定理、基本不等式求最值【典例1】若的内角A、B、C满足,则的最小值是 . 【评注】现将等式中角应用正余弦定理化为边,化简整理后,再应用基本不等式求最值。同时要注意取等的条件,即取最值的
11、条件。 【变式1】在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【变式2】利用,求角的取值范围在ABC中,角所对边长分别为,,则角的取值范围是 .【变式3】在ABC中,角所对边长分别为,若a、c、b成等差,则角C的取值范围是 .【变式4】在ABC中,角所对边长分别为,若a、c、b成等比,则角C的取值范围是 .【变式5】利用,求边长的最小值在中,角所对边长分别为,若的面积为,则边的最小值为 【变式6】利用,求周长的最小值 已知分别是的三个内角的对边,. (I)求角的大小;(II)若的面积,求周长的最小值【典例2】已知分别为三个内角的对边,且,则面积的最大值为_【评注】最
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