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第十七讲 解三角形问题及其简单应用

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1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究
1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形
1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解
1.3 由产生的漏解现象
2.解三角形出现增解的应对策略
2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定
2.2根据两角正弦值大小剔除增解
2.3 根据三角函数值的范围剔除增解
3．几何法判断三角形解的个数
3.1画图观察直观判断三角形解的个数
3.2 根据三角形解的个数求字母参数范围
4.三角形形状的判定
4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角
4.2化边为角判定三角形形状
4.3化角为边判断判定三角形形状
5.三角形中的取值范围与最值问题
5.1三角形形状隐含角的范围
5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用
5.3利用余弦定理、基本不等式求最值
5.4化归为三角函数的最值与值域问题
6. 三角形中几种常见的变换方法
6.1 两角和与第三角的三角函数关系
6.2 不能遗忘的“切化弦”
7.常见的解三角形实例
7.1距离的测量问题
7.2高度的测量问题
7.3角度的测量问题
7.4是否进入某区域问题
7.5与最值有关的实际应用问题

1.解三角形问题中三角形解的个数原因探究
1.1 为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形
【典例】在，角所对的边分别为，且.
（1）若，则 _______；(2)若，则 _______．

【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，则= .

【变式2】已知在中，角所对的边分别为，， 试判断符合条件的有多少个？

1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解
【典例1】在中，，求的面积.

【变式1】若的面积为，且，则等于 ．

【变式2】中，角所对的边分别为，且，的面积为，求与的值.

【变式3】已知，是的内角，且，求的大小.

【变式4】在中，角所对的边分别为，
(1)求角； (2)若，的面积为，求.

【典例2】在中，角所对的边分别为，如果有性质,试问这个三角形的形状具有什么特点？

【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.

【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.

【变式3】在中，内角所对的边分别为.已知，．求角的大小．

1.3 由产生的漏解现象
【典例】在中，角所对的边分别是，已知.若，求△ABC的面积.

【变式1】若是三角形的内角，则可能为0，但
在△ABC中，已知角.若，求角的大小.

【变式3】等式两边乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立
在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.

2.解三角形出现增解的应对策略
2.1 已知两边及大边对角的三角形唯一确定
【典例】在中，角所对的边分别为，若，,,则角的大小为 .

【变式1】三角形中大边对大角，非最大边所对的角一定是锐角
在中，角所对的边分别为，已知，则边长等于（　　）
　 A. B. C. D.

【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，，，则 ．

【变式3】已知在中，，则的面积为___________.

【变式4】在中，角所对的边分别为，若，则角______.

【变式5】在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，，则角 .

【变式6】在中，已知.求的值.

2.2根据两角正弦值大小剔除增解
【典例】在中，，，则的值为___________.

【变式1】在中，求证：.

【变式2】在中，若，，则的值为 ．

【变式3】在中，，，则的值为___________.

2.3 根据三角函数值的范围剔除增解
【典例】在中，角所对的边分别为，，，，则满足此条件的三角形有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

【变式1】钝角的面积是，， ，则( )
A．5 　　B. 　　C．2 　　　D．1

【变式2】借助余弦函数的单调性，缩小角的范围，避免讨论
已知在中，角所对的边分别为， 为锐角，且，，则的值为 ．

【变式3】根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件，合理舍去增解
在中，已知，则角 .

3．几何法判断三角形解的个数
3.1画图观察直观判断三角形解的个数
【典例】已知在中，角所对的边分别为，， 试判断符合条件的有多少个？

【变式1】已知在中，角所对的边分别为，不解三角形，则下列判断正确的
（1）有两个解；
（2）有一个解；
（3）有一解；
（4）无解.

【变式2】已知在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形：
①＝30°，＝14，＝7；②＝60°，＝10，＝9．那么，下面判断正确的是( )
A．①只有一解，②也只有一解． B．①有两解，②也有两解．
C．①有两解，②只有一解． D．①只有一解，②有两解．

【变式3】在中，角所对的边分别为，若，则此三角形有(　　)
A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定

【变式4】在中，角所对的边分别为，已知，则满足此条件的三角形的个数是几个？

3.2 根据三角形解的个数确定字母参数的范围
【典例】如果满足，的三角形ABC恰好有一个解，那么实数的取值范围是

【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，此三角形有解，则角的取值范围是 .

【变式2】若满足条件，，的有两个，则边长的取值范围是 .

【变式3】在中，角所对的边分别是，已知，且此三角形只有一个解，则边长的取值范围是 .

4.三角形形状的判定
4.1 利用余弦定理判断锐角、直角、钝角
【典例】在中，角所对的边分别为，用余弦定理证明：当角C为钝角时，；当角C为锐角时，.

【变式1】在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

【变式2】在中，若，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

【变式3】在中，角所对的边分别为，若三边满足，则的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定

4.2化边为角判定三角形形状
【典例】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.

【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.

【变式2】在中，已知，判定的形状.

【变式3】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.

【变式4】在中，角所对的边分别为，已知，，判定的形状.

【变式5】在中，角所对的边分别为，已知，，判定的形状.

4.3化角为边判断判定三角形形状
【典例1】在中，角所对的边分别为，已知，，判断的形状.

【变式1】在中，若，则的形状一定是（　　）
　A.等腰直角三角形　 　 B.直角三角形 C.等腰三角形　　　 D.等边三角形

【变式2】在中，角所对的边分别为，若，，试判断的形状．

【典例2】在△ABC中，若 ，试判定△ABC的形状.

【变式1】在△ABC中，若，则△ABC的形状 .

【变式2】在△ABC中，若，则△ABC的形状如何？

5.三角形中的取值范围与最值问题
5.1三角形形状隐含角的范围
【典例】设锐角三角形的内角的对边分别为，且，求的取值范围．

【变式1】在锐角中，，，则的取值范围是 .

【变式2】锐角的内角的对边分别为， 设，则的取值范围是 .

【变式3】钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则的取值范围是 .

【变式4】在锐角中，则的值等于 ，的取值范围为 .

【变式5】锐角△ABC满足不等式同时成立
锐角中，若，则的取值范围是 .

5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用
【典例】在锐角中，角所对的边分别为，边长，则边长的取值范围是 .

【评注】为锐角三角形同时成立，且三角形两边之和大于第三边；若是钝角，则且.
【变式1】锐角的边长分别为，3，1，则的取值范围是 .

【变式2】在钝角中，三边长分别为4,5，，则实数的取值范围为_______________.

5.3利用余弦定理、基本不等式求最值
【典例1】若的内角A、B、C满足，则的最小值是 .

【评注】现将等式中角应用正余弦定理化为边，化简整理后，再应用基本不等式求最值。同时要注意取等的条件，即取最值的条件。
【变式1】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.

【变式2】利用，求角的取值范围
在△ABC中，角所对边长分别为，,则角的取值范围是 .

【变式3】在△ABC中，角所对边长分别为，若a、c、b成等差，则角C的取值范围是 .

【变式4】在△ABC中，角所对边长分别为，若a、c、b成等比，则角C的取值范围是 .

【变式5】利用，求边长的最小值
在△中，角所对边长分别为，，若△的面积为，则边的最小值为 ．

【变式6】利用，，求周长的最小值
已知分别是的三个内角的对边，.
（I）求角的大小；（II）若的面积，求周长的最小值．

【典例2】已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为_________．

【评注】最值问题经常利用的不等式：，，.
【变式1】利用余弦定理结合求周长的最大值
已知分别为三个内角的对边，，，则周长的最大值为_______．

【变式2】利用，结合余弦定理求面积的最大值
在锐角中，角的对边分别为,已知, ，且.
（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．

【变式3】已知内接于单位圆(半径为1个单位长度的圆),且.
(1)求角的大小; (2)求面积的最大值.

【变式4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（Ⅰ）证明：a+b=2c; （Ⅱ）求cosC的最小值.

【变式5】已知分别是的三个内角的对边，且
(I)求角B的大小；(II)若，求b的取值范围．

5.4化归为三角函数的最值与值域问题
【典例】在中，，则的最大值为________ .

【评注】在中， 根据（为外接圆半径），可将边长转化为三角形内角的正弦值，进而转化为某一个角的三角函数的最值或值域问题.
【变式1】在ABC中，. （1）求的大小；（2）求 的最大值.

【变式2】设的内角所对的边分别为，且
（1）求角B的大小； （2）若，求的周长的取值范围。

【变式3】如图，在等腰直角中，，，点在线段上．
(1)若，求的长；
(2)若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．

6. 三角形中几种常见的变换方法
6.1 两角和与第三角的三角函数关系
【典例】在中，角所对应的边分别为.已知，，求角C.

【评注】在中，，所以有；；.
【变式1】在中，角所对应的边分别为.若,,，则（ ）
（A）4 （B） （C）3 （D）

【变式2】在中，角所对应的边分别为.已知，则的值为 .

【变式3】在中，角所对应的边分别为.若，则之间的关系可用等式表示为 ．

【变式4】在中，角所对应的边分别为.已知，，求B.

【变式5】已知是三角形三内角，向量，且，若，求的值.

【变式6】在中，已知．(1)求证：；(2)若求A的值．

【变式7】已知的内角，面积满足所对的边，求证： 。

【变式8】在锐角三角形中，若，则的最小值是 .

6.2 不能遗忘的“切化弦”
【典例】已知锐角中，角所对应的边分别为.且，则角B的大小为_________．

【评注】在三角函数部分切弦互化是很容易想到，在解三角形问题中，遇到切也要考虑是否需要采用“切化弦”.
【变式1】在中，已知，则 ．

【变式2】在锐角中，角所对应的边分别为.，则　 .

【变式3】 在中，角所对的边分别为，若，且，则该三角形的面积的最大值为 .

7.常见的解三角形实例
7.1距离的测量问题
【典例】在相距2千米的两点处测量目标点C（无法到达），若，，则两点之间的距离为________千米．

【评注】(1)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线（如本题中的线段AB）．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
(2)解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．
【变式1】如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/h.

【变式2】要测量对岸两点之间的距离，选取相距 km的两点，并测得，求之间的距离．

7.2高度的测量问题
【典例1】如图所示，为测一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且两点间的距离为60m，则树的高度为________m.

【评注】仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)．

【变式1】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）

【变式2】某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m.

【变式3】在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在水平地面上前进900 m后测得仰角为，继续在水平地面上前进300 m后，测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为________m.

【变式4】如图，在湖面上高为10 m的处测得天空中一朵云C的仰角为30°，测得云C在湖中之影D的俯角为45°，则云C距湖面的高度为________m.

【典例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m.

【评注】方向角：从东、西、南、北的某一方向开始最小角旋转到另一方向时所转的角度．如西偏北75°，就是从西开始旋转到正北，转过的角度为75°．
方位角：从测者所站位置逆时针旋转到正北方向时所转的最小角．
【变式1】要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择两观测点，在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔底部与地连线及两地连线所成的角为120°，两地相距500 m，则电视塔的高度是(　　)

A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m

【变式2】如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.测得＝，＝，＝30m，并在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高＝ m.

【变式3】如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高m，则山高＝ m.

【变式4】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得北侧远处一山顶在西偏北的方向上，仰角为，行驶4km后到达处，测得山顶在西偏北的方向上.
（Ⅰ）求山的高度；
（Ⅱ）设汽车行驶过程中，仰望山顶的最大仰角为，求.

【变式5】如图，跳伞塔高4，在塔顶测得地面上两点的俯角分别是，又测得,求两地的距离.

7.3角度的测量问题
【典例】甲船点发现乙船在北偏东60°的处，乙船以每小时海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？

【评注】追及问题常用正余弦定理求解．
【变式1】两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东40°，灯塔在观察站南偏东60°，则灯塔在灯塔的( )
A. 北偏东10° B.北偏西10° C. 南偏东10° D.南偏西10°

【变式2】如图，两座相距60 m的建筑物的高度分别为20m，50m，为水平面，则从建筑物的顶端看建筑物的张角为________．

【变式3】如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，求的值．

【变式4】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度直线航行前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．

7.4是否进入某区域问题
【典例】海滨某城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角150°、距离400km的海面P处，并以70km/h的速度沿北偏西60°的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域，问：几小时后该城市开始受到台风侵袭？（）

【评注】是否进入某区域问题，一般转化为动点到定点的距离与符合某区域条件的距离的大小比较.
【变式1】如图，一船由西向东航行，在A处,测得某岛M的方位角为，前进5km后在B处测得此岛的方位角为，已知该岛周围4km内有暗礁，如果继续东行，有无触礁的危险？

【变式2】外轮除特许外，不得进入离我国海岸线d n mile以内的区域，如图，设A,B是相距是s n mile的两个观测站，一外轮在P点，测得，问：满足什么关系时就该向外轮发出警告，令其退出我国海域？

【变式3】如图，某自行车手从O点出发，沿折线O-A-B-O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距千米.该车手于上午8点整到达A，8点20分骑至点C，点C位于点O南偏东（）（其中）且与点O相距千米（假设所有路面与观测点都在同一水平面上）.
（1）求该自行车手的骑行速度；
（2）若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨.试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由.

7.5与最值有关的实际应用问题
【典例】如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米，观察者从距离墙米，离地面高米的C处观赏该壁画，设观赏视角.若，问：观察者离墙多远时，视角最大？

【评注】应用正余弦定理将角之间的关系，转化为边之间的关系。再应用基本不等式、常见函数的单调性求最值。
【变式1】如图，直角三角形ABC，，，点分别在上（点和点B不重合），将沿翻折，变为，使顶点落在边上（点和点B不重合）.设.
(1) 用表示线段的长度，并写出的取值范围；
（2）求线段长度的最小值.

A
【变式2】如图，某海滨浴场的岸边可近似地看作直线，救生员现在岸边的A处，发现海中的B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而是沿岸边A跑到离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行进速度为6米/秒，在海水中的行进速度为2米/秒.
（1）分析救生员的选择是否正确？
（2）在AD上找一处C，使救生员从A到B的时间最短，并求出最短时间.