2017年上海市静安区中考数学一模试卷--附答案解析.docx

2017年上海市静安区中考数学一模试卷

一、选择题（每小题4分，共24分）
1．a（a＞0）等于（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（　　）
A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4
3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， =，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（　　）
A． = B． = C． = D． =
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（　　）
A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα
5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（　　）
A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　）
A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）

二．填空题（每个小题4分，共48分）
7．16的平方根是　　．
8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为　　．
9．方程+=1的根为　　．
10．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为　　．
11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是　　．
12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为　　．
13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF的面积比为　　．
14．在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为　　．
15．已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=， =，那么=　　 （用，的式子表示）

16．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为　　．
17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于　　．

18．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为　　．

三、解答题（共78分）
19．计算：．
20．解方程组：．
21．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）∠ABC的余弦值．

22．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．
（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）
（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）

23．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：DE•AB=AC•BE；
（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAE；
（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．

25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．
（1）求证：BC2=CD•BE；
（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．

2017年上海市静安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题4分，共24分）
1．a（a＞0）等于（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】分数指数幂；负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案．
【解答】解：a===，
故选：C．

2．下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（　　）
A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4
【考点】实数范围内分解因式．
【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．
【解答】解：A、原式不能分解；
B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；
C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；
D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），
故选A

3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上， =，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（　　）
A． = B． = C． = D． =
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可
【解答】解：
只有选项D正确，
理由是：∵AD=2，BD=4， =，
∴==，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，
故选D．

4．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（　　）
A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据余角函数是邻边比斜边，可得答案．
【解答】解：由题意，得
cosA=，
AC=AB•cosA=m•cosα，
故选：B．

5．如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（　　）
A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
【考点】锐角三角函数的增减性．
【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．
【解答】解：由＜＜，得
30°＜α＜45°，
故选：C．

6．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　）
A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点A′的坐标．
【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），
∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a（x﹣1）2，
∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，4），
故选：A．

二．填空题（每个小题4分，共48分）
7．16的平方根是　±4　．
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．

8．如果代数式有意义，那么x的取值范围为　x＞﹣2　．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，x+2＞0，
解得，x＞﹣2，
故答案为：x＞﹣2．

9．方程+=1的根为　x=2　．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣5+2x+2=x2﹣1，
整理得：x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，
解得：x=1或x=2，
经检验x=1是增根，分式方程的解为x=2，
故答案为：x=2

10．如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为　m＜2　．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据一次函数的性质，一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么图象一定与y轴的负半轴有交点，即可解答．
【解答】解：∵一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，
∴图象一定与y轴的负半轴有交点，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2，
故答案为：m＜2．

11．二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是　（4，﹣6）　．
【考点】二次函数的性质．
【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标．
【解答】解：∵y=2x2﹣8x+10=2（x﹣4）2﹣6，
∴顶点坐标为（4，﹣6），
故答案为：（4，﹣6）．

12．如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为　3　．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．
【解答】解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得
（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，
m﹣1=1﹣（﹣1），
解得m=3，
故答案为：3．

13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF的面积比为　1：16　．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，
∴△ABC与△DEF的面积比=（）2=1：16．
故答案为：1：16．

14．在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为　2　．
【考点】三角形的重心；等腰三角形的性质；解直角三角形．
【分析】根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上．根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离．
【解答】解：∵AB=AC=10，
∴△ABC是等腰三角形
∴三角形的重心G在BC边的高
∵cosB=，
∴在BC边的高=6，
根据三角形的重心性质
∴G到BC的距离是2．
故答案为：2

15．已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=， =，那么=　﹣　 （用，的式子表示）

【考点】*平面向量；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得BC∥AD、BC=AD=2EC，再证△ADF∽△CEF得=，根据==﹣=﹣（）可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC的中点，
∴BC∥AD，BC=AD=2EC，
∴△ADF∽△CEF，，
∴==2，
则=，
∴=
=﹣
=﹣（）
=﹣（+）
=﹣，
故答案为： ﹣．

16．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为　　．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及AE的长，进而可得出结论．
【解答】解：如图，∵△ADE∽△ABC，
∴==，即==，解得DE=，AE=，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=3++=；
故答案为：．

17．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于　3：2　．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥BC，推出∠EDC=∠BCD， =，由△BDC∽△CED，推出===，由此即可解决问题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD， =
∵∠BDC=∠DEC，
∴△BDC∽△CED，
∴===，
∴=．
故答案为3：2．

18．一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为　13　．

【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据直角三角形的性质求出CD，得到∠DCB=∠B，根据垂直的定义、等量代换得到∠OEC=∠B，根据正切的定义、勾股定理计算即可．
【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，
∴DC=DB=AB=12，
∴∠DCB=∠B，
由题意得，EF是CD的垂直平分线，
∴∠OEC+∠OCE=90°，又∠DCB+∠OCE=90°，
∴∠OEC=∠B，
设CF=2x，则CE=3x，
由勾股定理得，EF=x，
×2x×3x=×x×6，
解得，x=，
∴EF=×=13，
故答案为：13．

三、解答题（共78分）
19．计算：．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式=
=
=．

20．解方程组：．
【考点】高次方程．
【分析】由②得出x﹣3y=±2，由①得出x（x﹣y+2）=0，组成四个方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：
由②得：（x﹣3y）2=4，
x﹣3y=±2，
由①得：x（x﹣y+2）=0，
x=0，x﹣y+2=0，
原方程组可以化为：，，，，
解得，原方程组的解为：，，，．

21．已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）点C的坐标；
（3）∠ABC的余弦值．

【考点】待定系数法求反比例函数解析式；解直角三角形．
【分析】（1）待定系数法求解可得；
（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB==得AF=3，即可知EF，从而得出答案；
（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．
【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=，
将点A（2，4）代入，得：k=8，
∴反比例函数的解析式y=；

（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，

∵cot∠ACB==，
∴AF=3，
∴EF=1，
∴点C的坐标为（0，1）；

（3）当y=1时，由1=可得x=8，
∴点B的坐标为（1，8），
∴BF=BC﹣CF=6，
∴AB==3，
∴cos∠ABC===．

22．将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．
（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）
（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）
（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？
参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）

【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵B′O′⊥OA，垂足为C，∠AO′B=115°，
∴∠AO′C=65°，
∵cos∠CO′A=，
∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5（cm）；

（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，
∵∠AOB=115°，
∴∠BOD=65°，
∵sin∠BOD=，
∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12，
∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），
∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm；

（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，
∴∠FEA=∠BOA=115°，
∠FOB′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度．

23．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE
（1）求证：DE•AB=AC•BE；
（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，证△ABC∽△EBD得，即可得证；
（2）先根据AC2=AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B，再由证△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD，根据∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE，即可得证．
【解答】证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，
∴，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBD，
∴，
∴DE•AB=AC•BE；

（2）∵AC2=AD•AB，
∴，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠ACD=∠B，
∵，∠B=∠B，
∴△BAE∽△BCD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC．

24．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．
（1）求证：△BDE∽△CAE；
（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．

【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根据相似三角形的性质定理得到=，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）设AC=m，根据正切的定义得到DC=3m，根据相似三角形的性质得到∠DBA=∠DCA=90°，根据勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系数法求出抛物线的解析式．
【解答】（1）证明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，
∴△BEC∽△DEA，
∴=，又∠BED=∠CEA，
∴△BDE∽△CAE；
（2）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B，
∴点B的坐标为（0，4），即OB=4，
∵tan∠DAC=3，
∴=3，
设AC=m，则DC=3m，OA=m+2，
则点A的坐标为（m+2，0），点D的坐标为（2，3m），
∵△BDE∽△CAE，
∴∠DBA=∠DCA=90°，
∴BD2+BC2=AD2，即22+（3m﹣4）2+（m+2）2+42=m2+（3m）2，
解得，m=2，
则点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，6），
∴，
解得，，
∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．

25．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．
（1）求证：BC2=CD•BE；
（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．

【考点】相似形综合题．
【分析】（1）只要证明△DAC∽△CEB，得到=，再根据题意AC=BC，即可证明．
（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．由△CEB∽△DAC，得=，由此即可解决问题．
（3）首先证明四边形ABCD是等腰梯形，再证明△ABG≌△DCH，推出CH=BG=2，推出x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5，再利用（2）中即可即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，
∴∠ACD=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=∠CEB，
∴△DAC∽△CEB，
∴=，
∴BC•AC=CD•BE，
∵AC=BC，
∴BC2=CD•BF．

（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．
在Rt△CBF中，BF=BC•cos∠ABC=9×=3，
∴AB=6，
在Rt△ABG中，BG=AB•cos∠ABC=6×=2，
∵AD∥BC，DH=AG，
∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32，
∵AG∥DH，
∴GH=AD=x，
∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x，
∴CD===，
∵△CEB∽△DAC，
∴=，
∴=，
∴y=，
∴y=（x＞0且x≠9）．

（3）∵△DBC∽△DEB，∠CDB=∠BDE，∠CBD＜∠DBC，
∴∠DBC=∠DEB=∠ACB，
∴OB=OC，
∵AD∥BC，
∴=，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，
∵∠AGB=∠DHC=90°，
∴△ABG≌△DCH，
∴CH=BG=2，
∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5．
∴CE=y=．

2017年2月12日
22