利用二分法求方程的近似解.doc

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1.2。利用二分法求方程的近似解

教材分析：求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程,但有些方程求精确解较难。本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤,因此适合用计算器或计算机进行运算。在教学过程中要让学生体会到数学思想方法的科学性与完美性。。
学情分析：学生已经学习了函数,理解函数零点和方程根的关系,初步掌握函数与方程的转化思想。但对于求函数零点所在区间,只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难，另外算法程序的模式化和求近似解对他们是一个全新的问题。
一、三维目标：
1。知识与技能：通过具体实例理解二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法， 从中体会函数的零点与方程根之间的联系。
2.过程与方法：借助计算器用二分法求方程的近似解,让学生初步了解近似思想、逼近思想、算法的思想;体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一。
3.情感态度与价值观：通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。
二、重点难点
用二分法求方程的近似解.
三、教学过程
1。新课导入（事例导入)
师：有12个小球,质量均匀，只有一个球是比别的球重,你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的办法)
解：第一次,两端各放六个球，低的那一端一定有重球.
第二次，两端各放三个球,低的那一端一定有重球。
第三次，两端各放一个球,如果平衡，剩下的就是重球，否则,低的就是重球。
其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？它在数学中有什么神奇的用处呢？引入课题:利用二分法求方程的近似解
或者(情景导入）
师:(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？
2。 温故知新
判断零点存在的方法：如果函数在区间［a, b]上的图像时是连续不断的一条曲线,并且有，那么函数在区间（a， b）内有零点，即存在,使得，
这个c就是方程的根.那我们能不能利用二分法求方程的解呢？

3。实例体验
假设在区间［-1,5]上，f(x）的图像是一条连续的曲线，且f(-1)>0，f(5）<0即f（-1）f（5）〈0，我们依如下方法可以求得方程f(x)=0的一个解。
取［-1,5]的一个中点2，因为f(2）>0,f(5)<0， 即f（2)f（5)〈0，所以在区间[2，5］内有方程的解，于是再取[2，5]的中点3.5,……，这样继续下去,
如果取到某个区间的中点,恰好使f()=0，则就是所求的一个解；如果区间中点的函数总不为0,那么,不断重复上述操作。
师:通过上面的事例，我们能不能给二分法下个定义呢?师生讨论交流
给出二分法的定义:
对于在区间[a, b]上连续不断，且的函数，通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法，叫做二分法.
4。 动手实践
求方程2+3x—3=0的一个实数解,精确到0.01.
例题：求方程x3+3x—1=0的一个正的近似解?（精确度0。1)
解：设f（x)= -3x-1，设为函数的零点，即方程—3x—1=0的解。
作出函数f(x)= -3x-1的图象

因为f（1）=-3〈0,f（2）=1>0，
所以在区间(1,2)内方程-3x-1=0有一个解,记为.
取1与2的平均数1.5,因为f（1。5）=—2。125<0,
所以1.5〈〈2。
再取2与1.5的平均数1。75，因为f（1。75)=—0.890 625<0，

所以1。75<〈2.
如此继续下去,得
f（1）〈0，f(2)>0x1∈(1，2）,
f（1.5)<0,f（2）>0∈（1。5,2),
f（1.75)〈0，f（2）>0x1∈(1.75,2）,
f(1.875）〈0，f(2）>0∈（1。875,2),
f（1。875）〈0，f（1.937 5）>0∈(1。875,1。937 5)，
因为｜1。937 5-1.875|=0。062 5<0.1,
所以区间（1。875，1。932 5）内的每一个实数都可以作为方程x3-3x-1=0的正近似解。
进一步体会: 探求-=0的近似解
通过前面例题的学习，我们可以利用二分法求方程近似解，那它求近似解的步骤是什么呢?
首先给定精确度ε, 用二分法求函数零点的步骤:
1、确定初始区间[a, b]，验证f(a)·f（b)<0
2、求区间[a, b]的中点,
3、计算：f()
判断：
（1）如果f(）=0，则就是f(x）的零点，计算终止;
(2）如果f(a)f（)〈0,则令b= （此时零点∈（a,)中）
（3)如果f（a)f()>0，则令a=（此时零点∈(,b）中）
4、判断是否达到精确度ε,若｜a–b|〈ε,则得到零点近似值是(a, b)区间内的任一点;否则重复2～4步骤。
5. 抽象概括
利用二分法求方程实数解的过程
1）。初始区间是一个两端函数值符号相反的区间
2。)“M"的意思是取新区间，其中一个端点是原区
间端点，另一个端点是原区间的中点
3).“N"的意思是方程的解满足要求的精确度
四、课堂小结：1。二分法的原理
2。二分法的应用：求方程近似解的过程
五、作业：
136页B组第2题