河北省石家庄二十二中学2022年数学九年级第一学期期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A． B． C． D．
2．已知线段a是线段b，c的比例中项，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC：CA：AB＝3：4：5，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．将抛物线向左平移个单位长度,再向．上平移个单位长度得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．图中所示的几个图形是国际通用的交通标志.其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为、，则关于的一元二次方程有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．用相同的小立方块搭成的几何体的三种视图都相同（如图所示），则搭成该几何体的小立方块个数是（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．已知二次函数，点A，B是其图像上的两点，( )
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．如图，A，B，C，D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O﹣C﹣D﹣O路线作匀速运动，设运动时间为t（s）．∠APB＝y（°），则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（　　）

A． B．
C． D．
10．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
11．若点，，在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有（　　）
①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；
②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；
③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是菱形：
④当AC＝BD时，四边形ABCD是菱形；
A．3个 B．4个 C．1个 D．2个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，D是反比例函数(k<0)的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y＝﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为4，则k的值为_______．

14．若点P(3，1)与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是___________．
15．若方程x2﹣2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为_____．
16．已知点、在二次函数的图像上，则___.（填“”、“”、“”）
17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的每个顶点都在格点上，则_____.

18．如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，若AB= 2 ，则此三角形移动的距离AA′=_______．

三、解答题（共78分）
19．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．

（1）当△ABD为等边三角形时，
①依题意补全图1；
②PQ的长为　 　；
（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；
（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）
20．（8分）如图，抛物线的顶点为，且抛物线与直线相交于两点，且点在轴上，点的坐标为，连接.
（1） ， ， （直接写出结果）；
（2）当时，则的取值范围为 （直接写出结果）；
（3）在直线下方的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大？若存在，求出的最大面积及点坐标.

21．（8分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
22．（10分）将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A、B、C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，求图中阴影部分的面积．

23．（10分）如图，是⊙的直径，，是的中点，连接并延长到点，使.连接交⊙于点，连接.
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若，求⊙的半径.

24．（10分）如图1，已知中，，，，点、在上，点在外，边、与交于点、，交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）当时，求的长；
（3）设，的面积为，
①求关于的函数关系式．
②如图2，连接、，若的面积是的面积的1.5倍时，求的值．

25．（12分）某演出队要购买一批演出服，商店给出如下条件：如果一次性购买不超过10件，每件80元；如果一次性购买多于10件，每增加1件，每件服装降低2元，但每件服装不得低于50元，演出队一次性购买这种演出服花费1200元，请问此演出队购买了多少件这种演出服？
26．李明从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元，问购买这张矩形铁皮共花了多少钱？

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意，故此选项错误．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2、B
【解析】根据比例的性质列方程求解即可．解题的关键是掌握比例中项的定义，如果a：b=b：c，即b2=ac，那么b叫做a与c的比例中项．
【详解】A选项，由 得，b2=ac,所以b是a,c的比例中项，不符合题意；
B选项，由得a2=bc,所以a是b,c的比例中项，符合题意；
C选项，由，得c2=ab,所以c是a,b的比例中项，不符合题意；
D选项，由得b2=ac,所以b是a,c的比例中项，不符合题意；
故选B.
【点睛】
本题考核知识点：本题主要考查了比例线段．解题关键点：理解比例中项的意义.
3、D
【分析】根据已知条件,运用勾股定理的逆定理可得该三角形为直角三角形,再根据余弦的定义解答即可.
【详解】解:设分别为,
,
为直角三角形,
.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和余弦,熟练掌握对应知识点是解答关键.
4、B
【分析】原抛物线的顶点坐标(0,0)，再把点(0,0)向左平移4个单位长度得点(0,-4)，再向上平移1个单位长度得到点(-4,1),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式.
【详解】解：抛物线先向左平移个单位长度，得到的抛物线解析式为, 再向上平移个单位长度得到的抛物线解析式为,
故选:．
【点睛】
本题考查的是抛物线平移，根据抛物线平移规律“左移加右移减，上移加下移减”写出平移后的抛物线解析式.需要注意左平移是加，右平移是减.
5、C
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】A、B、D都是轴对称图形，而C不是轴对称图形．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6、C
【分析】先根据一元二次方程有实数根求出ac≤4，继而画树状图进行求解即可.
【详解】由题意，△=42-4ac≥0，
∴ac≤4，
画树状图如下：

a、c的积共有12种等可能的结果，其中积不大于4的有6种结果数，
所以a、c的积不大于4(也就是一元二次方程有实数根)的概率为，
故选C.
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，列表法或树状图法求概率，得到ac≤4是解题的关键.
7、B
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【详解】依题意可得

所以需要4块；
故选：B
【点睛】
考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
8、B
【分析】利用作差法求出，再结合选项中的条件，根据二次函数的性质求解．
【详解】解：由得,
∴,
,
,
∵,
∴,
选项A,当时，，，A错误.
选项B,当时，，，B正确.
选项C,D无法确定的正负，所以不能确定当时，函数值的y1与y2的大小关系，故C,D错误.
∴选B.
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是利用作差法，结合二次函数的性质解答．
9、C
【解析】根据题意，分P在OC、CD、DO之间3个阶段，分别分析变化的趋势，又由点P作匀速运动，故图像都是线段，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，分3个阶段；
① P在OC之间,∠APB逐渐减小,到C点时, ∠APB为45°，所以图像是下降的线段，
②P在弧CD之间,∠APB保持45°，大小不变，所以图像是水平的线段，
③P在DO之间,∠APB逐渐增大,到O点时, ∠APB为90°，所以图像是上升的线段，
分析可得：C符合3个阶段的描述；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了函数图象与几何变换，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段,依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况.
10、B
【分析】等量关系为：2016年贫困人口年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选B．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，得到2年内变化情况的等量关系是解决本题的关键．
11、D
【分析】由于反比例函数的系数是－8，故把点A、B、C的坐标依次代入反比例函数的解析式，求出的值即可进行比较.
【详解】解：∵点、、在反比例函数的图象上，
∴，，，
又∵，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的图象和性质，难度不大，理解点的坐标与函数图象的关系是解题的关键.
12、D
【分析】根据菱形的判定定理判断即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴①当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
②当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；
③当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；
④当AC＝BD时，四边形ABCD是矩形；故不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）
13、-1
【详解】解：∵的图象经过点C，∴C（0，1），
将点C代入一次函数y=-x+m中，得m=1，∴y=-x+1，令y=0得x=1，∴A（1，0），
∴S△AOC=×OA×OC=1，
∵四边形DCAE的面积为4，∴S矩形OCDE=4-1=1，
∴k=-1
故答案为：-1．
14、 (–3，–1)
【分析】根据关于原点对称的点的规律：纵横坐标均互为相反数解答即可．
【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点，可得：
点P(3，1)关于原点过对称的点Q的坐标是(–3，–1)．
故答案为：(–3，–1)．
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题时根据两个点关于原点对称时，它们的同名坐标互为相反数可直接得到答案，本题属于基础题，难度不大，注意平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(–x，–y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
15、1
【解析】根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，
所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=1．
故答案为1．
16、
【分析】把两点的坐标分别代入二次函数解析式求出纵坐标，再比较大小即可得解.
【详解】时，，
时，，
∵＞0，
∴；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，用求差法比较大小是常用的方法.
17、2
【分析】如图，取格点E，连接EC．利用勾股定理的逆定理证明∠AEC=90°即可解决问题．
【详解】解：如图，取格点E，连接EC．

易知AE=，
∴AC2=AE2+EC2，
∴∠AEC=90°，
∴tan∠BAC=.
【点睛】
本题考查解直角三角形，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18、
【分析】由题意易得阴影部分与△ABC相似，然后根据相似三角形的面积比是相似比的平方可求解．
【详解】解：
把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，，
它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半，AB=2，
即，；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．

三、解答题（共78分）
19、（1）①详见解析；②1；（1）详见解析；（3）BD＝．
【分析】（1）①根据题意画出图形即可．
②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性质证明PQ＝PA即可．
（1）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题．
（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t， ，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题．
【详解】（1）解：①补全图形如图所示：

②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1
∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°
∴
∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°
∴PA＝AD•tan60°＝1
∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ
∴△PDA≌△PDQ（SAS）
∴PQ＝PA＝1．
（1）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H，如图：

∵PA⊥AD，
∴∠PAD＝90°
由题意可知∠ADP＝45°
∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP
∴PA＝PD
∵∠ACB＝90°
∴∠ACD＝90°
∵AH⊥PF，PF⊥BQ
∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°
∴四边形ACFH是矩形
∴∠CAH＝90°，AH＝CF
∵∠ACH＝∠DAP＝90°
∴∠CAD＝∠PAH
又∵∠ACD＝∠AHP＝90°
∴△ACD≌△AHP（AAS）
∴AH＝AC＝1
∴CF＝AH＝1
∵，BC＝1，B，Q关于点D对称
∴，
∴
∴F为DQ中点
∴PF垂直平分DQ
∴PQ＝PD．
（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，

∵PD＝PQ，PF⊥DQ
∴
∵四边形AHFC是矩形
∴
∵△ACB∽△PAD
∴
∴
∴
∵△PAH∽△DAC
∴
∴
解得
∴．
故答案是：（1）①详见解析；②1；（1）详见解析；（3）．
【点睛】
本题是三角形综合题目，主要考查了三角形的旋转、等边三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，构造全等三角形、相似三角形、直角三角形是解题的关键．
20、（1）1，-1，1；（2）；（3）最大值为，点.
【分析】（1）将代入求得k值，求得点A的坐标，再将A、B的坐标代入即可求得答案；
（2）在图象上找出抛物线在直线下方自变量的取值范围即可；
（3）设点P的坐标为 ，则点Q的坐标为，求得的长，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）∵直线经过点，
∴，
解得：，
∵直线与x轴交于点A，
令，则，
点A的坐标为，
∵抛物线与直线相交于两点，
∴，
解得：，
故答案为：，，；
（2）∵抛物线与直线相交于A，两点，
观察图象，抛物线在直线下方时，，
∴当时，则的取值范围为：，
故答案为：；
（3）过点P作y轴的平行线交直线于点Q，

设点P的坐标为 ，则点Q的坐标为，
∴，
，
∴，
当时，的面积有最大值为，此时P点坐标为；
故答案为：面积有最大值为，P点坐标为；
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会运用数形结合的思想解决数学问题．
21、（1）证明见解析（1）1或1
【解析】试题分析：（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（1）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
试题解析：（1）证明：∵，∴△=[﹣（m﹣3）]1﹣4×1×（﹣m）=m1﹣1m+9=（m﹣1）1+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（1）∵，方程的两实根为，，且，∴ ， ，∴，∴（m﹣3）1﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m1=1，即m的值是1或1．
22、4πcm2
【分析】由旋转知△A′BC′≌△ABC，两个三角形的面积S△A′BC′=S△ABC，将三角形△A′BC′旋转到三角形△ABC，变成一个扇面，阴影面积=大扇形A′BA面积-小扇形C′OC面积即可．
【详解】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4，∴BC=2，∠CBC′=120°，∠A′BA=120°，
由旋转知△A′BC′≌△ABC ∴ S△A′BC′=S△ABC，
∴S阴影=S△A′BC′+S扇形ABA′-S扇形CBC′-S△ABC= S扇形ABA′-S扇形CBC′=×（42-22）=4π（cm2）．
【点睛】
本题考查阴影部分面积问题，关键利用顺时针旋转△A′C′B到△ACB，补上△A′C′B内部的阴影面积，使图形变成一个扇面，用扇形面积公式求出大扇形面积与小扇形面积．
23、（1）见解析;（2）.
【分析】（1）连OC，根据“，AB是⊙O的直径”可得CO⊥AB，进而证明△OEC≌△BEF（SAS）即可得到∠FBE=∠COE=90°，从而证明直线是⊙的切线；
（2）由（1）可设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r，在Rt∆ABF运用沟谷定理即可得.
【详解】（1）连OC.
∵，AB是⊙O的直径
∴CO⊥AB
∵E是OB的中点
∴OE=BE
又∵CE=EF，∠OEC=∠BEF
∴△OEC≌△BEF（SAS）
∴∠FBE=∠COE=90°
即AB⊥BF
∴BF是⊙O的切线.

（2）由（1）知=90°
设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r
在Rt∆ABF中，由勾股定理得；，即 ，解得：r=
∴⊙O的半径为.
【点睛】
本题考查了切线的证明及圆中的计算问题，熟知切线的证明方法及题中的线段角度之间的关系是解题的关键.
24、（1）证明见解析；（2）；（3）①，②．
【分析】（1）由圆内接四边形性质得，又，从而可证明；
（2）过作于，证明，得，在直角中求出BH的值即可得到结论；
（3）①同（2）可得，根据三角形面积公式求解即可；
②过作于，则，用含x的代数式表示出的面积，列出方程求解即可．
【详解】（1）∵，
∴
（2）过作于，

∵
∴
∴
∴
∴
∵在直角中，
∴
∴
（3）①由（2）得AH=1，
当时，
∴
②过作于，则，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴解得，
经检验，是方程的解．
【点睛】
本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是得到，综合性较强，难度较大．
25、购买了20件这种服装
【分析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可；
【详解】解：设购买了件这种服装．，
∵∴购买的演出服多于10件
根据题意得出：，
解得：，，
当时，元元，符合题意；
当时，元元，不合题意，舍去；
故答案为：．
答：购买了20件这种服装．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系列出方程．
26、购买这张矩形铁皮共花了700元钱
【解析】设矩形铁皮的宽为x米，则长为米，根据长方形的体积公式结合长方体运输箱的容积为15立方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出x的值，再根据矩形的面积公式结合铁皮的单价即可求出购买这张矩形铁皮的总钱数．
【详解】设矩形铁皮的宽为x米，则长为米，
根据题意得：，
整理，得：(不合题意，舍去)，
∴20x(x+2)=20×5×7=700.
答：购买这张矩形铁皮共花了700元钱．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．