微积分试题解答.doc

浙江大学2012-2013学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷
以下1至10题每题6分，11至14题每题10分，解题时应写出必要的解答过程
1、设，求．
2、设函数可导，是由方程所确定的可导函数，求．
3、设是由参数方程 所确定，求．
4、计算定积分求．　
5、计算反常积分．
6、求极限．　
7、求极限．　．
8、求极限．　
9、求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域．
10、将函数展开成的幂级数，并写出成立的开区间．
11、求不定积分．
12、设在区间上为正值的连续函数，试证明：
（I）存在使得以曲线为顶在区间上的曲边梯形面积等于以为高，以区间为底的矩形面积．
（II）若增设可导且，则（I）中的是唯一的．
13、设在区间内可导，并设，．
（I）求，（）；
（II）讨论曲线在区间内的凹凸性，并求其拐点坐标．
14、设．
（I）计算，并证明，（）；
（II）证明级数条件收敛．
浙江大学2012-2013学年秋冬学期《微积分》期末考试试卷答案
1、设，求．
解：．
2、设函数可导，是由方程所确定的可导函数，求．
解：，．
3、设是由参数方程，所确定，求．
解：　，
．
4、计算定积分求．
解： （其中为偶函数，为奇函数）
（令）

．
5、计算反常积分．
解：

=；
或，令
．
6、求极限．
解：　
（注：分母 ）
． （注：分子 ）
7、求极限．　
解：
（ 注：）
（洛必达法则）
． （ 注：）
8、求极限．
解：　 （令）

9、求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域．
解：因为，所以收敛半径，
当时，即当时，级数绝对收敛， 收敛区间为：，
当时，级数为收敛；
当时，级数为发散， 收敛域为：，
10、将函数展开成的幂级数，并写出成立的开区间．
解：，其中
， （）；
， （），
所以，
（）．
11、求不定积分．
解：
（注：）

12、设在区间上为正值的连续函数，试证明：
（I）存在使得以曲线为顶在区间上的曲边梯形面积等于以为高，以区间为底的矩形面积．
（II）若增设可导且，则（I）中的是唯一的．
证：（I）由题意要证，存在，使，
为此，作辅助函数：，
有 ，且在区间上连续，
由连续函数的介值定理，存在，，即，，
因此，（I）成立．
（II）由于 ，
所以在区间上严格单调增，即在区间内至多一个零点，
所以（I）中的是唯一的．
13、设在区间内可导，并设，
（I）求，当时；
（II）讨论曲线在区间内的凹凸性，并求其拐点坐标．
解：（I）当时，
，
（II）求 ，
由于，所以，当时， ，曲线向上凹；
当时，，曲线向下凹（凸）；
当时， ，且，曲线有拐点．
14、设．
（I）计算，并证明，当时；
（II）证明级数条件收敛．
解：（I）
，
由于，当时，，，
所以，数列，正项，且单调减少，
则有， ， 从而有 ，
于是 ，即 ．
（II） 由于 ，由比较判别法，级数发散，
而交错级数满足莱布尼茨定理的条件：单调减少，
且 ，由夹逼定理，，所以 收敛，
即，条件收敛．
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