N选修4系列(理科).doc
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1、N 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲22N12012辽宁卷 如图18,O和O相交于A,B两点,过A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连结DB并延长交O于点E.证明:(1)ACBDADAB;(2)ACAE.图1822证明:(1)由AC与O相切于A,得CABADB,同理ACBDAB,所以ACBDAB.从而,即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A,得AEDBAD,又ADEBDA,得EADABD.从而,即AEBDADAB.结合(1)的结论,得ACAE.21 AN1 2012江苏卷如图17,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连结BD并延长至点C,使BDDC,连结AC,A
2、E,DE.求证:EC.图1721A.证明:如图,连结OD,因为BDDC,O为AB的中点,所以ODAC,于是ODBC.因为OBOD,所以ODBB.于是BC.因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以E和B为同弧所对的圆周角,故EB.所以EC.15N12012湖北卷如图16所示,点D在O的弦AB上移动,AB4,连结OD,过点D作OD的垂线交O于点C,则CD的最大值为_图1615. 2解析 因为CD,且OC为O的半径,是定值,所以当OD取最小值时,CD取最大值显然当ODAB时,OD取最小值,故此时CDAB2,即为所求的最大值12N12012全国卷 正方形ABCD的边长为
3、1,点E在边AB上,点F在边BC上,AEBF.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为()A16 B14C12 D1012B解析 取单位长度为7的正方形,(1)直接作出图形可得到结果,如图所示,(2)建立坐标系,取正方形边长为7分单位,计算7次可得第7次时该点的横坐标与E点相同,根据对称性应选择14次5N12012北京卷 如图13,ACB90,CDAB于点D,以BD为直径的圆与BC交于点E,则()ACECBADDBBCECBADABCADABCD2DCEEBCD25A解析 本题考查了平面几何圆与三角形,特别
4、是重点考查了射影定理等知识对于A,CECBCD2ADDB;对于B,CECBCD2AC2ADAB;对于C,CD2ADDBADAB;对于D,ED2CEEBCD2.15N12012广东卷如图13,圆O的半径为1,A、B、C是圆周上的三点,满足ABC30,过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P,则PA_.15.解析 考查平面几何中圆周角定理以及弦切角定理等,解题关键是通过连接OA,在AOP中利用勾股定理求出连接OA,则OAPA,根据圆周角定理得:AOP60,所以PO2,OA1,在直角三角形AOP中利用勾股定理得:PA.11N12012湖南卷 如图13,过点P的直线与O相交于A,B两点若PA1,AB2
5、,PO3,则O的半径等于_图1311.解析 设圆的半径为r,由圆的割线定理可得,PAPB(POr)(POr),把 PA1,PB123,PO3代入求解得39r2,r.22N12012课标全国卷如图16,D,E分别为ABC边AB,AC的中点,直线DE交ABC的外接圆于F,G两点若CFAB,证明:(1)CDBC;(2)BCDGBD.22证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DEBC.又已知CFAB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CFBDAD.而CFAD,连结AF,所以四边形ADCF是平行四边形,故CDAF.因为CFAB,所以BCAF,故CDBC.(2)因为FGBC,故GBCF.由(1
6、)可知BDCF,所以GBBD.而DGBEFCDBC,故BCDGBD.15 B. N1 2012陕西卷如图15,在圆O中,直径AB与弦CD垂直,垂足为E,EFDB,垂足为F,若AB6,AE1,则DFDB_.图1515B 5解析 本题考查了射影定理的知识,解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理连接AD,在RtABD中,DEAB,所以DE2AEEB5,在RtEBD中,EFDB,所以DE2DFDB5.13N12012天津卷 如图13所示,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF3,FB1,EF,则线段CD的长为_
7、图1313.解析 本题考查选修41几何证明选讲中圆的性质,考查推理论证及运算求解能力,中档题由相交弦的性质可得|AF|FB|EF|FC|,|FC|2,又FCBD,即BD,由切割定理得|BD|2|DA|DC|4|DC|2,解之得|DC|.N2 选修4-2 矩阵21 BN2 2012江苏卷已知矩阵A的逆矩阵A1,求矩阵A的特征值21 B解:因为A1AE,所以A(A1)1.因为A1,所以A(A1)1,于是矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0,解得A的特征值11,24.21AN2 2012福建卷 设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a,b
8、的值;(2)求A2的逆矩阵21A解: (1)设曲线2x22xyy21上任意点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x,y)由,得又点P(x,y)在x2y21上,所以x2y21,即a2x2(bxy)21,整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0,所以(2)由(1)知,A,A2,所以|A2|1,(A2)1.3C3、N22012上海卷 函数f(x)的值域是_3.解析 考查二阶矩阵和三角函数的值域,以矩阵为载体,实为考查三角函数的值域,易错点是三角函数的化简f(x)2sinxcosx2sin2x,又1sin2x1,所以f(x)2sin2x的值域为.N3 选修4-4 坐标系与
9、参数方程12N32012天津卷 已知抛物线的参数方程为(t为参数),其中p0,焦点为F,准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线,垂足为E.若|EF|MF|,点M的横坐标是3,则p_.122解析 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质,考查运算求解能力及转化思想,中档题将参数方程 化为普通方程为y22px(p0),并且F,E,又|EF|MF|ME|,即有3,解之得p2(负值舍去),即p2.10 N32012上海卷 如图11所示,在极坐标系中,过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角,若将l的极坐标方程写成f()的形式,则f()_.图1110.解析 考查极坐标方程,关键是写出直线的极坐标方程,再按要求化
10、简由已知得直线方程为y(x2)tan,化简得xy20,转化为极坐标方程为:cossin20,解得,所以f().15 C. N3 2012陕西卷直线2cos1与圆2cos相交的弦长为_15C. 解析 本题考查了极坐标的相关知识,解题的突破口为把极坐标化为直角坐标由2cos1得2x1,由2cos得22cos,即x2y22x,联立得y,所以弦长为.23N32012辽宁卷在直角坐标系xOy.圆C1:x2y24,圆C2:(x2)2y24.(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程
11、23解:(1)圆C1的极坐标方程为2,圆C2的极坐标方程为4cos.解得2,.故圆C1与圆C2交点的坐标为,.注:极坐标系下点的表示不唯一(2)(解法一)由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1,),(1,)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.(或参数方程写成y)(解法二)在直角坐标系下求得弦C1C2的方程为x1(y)将x1代入得cos1,从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.23N32012课标全国卷已知曲线C1的参数方程是(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极
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