2022-2023学年四川省达州达川区四校联考九年级数学第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.，原传送带与地面的夹角为，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由改为，原传送带长为.则新传送带的长度为（ ）

A． B． C． D．无法计算
2．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（　　）

A． B．
C． D．
3．sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A．sin65°＜cos26° B．sin65°＞cos26°
C．sin65°=cos26° D．sin65°+cos26°=1
4．全等图形是相似比为1的相似图形，因此全等是特殊的相似，我们可以由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法．这种其中主要利用的数学方法是（ ）
A．代入法 B．列举法 C．从特殊到一般 D．反证法
5．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB’C’D’，图中阴影部分的面积为（ ）．

A． B． C． D．
6．下列方程中，是关于x的一元二次方程是(　　)
A． B．x2+2x＝x2﹣1
C．ax2+bx+c＝0 D．3(x+1)2＝2(x+1)
7．点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，下列说法正确的有（　　）
①AC=AB，②AC=AB，③AB：AC=AC：BC，④AC≈0.618AB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为(1，0)，(3，2)，连接AB，将线段AB平移后得到线段A'B'，点A的对应点A' 坐标为(2，1)，则点B' 坐标为（ ）
A．(4，2) B．(4，3) C．(6，2) D．( 6，3)
9．﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
10．在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2 (m是常数，且m≠0)的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在中，点在上，请再添加一个适当的条件，使与相似，那么要添加的条件是__________．(只填一个即可)

12．如图，已知∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE，AD＝3，AE＝2，CE＝4，则BD为_____．

13．小明家的客厅有一张直径为1.1米，高0.75米的圆桌BC，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子为DE，依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为（2，0），则点E的坐标是_________．

14．方程x2﹣9x＝0的根是_____．
15．某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯长为，坡角为；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角为，则改造后的斜坡式自动扶梯的长度约为________．

(结果精确到，温馨提示：，，)
16．半径为4 cm，圆心角为60°的扇形的面积为 cm1．
17．代数式中的取值范围是__________．
18．已知：如图，△ABC的面积为16，点D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE的面积为______．

三、解答题(共66分)
19．（10分）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．
（1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，写出表示x和y关系的表达式．
（2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为，求x和y的值．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．

21．（6分）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 ；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．

22．（8分）随着人民生活水平的不断提高，某市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，该市2017年底拥有家庭轿车64万辆，2019年底家庭轿车的拥有量达到100万辆．
（1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2020年底全市汽车拥有量不超过118万辆，预计2020年报废的汽车数量是2019年底汽车拥有量的8%，求2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．
23．（8分）如图，海上有A、B、C三座小岛，小岛B在岛A的正北方向，距离为121海里，小岛C分别位于岛B的南偏东53°方向，位于岛A的北偏东27°方向，求小岛B和小岛C之间的距离.（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）

24．（8分）解方程:

25．（10分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE.
证明：△BCD∽△BDE.

26．（10分）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据已知条件，在中，求出AD的长，再在中求出AC的值.
【详解】，，=8

即

即

故选B.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
2、D
【分析】根据旋转的定义进行分析即可解答
【详解】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，
分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是D．
故选D．
【点睛】
本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.
3、B
【分析】首先要将它们转换为同一种锐角三角函数，再根据函数的增减性进行分析．
【详解】∵cos26°=sin64°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin65°＞cos26°．
故选：B．
【点睛】
掌握正余弦的转换方法，了解锐角三角函数的增减性是解答本题的关键．
4、C
【分析】根据全等是特殊的相似，即可得到“提出相似三角形的问题和研究方法”是从特殊到一般．
【详解】∵全等图形是相似比为1的相似图形，全等是特殊的相似，
∴由研究全等三角形的思路，提出相似三角形的问题和研究方法，是从特殊到一般的数学方法．
故选C．
【点睛】
本题主要考查研究相似三角形的数学方法，理解相似三角形和全等三角形的联系，是解题的关键．
5、C
【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE＝∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′＝60°，然后求出∠DAE＝30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积＝正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．
【详解】如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，

在Rt△AB′E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），
∴∠DAE＝∠B′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠DAB′＝60°，
∴∠DAE＝×60°＝30°，
∴DE＝1×＝，
∴阴影部分的面积＝1×1﹣2×（×1×）＝1﹣．
故选C．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE＝∠B′AE，从而求出∠DAE＝30°是解题的关键，也是本题的难点．
6、D
【解析】利用一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A、＝3不是整式方程，不符合题意；
B、方程整理得：2x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；
C、ax2+bx+c＝0没有条件a≠0，不一定是一元二次方程，不符合题意；
D、3(x+1)2＝2(x+1)是一元二次方程，符合题意，
故选：D．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．
7、C
【解析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得.
【详解】∵点C数线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC=AB，故①正确；
由AC=AB，故②错误；
BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；
AC≈0.618AB，故④正确，
故选C．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键．
8、B
【分析】根据点A的坐标变化可以得出线段AB是向右平移一个单位长度，向上平移一个单位长度，然后即可得出点B' 坐标.
【详解】∵点A (1，0)平移后得到点A' (2，1)，
∴向右平移了一个单位长度，向上平移了一个单位长度，
∴点B (3，2)平移后的对应点B' 坐标为(4，3).
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了直角坐标系中线段的平移，熟练掌握相关方法是解题关键.
9、A
【解析】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．
10、D
【分析】关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=−，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【详解】A．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=−＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象不符，故A选项错误；
B．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，开口方向朝下，与图象不符，故B选项错误；
C．由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x=−＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故C选项错误；
D．由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=mx2+2x+2开口方向朝下，对称轴为x=− ＞0，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确．
故选D．
【点睛】
此题考查一次函数和二次函数的图象性质，解题关键在于要掌握它们的性质才能灵活解题．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、或
【解析】已知与的公共角相等， 根据两角对应相等的两个三角形相似再添加一组对应角相等即可.
【详解】解：（公共角）
（或）
（两角对应相等的两个三角形相似）
故答案为：或
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
12、1
【解析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴，
∴△ABD∽△ACE，
∴，
∴，
∴BD＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质定理，找对应角或对应边的比值是解题的关键.
13、（3.76，0）
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC=1.1，
∴DE=3.76，
∴E（3.76，0）．
故答案为：（3.76，0）．
【点睛】
本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
14、x1＝0，x2＝1
【分析】观察本题形式，用因式分解法比较简单，在提取x后，左边将变成两个式子相乘为0的情况，让每个式子分别为0，即可求出x．
【详解】解：x2﹣1x＝0
即x（x﹣1）＝0，
解得x1＝0，x2＝1．
故答案为x1＝0，x2＝1．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的应用．
15、19.1
【分析】先在Rt△ABD中，用三角函数求出AD，最后在Rt△ACD中用三角函数即可得出结论．
【详解】解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AB=10m，
∴AD=ABsin∠ABD=10×sin30°=5（m），
在Rt△ACD中，∠ACD=15°，sin∠ACD=，
∴AC=≈≈19.1（m），
即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.1m．
故答案为：19.1．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16、.
【解析】试题分析：根据扇形的面积公式求解.
试题解析：.
考点：扇形的面积公式.
17、；
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，列出不等式即可求出取值范围.
【详解】∵二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0
∴
解得
故答案为：.
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数大于等于0是解题的关键.
18、4
【分析】根据三角形中位线的性质可得DE//BC，，即可证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得答案.
【详解】∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵△ABC的面积为16，
∴S△ADE=×16=4.
故答案为：4
【点睛】
本题考查三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）关系式；（2）x=15，y=1．
【解析】（1）根据盒中有x枚黑棋和y枚白棋，得出袋中共有（x+y）个棋，再根据概率公式列出关系式即可；
（2）根据概率公式和（1）求出的关系式列出关系式，再与（1）得出的方程联立方程组，求出x，y的值即可．
【详解】（1）∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，
∴袋中共有（x+y）个棋，
∵黑棋的概率是，
∴可得关系式；
（2）如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为，又可得；
联立求解可得x=15，y=1．
【点睛】
考查概率的求法,如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=.
20、（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，由图形可知，∠A2C2B2=∠ACB，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，由A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），易得D（4，2），故AD=2，CD=6，AC==，∴sin∠ACB===，即sin∠A2C2B2=．

考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．
21、 (1)AF=AE；（2）AF=AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=AE，理由详见解析.
【分析】（1）如图①中，结论：AF=AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：AF=AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，AF=AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF是等腰直角三角形即可．
【详解】解：（1）如图①中，结论：AF=AE．
理由：∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
（2）如图②中，结论：AF=AE．
理由：连接EF，DF交BC于K．
∵四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，
∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
，
∴△EKF≌△EDA，
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
（3）如图③中，结论不变，AF=AE．
理由：连接EF，延长FD交AC于K．
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，
∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，
∴∠EDF=∠ACE，
∵DF=AB，AB=AC，
∴DF=AC
在△EDF和△ECA中，
，
∴△EDF≌△ECA，
∴EF=EA，∠FED=∠AEC，
∴∠FEA=∠DEC=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE．
【点睛】
本题考查四边形综合题，综合性较强．
22、（1）2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为25%；（2）2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率要小于等于26%才能达到要求．
【分析】（1）设2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据2017年底及2019年底该市汽车拥有量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率为y，根据2020年底全市汽车拥有量不超过118万辆，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）设2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，
依题意，得：64（1+x）2＝100，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．
答：2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率为25%．
（2）设2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率为y，
依题意，得：100（1+y）﹣100×8%≤118，
解得：y≤0.26＝26%．
答：2019年底至2020年底该市汽车拥有量的年增长率要小于等于26%才能达到要求．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23、小岛B和小岛C之间的距离55海里.
【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD=x海里，得出AD=（121-x）海里，在Rt△BCD中，根据，求出CD，再根据，求出BD，在Rt△BCD中，根据，求出BC，从而得出答案．
【详解】解：根据题意可得，在△ABC中，AB=121海里，∠ABC=53°，∠BAC=27°，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D．

设BD=x海里，则AD=（121-x）海里，
在Rt△BCD中，
则
CD=x•tan53°≈
在Rt△ACD中，则CD=AD•tan27°≈
则
解得，x=1，
即BD=1．
在Rt△BCD中，
则
答：小岛B和小岛C之间的距离约为55海里.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
24、（1），；（2）
【分析】（1）先移项，再利用配方法求解即可．
（2）合并同类项，再利用配方法求解即可．
【详解】（1）

解得，
（2）

解得
【点睛】
本题考查了一元二次方程的计算，掌握利用配方法求方程的解是解题的关键．
25、见解析
【分析】根据角平分线的定义可得，由可得，根据相似三角形的判定定理即可得△BCD∽△BDE.
【详解】∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴△BCD∽△BDE.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；正确找出对应边和对应角是解题关键.
26、（1）y=﹣x2+2x+3（2）（，）（3）当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得
二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），
∴
∴点P的纵坐标，
当时，即
解得（不合题意，舍），
∴点P的坐标为
（3）如图2，

P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得
直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
OA=1，

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，，即P点的坐标为
当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．