反比例函数经典讲义-绝对经典!!.doc

(完整word)反比例函数经典讲义,绝对经典!!
初三反比例函数讲义
第1节 反比例函数
本节内容：
反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）

1、 反比例函数的定义
电流I、电阻R、电压U之间满足关系式：U=IR
当U=220V时，可以用含有R的代数式表示I：__________________
舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.当电流I较小时，灯光较暗；当电流I较大时，灯光较亮。
一般地,如果两个变量、之间的关系可以表示成为常数，的形式，那么称是的反比例函数.
反比例函数的自变量不能为零。
小注:
（1）也可以写成或的形式；
(2)若是反比例函数，则、、均不为零；
（3）通常表示以原点及点为对角线顶点的矩形的面积。
■例1
下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩为常数,

2、 反比例函数定义的应用（重点)
确定解析式的方法仍是____________,由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出的值，从而确定其解析式。
■ 例2
由欧姆定律可知,电压不变时，电流强度I与电阻R成反比例，已知电压不变，电阻R=12。5欧姆，电流强度I=0。2安培。
（1） 求I与R的函数关系式;
（2） 当R=5欧姆时，求电流强度.

本节作业：
1、小明家离学校1.5km，小明步行上学需min，那么小明的步行速度可以表示为；水名地面上重1500N的物体，与地面的接触面积为，那么该物体对地面的压强可以表示为.函数表达式还可以表示许多不同情境中变量之间的函数关系，请你再列举一例。

2、某工人打算利用一块不锈钢条加工一个面积为0.8的矩形模具,假设模具的长与宽分别为与。
（1）你能写出与之间的函数表达式吗？变量与之间是什么函数?
（2）若想使模具的长比宽多1.6m，已知每米这种不锈钢条6元钱，求加工这个模具共花多少钱？

3、若函数满足，则与的函数关系式为______________，你认为是的______________函数.

4、已知=,与成正比例，与成反比例,并且当=2时,= —4；当= —1时，=5，求出与的函数关系式。

5、已知是的函数,且其对应数据如下表所示，你认为是的正比例函数还是反比例函数？你能写出函数的表达式,并填上表格中的空缺吗？

…
—3
-2

1

3
4
…

…

3

-

…

6、（2008·安徽）函数的图象经过点A（1，—2），则的值为（ ）.
A． B. C。 2 D. —2

7、若函数是反比例函数，则的值为（ ）。
A．= —2 B. = 1
C. = 2或= 1 D. = —2，或= —1

8、若甲、乙两城市间的路程为1000千米，车速为每小时千米，从甲市到乙市所需的时间为小时，那么与的函数表达式是_______________________（不必写出的取值范围），是的__________函数。

9、已知是的反比例函数，当=5时，= —1，那么,当=3时，=_________；当=3时，=________。

第2节 反比例函数的图象与性质
本节内容：
反比例函数的图象及其画法 反比例函数的性质(重点）
反比例函数中的比例系数的几何意义（难点) 反比例函数与正比例函数图象的交点

1、 反比例函数的图象及其画法
反比例函数图象的画法--描点法:
（1） 列表-—自变量取值应以0（但为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的的值;
（2） 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；
（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。

反比例函数的图象是由两支曲线组成的。当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时,两支曲线分别位于第二、四象限内.
小注：
(1）这两支曲线通常称为双曲线。
（2）这两支曲线关于原点对称。
（3）反比例函数的图象与轴、轴没有公共点。
例1：画出反比例函数与的图象。
解:（1）列表：

(2)描点:

（3） 连线。
1 反比例函数的性质
反比例函数

k的符号
k 〉0
k〈0
图象
(双曲线）

x、y
取值范围
x的取值范围x≠0
y的取值范围y≠0
x的取值范围x ≠0
y的取值范围y ≠0
位置
第一,三象限内
第二,四象限内
增减性
每一象限内,y随x的增大而减小
每一象限内,y随x的增大而增大
渐近性
反比例函数的图象无限接近于x,y轴，但永远达不到x，y轴,画图象时,要体现出这个特点。
对称性
反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形。反比例函数的图象也是轴对称图形.
例2 已知 是反比例函数，则函数的图象在 ( ）
A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、四象限 D、三、四象限
例3 函数与（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ )

例4 已知反比例函数的图象经过点P（一l，2)，则这个函数的图象位于
A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限

3反比例函数中的比例系数的几何意义(难点）
的几何含义：反比例函数y＝ (k≠0）中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0）上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .

例5A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥轴,AC∥轴，△ABC的面积记为,则( ）
A． B． C． D．
O
B

C
A
图1

例6如图在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则

4反比例函数与正比例函数图象的交点
凡是交点问题就联立方程
例7如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
O
y
x
B
A
（2）求的面积．

本节练习
一、选择题（每小题6分，共36分）
1. 已知 是反比例函数，则函数的图象在 ( ）
A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、四象限 D、三、四象限
2.若反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象一定经过点（　　）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
3。反比例函数的图象经过点(2，3），则的值是（ )
A、－2 B、－1 C、0 D、1
4。反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，则的值可为（　）
A、 B、0 C、1 D、2
5。如果两点(1，)和（2，）都在反比例函数的图象上,那么（　　）
A．＜＜0 B．＜＜0 C．＞＞0 D．＞＞0
6。函数的图象如图所示,那么函数的图象大致是(　　）

A 　 B 　C 　 D
二、填空题(每小题6分，共24分)
7.如果反比例函数（)的图象经过点（1，－2），则这个函数的表达式是_________.当时，随的增大而 ______ （填“增大”或“减小)
8.如图7，双曲线与直线相交于A、B两点，B点坐标为
(－2，－3），则A点坐标为_________．
9. 如图8，点A在反比例函数的图象上，AB垂直于x轴，若，那么这个反比例函数的解析式为__________.
图8

10.老师给出一个函数，甲、乙各指出了这个函数的一个性质：
甲:第一、三象限有它的图象； 乙：在每个象限内,y随x的增大而减小．
请你写一个满足上述性质的函数______________________
三、解答题每小题，共40分
11. (20分）如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于A（－2,1）、B（1，n）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

12. （20分)如图，已知反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点与点,且与反比例函数的图象相交于另一点．（1）分别求出反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点的坐标．

第3节 反比例函数的应用
本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题
例题1 。面积一定的梯形，其上底长是下底长的，设下底长x=10 cm时,高y=6 cm
（1)求y与x的函数关系式;
(2)求当y=5 cm时,下底长多少？
16.一定质量的二氧化碳，当它的体积V=6 m3时,它的密度ρ=1。65 kg/m3。
(1)求ρ与V的函数关系式。
（2)当气体体积是1 m3时,密度是多少?
（3）当密度为1.98 kg/m3时，气体的体积是多少？

例题2如图，Rt△AOB的顶点A是一次函数y=－x+m+3的图象与反比例函数y=的图象在第二象限的交点，且S△AOB=1,求点A的坐标。

例题3某厂要制造能装250mL（1mL=1 cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0。02 cm，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm的易拉罐用铝量是y cm3.
用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y与x间的函数关系式.

综合检测题
一、填空题：
1、与成反比，且当＝6时，，这个函数解析式为 ；
2、函数和函数的图像有 个交点；
3、反比例函数的图像经过（－，5)点、（，－3)及(10,）点，
则＝ ，＝ ,＝ ；
4、若函数是正比例函数，那么 ，图象经过 象限;
5、若反比列函数的图像经过二、四象限，则= _______
6、已知—2与成反比例,当=3时，=1，则与间的函数关系式为 ；
7、已知正比例函数与反比例函数的图象都过A（,1），则＝ ，正比例函数与反比例函数的解析式分别是 、 ；
8、 设有反比例函数,、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________
9、右图3是反比例函数的图象，则k与0的大小关系是k 0.
10、函数的图像，在每一个象限内，随的增大而 ；
y
x
O
P
M
11、反比例函数在第一象限内的图象如图,点M是图像上一点，
MP垂直轴于点P，如果△MOP的面积为1,那么的值是 ；
12、是关于的反比例函数，且图象在
第二、四象限，则的值为 ；
二、选择题： （分数3分×14=42分，并把答案填在第12题后的方框内）
1、下列函数中，反比例函数是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知反比例函数的图像经过点（，），则它的图像一定也经过（ ）
A、 （－,－） B、 （，－） C、 （－，) D、 （0,0）
3、如果反比例函数的图像经过点(－3，－4），那么函数的图像应在（ ）
A、 第一、三象限B、 第一、二象限C、 第二、四象限D、 第三、四象限
4、若与－3成反比例，与成正比例，则是的（ ）
A、 正比例函数B、 反比例函数C、 一次函数 D、 不能确定
5、若反比例函数的图像在第二、四象限，则的值是（ ）
A、 －1或1 B、小于 的任意实数 C、 －1 Ｄ、 不能确定
6、函数的图象经过点（－4,6），则下列各点中不在图象上的是（ ）
A、 （3,8） B、 （3，－8） C、 (－8,－3） D、 （－4，－6）
A
B
O
x
y
y
x
o
y
x
o
y
x
o
y
x
o
7、正比例函数和反比例函数在同一坐标系内的图象为（ ）

A B C D
8、如上右图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直轴于B点,若S△AOB＝3,则的值为( )
A、6 B、3 C、 D、不能确定
y
x
o
y
x
o
o
y
x
9、如果矩形的面积为6cm2,那么它的长cm与宽cm之间的函数关系用图象表示大致( ）
y
x
o

A B C D
10、在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（ ）
A <0，〉0 B 〉0，〈0 C 、同号 D 、异号
11、已知变量与成反比例,当=3时，=―6；那么当=3时，的值是（ ）
A 6 B ―6 C 9 D ―9

12、当路程一定时，速度与时间之间的函数关系是( ）
A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 D 二次函数
13、(2001北京西城）在同一坐标系中,函数和的图像大致是 （ ）

A B C D
14、已知反比例函数的图像上有两点A（,)，B(，），且，则的值是（ )
A、 正数 B、 负数 C、 非正数 D、 不能确定
三、解答题：(第1、2小题各7分、第3小题8分，共22分）
1、在某一电路中，保持电压不变，电流I（安培）与电阻R（欧姆)成反比例，当电阻R=5欧姆时，电流I=2安培.
（1）求I与R之间的函数关系式
(2）当电流I=0.5安培时，求电阻R的值；

O
y
x
B
A
C
2、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点，
AB⊥轴于B且S△ABO=
(1）求这两个函数的解析式
（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和△AOC的面积。

3、如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点,
（1）利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式
(2）根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围（2001江苏苏州）

反比例函数培优训练题
1、在函数的图象上有三个点的坐标分别为(1，)、（，）、（，），函数值y1、y2、y3的大小关系是 。
2、已知点A（）、B（）是反比例函数（)图象上的两点,若,则（ )
A． B． C． D．
3、在反比例函数的图象上有两点,当时，有，则m的取值范围是 。
4、反比例函数的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴,垂足是点N，如果S△MON＝2，则k的值为 .

(4） (5）
5、如图，和都与轴和轴相切，圆心和圆心都在反比例函数的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ．
6、如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥轴，AC∥轴,△ABC的面积记为，则（ ）
A． B．
C． D．

（6） （7）
7、如图,正比例函数与反比例函数的图象相交于两点,过点
作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于 .
8、已知反比例函数=（≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增大而减少,则一次函数=-+的图象不经过第 象限。
9、若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ )

10、函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）

11、在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（ ）

A. B. C. D。
12、若A（a1,b1），B(a2，b2）是反比例函数图象上的两个点,且a1＜a2，则b1与b2的大小关系是（　　）
A．b1＜b2 B．b1 = b2
C．b1＞b2 D．大小不确定
13、已知函数，当时，的取值范围是 。
14、直线y=ax(a＞0)与双曲线y=交于A(x1，y1）、
B(x2，y2)两点，则4x1y2－3x2y1=______．
15、如图，已知点A、B在双曲线(x＞0）上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，P是AC的中点,若△ABP的面积为3,则k＝ ．

(15) (16）
16、如图，在平面直角坐标系中，函数（，常数)的图象经过点,，(）,过点作轴的垂线，垂足为．若的面积为2,则点的坐标为 ．
17、在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3,4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．

(17) （18）
18、如图,在轴的正半轴上依次截取,过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得直角三角形并设其面积分别为则的值为 ．．

19、如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
(1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及△的面积；(3）求方程的解(请直接写出答案)；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）

20. 如图32所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点,轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并将轴于点若
（1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2）观察图象,请指出在轴的右侧，当时，的取值范围．

21、如图所示，矩形中，，，为上与、不重合的任意一点，设，到的距离为，求与的函数关系式，并指出函数类型．

22、如图，点P的坐标为(2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A,交双曲线（x>0）于点N;作MP⊥AN交双曲线（x〉0)于点M,连结AM。已知PN=4。
（1)求k的值.(2)求△APM的面积。

23.如图12,已知直线与双曲线交于两点，且点 的横坐标为．（1）求的值；
（2)若双曲线上一点的纵坐标为8,求的面积；
（3）过原点的另一条直线交双曲线于两点(点在第一象限）,若由点为顶点组成的四边形面积为，求点的坐标．

24。如图，，，……在函数的图像上，，，,……都是等腰直角三角形,斜边、、，……都在轴上
⑴求的坐标
⑵求的值

25。如图正方形OABC的面积为4，点O为坐标原点，点B在函数 的图象上,点P(m，n）是函数的图象上异于B的任意一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为E、F．
(1）设矩形OEPF的面积为Sl，判断Sl与点P的位置是否有关(不必说理由）．
（2)从矩形OEPF的面积中减去其与正方形OABC重合的面积，剩余面积记为S2，写出S2与m的函数关系，并标明m的取值范围．

26.如图8，直线与反比例函数（＜0)的图象相交于点A、点B,与x轴交于点C，其中点A的坐标为（－2，4）,点B的横坐标为－4。
(1）试确定反比例函数的关系式；
(2）求△AOC的面积.

27。（09北京）如图，A、B两点在函数的图象上。（1）求的值及直线AB的解析式；
（2)如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点。请直接写出图中阴影部分(不包括边界）所含格点的个数。

28。已知：如图,正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
(1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象回答,在第一象限内，当取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值？
(3）是反比例函数图象上的一动点,其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．

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