初二轴对称讲义.doc

第10讲 轴对称
知识点梳理：
1.轴对称概念
（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
2. 轴对称的性质：
（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。
轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3. 线段的垂直平分线的性质及判定
（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB
（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图②，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。

4. 尺规作图
（1）如何作轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 所以作轴对称图形的关键是作点关于直线的对称点

（2）作线段的垂直平分线
① 分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于C、D两点；
② 作直线CD， CD就是线段AB的垂直平分线。

【经典例题】
例1、在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．

例2、观察下图中各组图形，其中成轴对称的为___________ （填序号）．

例3、李芳同学球衣上的号码是253，当他把镜子放在号码的正前方时，镜子中的号码是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

例4、如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE=3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是多少？

例5、如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°，求∠ADB+∠BEC+∠CFA的度数

例6、如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．

例7、 已知△ABC，过点A作直线L．求作：△A′B′C′使它与△ABC关于L对称．

作法：（1）作点C关于直线L的对称点C′； （2）作点B关于直线L的对称点B′；
（3）点A在L上，故点A的对称点A′与A重合； （4）连结A′B′、B′C′、C′A′．
则△A′B′C′就是所求作的三角形．
例8.在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF．

例9.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，5），B（-4，3），
C（-1，1）．作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，请直接写出点B′关于x轴的对称点的坐标．

经典练习：
1．下列几何图形中，线段　角　直角三角形　半圆，其中一定是轴对称图形的有（　）
　　A．1个　　　　　B．2个　　　　　C．3个　　　　　D．4个
2．图9-19中，轴对称图形的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．下列图形中不是轴对称图形的是（　　　　）
A．有两个角相等的三角形；
B．有一个角是45°的直角三角形．
C．有两个角分别是50°和80°的三角形
D．平行四边形．
4．如图9－13所示，△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E，BE＝5厘米，△BCE的周长是18厘米，则BC＝　　　　　厘米．

5．如图9－14，在△ABC中，∠C＝90°．BD平分∠ABC交AC于D，DE垂直平分AB，若DE＝1厘米，BD=2厘米，则AC＝　　　　　　厘米．

6．如图，若P为∠AOB内一点，分别作出P点关于
OA、OB的对称点P1P2，连接P1P2交OA于M，
交OB于N，P1P2=15，则△PMN的周长是________．

7．在某一地区有居民区A、B、C，如图9－15．现想
在此地区建造一牛奶站P，使P到A、B、C三点的距离
相等．请你作出P点．

8、如图，A、B两个村庄在河岸的同一侧，现要在河岸上开设取水口，铺设灌溉管道。
为了使管道铺设距离最短，请在图中画出取水口P的位置。

9．已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图9－16，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等．

10．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交BC于M、N， (1)若△CMN的周长为18cm，求AB的长。（2）若∠MCN=48°，求∠ACB的度数。

11．点关于x轴的对称点的坐标为 ．点关于轴的对称点为 。

12. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A （0，-2）、B （3，-1）、C （2，1）
（1）请在图中画出△ABC关于y轴对称的图形△AB′C′；
（2）写出点B′和C′的坐标．

课后作业：
1、下列语句中正确的有（ ）句.
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2.下列图形:①两个点;②线段;③角;④长方形;⑤两条相交直线;⑥三角形,其中一定是轴对称图形的有（ ）
A.5个 B.3个 C.4个 D.6个

3、小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是（ ）
A、21：10 B、10：21
C、10：51 D、12：01

4.如图所示，∠BAC＝105°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC．求∠PAQ的度数．
M
B
A
N
C
Q
P

B
C
D
A
E
5．如图，△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，AB=8，BC=4，∠A=36°，则∠DBC= ，
△BDC的周长C△BDC = ．

6、如图，已知∠AOB=40°，CD为OA的垂直平分线，求∠ACB的度数。

7. 如图，△ABC中，∠B＝80°，AC边的垂直平分线DE与AB交于点D，与AC交于点E，
且∠ACD∶∠BCD＝2：1，则∠ACB＝_____.

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