线线角与线面角.doc

线线角和线面角重点：确定点、斜线在平面内的射影。知识要点：一、线线角1、定义：设a、b是异面直线，过空间一点O引a/a,b/b,则a 、b所成的锐角(或直角),叫做异面直线a、b所成的角.2、范围:(0, 3. 向量知识：对异面直线AB和CD(1) ；(2) 向量 和 的夹角(或者说其补角)等于异面直线AB和CD的夹角；(3) 二、线面角1、定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，斜线和平面所成角的范围是(0, ). 2、直线在平面内或直线与平面平行，它们所成角是零角；直线垂直平面它们所成角为 ， 3、范围: 0, 。4、射影定理：斜线长定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短。5、最小角定理：平面的一条斜线与平面所成的角，是这条直线和平面内过斜足的直线所成的一切角中最小的角。6、向量知识（法向量法）与平面的斜线共线的向量 和这个平面的一个法向量 的夹角(或者说其补角)是这条斜线与该平面夹角的余角.例题分析与解答例1如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角.分析：利用 ，求出向量 的夹角 ,再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角.解： ， ， ABBC，BB1AB，BB1BC， 又 所以异面直线BA1与AC所成的角为60.点评：求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示.例2如图(1)，ABCD是一直角梯形，ADAB，AD/BC，AB=BC=a, AD=2a,且PA平面ABCD，PD与平面ABCD成30角.(1)若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；(2)求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）解法一：（1）证明：PA平面ABCD， PAAB，ADAB， AB平面PAD，ABPD， 又AEPD， PD平面ABE， BEPD.(2)解：设G、H分别为ED、AD的中点，连BH、HG、GB（图（1）易知 ， BH/CD.G、H分别为ED、AD的中点， HG/AE则BHG或它的补角就是异面直线AE、CD所成的角，而 ， ， ，在BHG中，由余弦定理，得 ， . 异面直线AE、CD所成角的大小为 .解法二：如图（2）所示建立空间直角坐标系A-xyz，则 ， ， ， ， ，（1）证明： （2）解： 异面直线AE、CD所成角的大小为 例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ，求BE1与DF1所成角的余弦值.解：以D为坐标原点， 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，设正方体的棱长为4，则D(0,0,0)，B(4,4,0),E1(4,3,4), F1(0,1,4).则 ， ， . BE1与DF1所成角的余弦值为 点评：在计算和证明立体几何问题中，若能在原图中建立适当的空间直角坐标系，把图形中的点的坐标求出来，那么图形有关问题可用向量表示.利用空间向量的坐标运算来求解，这样可以避开较为复杂的空间想象。例4在120的二面角P-a-Q的两个面P和Q内，分别有点A和点B.已知点A和点B到棱的距离分别为2和4，且线段|AB|=10.(1) 求直线AB和棱a所成的角；(2) 求直线AB和平面Q所成的角解：如图，作ACa，BDa，垂足分别为C，D分别以 的单位向量为空间的基底 过C，B分别作BD，a的平行线，交于E点，CEa，从而，得：ACE就是二面角P-a-Q的平面角， ,依题设： 设 (1) ,又 , 展开： , m2+20+8=100，从而得 异面直线 与a所成的角为 .(2)作AFEC，交EC的延长线于F， a平面ACE， a平面Q，平面ACE平面Q，从而得：AF平面Q，连结FB，则ABF就是AB与平面Q所成的角， 上的射影为 ， ， ，在RtAFB中， ，直线AB和平面Q所成的角为： .反馈练习：1.过平面外两点和该平面垂直的平面的个数是（ ）A.1个 B.无数个 C.一个或无数个 D.没有2.已知从一点P引三条射线PA，PB，PC，且两两成60度角，则二面角APBC的二面角的余弦值是（ ）A. B. C. D.不能确定3正方体AC1中，E、F分别是AA1与CC1的中点，则直线ED与D1F所成角的大小是（ ）A、 B、 C、 D、 4在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为ABC的中心，SA=BC=2，则异面直线EF与AB所成的角是（ ）A、60 B、90 C、45 D、305已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，则直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是（ ）A、 B、 C、 D、 6、如图所示，M、N分别是单位正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1、B1C1的中点.求MN与CD1所成的角. 7、如图1所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点.(1)求异面直线AB1与BC1的夹角；(2)在直线CC1上求一点N，使MNAB1. 参考答案：1.C. 2.B.3.A如图.： 依题意，可知： 设 由三角形法则， 直线ED与D1F的所成的角为 .4A如图设 依题意可得： ， 也就是：异面直线EF与AB所成的角是60.5B如图取AB中点E，连结CE，由正三棱柱可知：CE平面AA1B1B.连结EB1， CB1E就是B1C与平面AA1B1B所成的角设棱长AA1=1，设 ，依题意可得： ， 又 ， ， 直线CB1与平面AA1B1B所成角的正弦值是 .6、解： ， ，且 ， . MN与CD1所成角为60.7、分析：利用向量理论求异面直线所成的角.解：(1)求异面直线AB1与BC1所成的角，就是求向量 的夹角，如图2 正三棱柱ABC-A1B1C1， ，依题意 ，从而得： (2)设 ，如图3， 依题意可得： 也就是： 即 ， 当 时，AB1MN.11 / 11