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Matlab在复变函数中的应用实验课(0903)

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Matlab在复变函数中应用

运城学院应用数学系

MATLAB在复变函数中的应用

复变函数的运算是实变函数运算的一种延伸，但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，且在引入了Taylor级数展开Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要了。
使用MATLAB来进行复变函数的各种运算；介绍留数的概念及MAT–LAB的实现;介绍在复变函数中有重要应用的Taylor展开（Laurent展开Laplace变换和Fourier变换）。
1 复数和复矩阵的生成
在MATLAB中，复数单位为,其值在工作空间中都显示为.
1.1 复数的生成
复数可由语句生成，也可简写成。
另一种生成复数的语句是，也可简写成，其中theta为复数辐角的弧度值，r为复数的模.
1。2 创建复矩阵
创建复矩阵的方法。
如同一般的矩阵一样以前面介绍的几种方式输入矩阵
例如：
2 复数的运算
1．复数的实部和虚部
复数的实部和虚部的提取可由函数real和imag实现。
调用形式
返回复数的实部
返回复数的虚部
2．共轭复数
复数的共轭可由函数conj实现。
调用形式
返回复数的共轭复数
3．复数的模和辐角
复数的模和辐角的求解由功能函数abs和angle实现。
调用形式
复数的模
复数的辐角
例：求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角
（1） (2） （3） （4）
由MATLAB输入如下:

%实部

0。2308 1.5000 –3.5000 1。0000
%虚部

–0.1538 –2。5000 –13。0000 –3。0000
%共轭复数

0.2308+0。1538i 1.5000+2。5000i –3。5000+13。0000i 1。0000+3.0000i
％模

0。2774 2。9155 13.4629 3。1623
％辐角

–0。5880 –1。0304 –1。8228 —1.2490
4．复数的乘除法
复数的乘除法运算由“/”和“”实现。
例 复数的乘除法演示。

由此例可见，相当于,和不相等。
5．复数的平方根
复灵敏的平方根运算由函数sprt实现。
调用形式
返回复数的平方根值
6．复数的幂运算
复数的幂运算的形式为,结果返回复数的次幂。
例 求下列各式的值

0.8660+0.5000 i
7．复数的指数和对数运算
复数的指数和对数运算分别由函数exp和log实现。
调用形式
返回复数x的以e为底的指数值
返回复数x的以e为底的对数值
例 求下列式的值（参见参考资料【4】P.68.2–15)。

8．复数的三角函数运算
复数的三角函数运算函数参见下面的复数三角函数
复数三角函数表
函数名
函 数 功 能
函数名
函 数 功 能

返回复数的正弦函数值

返回复数的反正弦值

返回复数的余弦函数值

返回复数的反余弦值

返回复数的正切函数值

返回复数的反正切值

返回复数的余切函数值

返回复数的反余切值

返回复数的正割函数值

返回复数的反正割值

返回复数的余割函数值

返回复数的反余割值

返回复数的双曲正弦值

返回复数的双曲余切值

返回复数的双曲余弦值

返回复数的双曲正割值

返回复数的双曲正切值

返回复数的双曲余割值
9． 复数方程求根
复数方程求根或实方程的复数根求解也由函数solve实现。见下面的例子.
例 求方程所有的根（参见参考资料【4】P。32.1–16）。

［ –2]

3 留数
留数定义：
设a是的孤立奇点,C是a的充分小邻域内一条把a点包含在其内部的闭路，积分称为在a点的留数或残数，记作.在MATLAB中，可由函数residue实现。
residue 留数函数（部分分式展开）
函数返回留数，极点和2个多项式比值的部分分式展开的直接项。

如果没有重根，则向量B和A为分子、分母以s降幂排列的多项式系数，留数返回为向量R、极点在向量P的位置，直接项返回到向量K。
如果存在M重极点即有则展开项包括以下形式

有3个输入变量和2个输出变量，函数转换部分因式展开还为系数为B和A的多项式比的形式。
例 求如下函数的奇点处的留数。

在MATLAB实现如下

1。5000
–0。5000

2
0

[ ]
所以可得。
例 计算下面的积分

其中C为正向圆周.
解：先求被积函数的留数

0.2500
0.2500
–0.2500–0。0000 i
–0。250+0.0000 i

–1.0000
1。0000
0.0000+1。0000 i
0.0000–1.0000 i

[ ]
可见在圆周内有四个极点，所以积分值等于.
4 Taylor级数展开
Taylor级数开展在复变函数中有很重要的地位,如分析复变函数的解析性等。
函数在点的Taylor级数开展为

在MATLAB中可由函数taylor来实现.
taylor 泰勒级数展开
返回函数的五次幂多项式近似.此功能函数可有3个附加参数.
返回次幂多项式。
返回点附近的幂多项式近似.
使用独立变量代替函数。
例 求下列函数在指定点的泰勒开展式（参见参考资料【4】P。143.12)。
(1） （2)；
MATLAB实现为：

例 再看下面的展开式

展开式说明是此函数的伪奇点！
这里的展开式运算实质上是符号运算，因此在MATLAB中执行此命令前应先定义符号变量，否则MATLAB将给出出错信息！
5 Laplace变换及其逆变换
1．Laplace变换
返回以默认独立变量T对符号函数F的Laplace变换。函数返回默认为s的函数。如果，则Laplace函数返回t的函数。其中定义L为对t的积分。
以t代替s的Laplace变换。等价于.
以z代替s的Laplace变换(相对于w的积分）。等价于。
例如：
syms a s t w x

2．Laplace逆变换
返回以默认独立变量s的数量符号L的Laplace变换，默认返回t的函数。如果，则ilaplace返回x的函数。定义为对s的积分;其中c为选定实数,使得的所有奇点都在直线的左侧。
以y代替默认的t的函数，且有等价于。这里y是个数量符号。
以x代替t的函数，等价于，对y取积分。
例如:

ilaplace

ilaplace

cos
ilaplace(

F（
6 Fourier变换及其逆变换
1。 Fourier积分变换
F=fourier（f) 返回以默认独立变量x对符号函数f的Fourier变换，默认返回的函数。如果，则fourier 函数返回t的函数F=F(t)。定义F(）int（f（）*exp(为对的积分.
fourier 以代替默认值的Fourier变换，且有fourier等价于F= int。
fourier 以代替且对积分,且有fourier＜=＞F（）= int.
例如:

fourier（1/）

fourier

1/
fourier

2Fourier逆变换
返回以默认独立变量对符号函数F的Fourier逆变换，默认返回的函数Fourier逆变换应用于返回的函数，即由F=F推出。如果F=F，则ifourier函数返回的函数。定义，对的积分。
以代替的函数,且有ifourier等价于对积分。
以代替的Fourier逆变换，且有＜=＞，积分针对.
例如：

ifourier(v/(1+w,u）
ans
i/(1+w＊Dirac(1，u）
ifourier（sym(′fourier(f（x),x,w) ′），w，x）
ans=
f(x）

Matlab中复变函数命令集
定义符号变量 Syms

虚单位 z=Sqrt（-1)
复数表示 z=x+y*i
指数表示 z=r*exp(i*a）
求实部 Real（z）
求虚部 Imag(z）
求共轭 Conj(z)
求模 Abs（z）
求幅角 Angle(z）

三角函数 z=sin(z）
z=cos(z)
指数函数 z=exp（z)
对数函数 z=log(z）
幂函数 z=z^a

解方程 expr=‘方程式’；
Solve（expr)

泰劳展开 Taylor(e,z）

求留数 ［r,p,k］=residue(p,q)

傅立叶变换 Fourier（e，z,w)
逆傅立叶变换 Ifourier(e,w，z）
拉普拉斯变换 Laplace（e,w，t)
逆拉普拉斯变换 Ilaplace（e,t,x)

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