第一章自考线性代数精讲.ppt

5/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式l一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入l二、三阶行列式二、三阶行列式l三、小结、思考题三、小结、思考题第一章第一章 行列式行列式 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式15/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式用用消元法解二元线性方程组消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入25/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式方程组的解为方程组的解为由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定.35/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义定义定义即即45/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式主主对角线对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶二阶行列式的计算行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式55/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式65/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式75/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式85/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式则二元则二元线性方程组的解为线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.95/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例例例1 1 1 1解解105/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式.115/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式(1)(1)沙沙路法路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算.列标列标行标行标125/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式135/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的的系数行列式系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2.三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积,其中三项为正其中三项为正,三项为三项为负负.145/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式若记若记或或155/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式记记即即165/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式175/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式得得185/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式得得195/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:205/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例例例 解解解解按按对角线法则，有对角线法则，有215/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端225/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式235/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:245/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结三、小结255/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式2 行列式的性质行列式的性质一、定义一、定义二、行列式的性质二、行列式的性质三、应用举例三、应用举例265/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式一、定义一、定义行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记275/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式二、行列式的性质二、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.互换行列式的两行互换行列式的两行 ,行列式变号行列式变号.（列）（列）性质性质性质性质2 2 2 2285/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零.证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 .82582532-=cc295/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式性质性质性质性质3 3 3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 k，等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.305/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式推论推论推论推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素对应行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零成比例，则此行列式为零315/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和.则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如325/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式值不变列式值不变例如例如335/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式三、应用举例三、应用举例 计算行列式常用方法计算行列式常用方法 利用运算利用运算 把行把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值例例0345/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 因为第一列与第二列对应元素成比例 根据性质3的推论2 得 解 355/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例2 计算阶行列式计算阶行列式365/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式解解375/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式385/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式395/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式405/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式415/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式425/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式提示 给定行列式是n1阶行列式 将行列式的第一行加到第二行上 再将新的第二行加到第三行上 直到新的第n行加到第n1行上435/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式445/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 a1(a1x)(a2x)(an2x)(an1x)455/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 a1(a1x)(a2x)(an2x)(an1x)即a1(a1x)(a2x)(an2x)(an1x)0 解之得x1a1 x2a2 xn2an2 xn1an1是方程的n1个根 465/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式计算行列式常用方法计算行列式常用方法三、小结三、小结(1)利用定义利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值而算得行列式的值475/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式3 行列式按行行列式按行(列列)展开展开一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则485/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式(一一)行列式按某一行行列式按某一行(列列)展开展开 定义13(余子式与代数余子式)在n阶行列式D|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij aij的余子式Mij前添加符号(1)ij 称为aij的代数余子式 记为Aij 即 Aij(1)ijMij495/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式(一)行列式按某一行(列)展开 定义13(余子式与代数余子式)在n阶行列式D|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij aij的余子式Mij前添加符号(1)ij 称为aij的代数余子式 记为Aij 即 Aij(1)i jMij505/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式(一)行列式按某一行(列)展开 定义13(余子式与代数余子式)在n阶行列式D|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij aij的余子式Mij前添加符号(1)ij 称为aij的代数余子式 记为Aij 即 Aij(1)i jMij515/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式(一)行列式按某一行(列)展开 定义13(余子式与代数余子式)在n阶行列式D|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij aij的余子式Mij前添加符号(1)ij 称为aij的代数余子式 记为Aij 即 Aij(1)i jMij525/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式定理14(行列式按行(列)展开)n阶行列式D|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和 即 Dai1 Ai1ai2 Ai2 ain Ain(i1 2 n)或 Da1j A1ja2j A2j anj Anj(j1 2 n)定理15 n阶行列式D|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积的和等于零 即 ai1 As1ai2 As2 ain Asn0(is)或 a1j A1ta2j A2t anj Ant0(jt)535/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 (1)按第一行展开 解 1(8)0(2)518 (2)按第二列展开 01(3)3(1)531518 545/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 将D按第三列展开 则应有 Da13A13a23A23a33A33a43A43其中 a133 a231 a331 a430 解法一 所以 D3191(63)(1)180(10)24555/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式说明 计算行列式时 可以先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素 再按此行(列)展开 变为低一阶的行列式 如此继续下去 直到化为三阶或二阶行列式 解法二 565/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 解法二 575/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式585/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式595/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式(1)51x3 605/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式(1)51x3 根据例4 有 一般地 有615/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式范德蒙行列式 我们称n阶行列式为范德蒙行列式 625/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式说明 是满足条件1ijn的所有因子(xjxi)的连乘积 635/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 用数学归纳法 证 所以n2时 范德蒙行列式结论成立 645/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 当n2时 范德蒙行列式结论成立 假设n1阶范德蒙行列式结论成立 证 655/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 当n2时 范德蒙行列式结论成立 假设n1阶范德蒙行列式结论成立 证 上面等号右边的行列式是n1阶范德蒙行列式 由归纳假设 它应等于所有(xjxi)的乘积 其中2ijn 所以有665/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 利用范德蒙行列式的结论 有 解 (21)(31)(41)(32)(42)(43)12 675/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式*(二二)行列式按某行列式按某k行行(列列)展开展开 在n阶行列式D|aij|中 任意选定k行k列(1kn)位于这些行和列交叉处的k2个元素 按原来顺序构成一个k阶行列式M 称为D 的一个k阶子式 划去这k行k列 余下的元素按原来的顺序构成一个nk阶行列式 在其前面冠以符号 称为M的代数余子式 其中i1 i2 ik为k阶子式M在D中的行标 j1 j2 jk 为M在D中的列标 k阶子式及其代数余子式 685/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式定理16(拉普拉斯定理)在n阶行列式中 任意取定k行k列(1kn1)由这k行k列组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 按第一行和第二行展开 解 112011 695/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式4 克拉默法则克拉默法则一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念二、克拉默法则二、克拉默法则三、重要定理三、重要定理705/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式设线性方程组设线性方程组则称此方程组为则称此方程组为非非 齐次线性方程组齐次线性方程组;此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.一、非齐次与齐次线性方程组的概念一、非齐次与齐次线性方程组的概念715/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式二、克拉默法则二、克拉默法则记其系数行列式为记其系数行列式为含有含有 n 个未知数个未知数 的的 n 个线性方程的方程组个线性方程的方程组725/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即当系数行列式当系数行列式 D 0 时时,线性方程组线性方程组(1)有解，有解，并且解是唯一的，解可以表为并且解是唯一的，解可以表为735/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例0 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组解解745/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式755/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例1 1 解线性方程组解线性方程组765/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式三、重要定理三、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组(1)的系数行列式的系数行列式 D 0,则则(1)一定有解一定有解,且解是唯一的且解是唯一的.定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组(1)无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零.775/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式四、齐次线性方程组的相关定理四、齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组齐次线性方程组 一定是一定是(2)的解，称为齐次的解，称为齐次线性方程组的线性方程组的零解零解.若一组不全为若一组不全为0 0的数是的数是(2)的解，称为齐次线性的解，称为齐次线性方程组的方程组的非零解非零解.785/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理定理定理3 3 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)的系数行列式的系数行列式 D 0,则齐次线性方程组则齐次线性方程组(2)只有零解只有零解.定理定理4 4 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)有非零解有非零解,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零.795/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式 解 因为 所以方程组仅有零解 805/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式例例3 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组有非零解？有非零解？815/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式解解齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.825/24/2024线性代数线性代数 Hainan University第一章第一章第一章第一章 行列式行列式行列式行列式1.1.用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数;(2)2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零.2.2.克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导.五、小结五、小结83