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常微分方程期末考试试卷(6)
学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______
一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。
1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全

微分方程。
2、________________称为齐次方程。

3、求 =f(x,y)满足的解等价于求积分方程____________________的连续解。
4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程 的解 y=作为的函数在它的存在范围内是__________。
5、若为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组的_________________称之为的一个基本解组。

7、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =____________。

8、满足___________________的点（），称为方程组的奇点。

9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定

的，对应的奇点称为___________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：=

2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0
3、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解

4、求解常系数线性方程：
5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算
6、试讨论方程组 （1）的奇点类型，其中a,b,c为常数，且ac0。

三、证明题（共一题，满分10分）。
试证：如果满足初始条件的解，那么

常微分方程期末考试答案卷
一、 填空题。（30分）
1、
2、
3、y=+
4、连续的
5、w
6、n个线性无关解
7、
8、X(x,y)=0,Y(x,y)=0

9、为零 稳定中心

二、计算题。（60分）
1、解： (x-y+1)dx-(x++3)dy=0
xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0
即d-d(xy)+dx--3dy=0
所以

2、解：，令z=x+y
则

所以 –z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+
即

3、解： 设f(x,y)= ,则
故在的任何区域上存在且连续，
因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，

显然，是通过点（0，0）的一个解；
又由解得，|y|=
所以，通过点（0，0）的一切解为及
|y|=

4、解： (1)
齐次方程的通解为x=
(2)不是特征根，故取
代入方程比较系数得A=，B=-
于是
通解为x=+

5、解： det()=
所以，
设对应的特征向量为
由
取
所以，=

6、解： 因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件
，故奇点为原点（0，0）
又由det(A-E)=得

所以，方程组的奇点（0，0）可分为以下类型：

a，c为实数
三、证明题。 （10分）
证明： 设的形式为= （1）
（C为待定的常向量）

则由初始条件得=
又=
所以，C==
代入（1）得=
即命题得证。