常微分方程期末试题答案.doc

一、填空题（每空2 分，共16分）。
1、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　xoy平面　　．
2. 方程组的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.
3．连续是保证方程初值唯一的 充分 条件．
4．方程组的奇点的类型是 中心
5．方程的通解是
6．变量可分离方程的积分因子是
7．二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是 线性无关
8．方程的基本解组是
二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。
9．一阶线性微分方程的积分因子是（ A ）．
（A） （B） （C） （D）
10．微分方程是（ B ）
（A）可分离变量方程 （B）线性方程
（C）全微分方程 （D）贝努利方程
11．方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的所有常数解是（ C ）．
(A) (B)
(C), (D),
12．阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．
（A）构成一个线性空间 （B）构成一个维线性空间
（C）构成一个维线性空间 （D）不能构成一个线性空间
13．方程（ D ）奇解．
　　（A）有一个 （B）有无数个 （C）只有两个 （D）无
三、计算题（每小题8分，共48分）。
14．求方程的通解
解：令，则 ，于是，
所以原方程的通解为
15．求方程的通解
解：取
则，于是原方程为全微分方程
所以原方程的通解为
即
16．求方程的通解
解:令 ，得到 （*） ，两端同时关于求导，
整理得 ，则
取 ,得 ,代入（*） 得解
取 ,得,代入（*）得原方程得通解为

17．求方程的通解
解 对应的齐次方程的特征方程为 ，
特征根为 ，
故齐次方程的通解为
因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

代入原方程，得

即 ，
故原方程的通解为
18．求方程的通解
解：先求解对应的其次方程：，则有，

因为数不是特征根，故原方程具有形如
的特解。
将上式代入原方程，由于

故

或
比较上述等式两端的的系数，可得
因此，故
所求通解为
19．求方程组的实基本解组
解：方程组的特征多项式为 ，其特征根是，那么
属于的特征向量，
属于的特征向量。
则方程的基本解组为，
其实基本解组为。
而
因此所求实基本解组为

四、应用题（每小题 11 分，共11分）。
20．（1）求函数的拉普拉斯变换
（2）求初值问题的解
解：（1）
（2）设，是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普
拉斯变换，可分别得到

故有
使用部分分式法，可得
由（1）可知，
故所求的初值解为 。
得分
评卷教师

五、证明题（每小题10分，共10分）。
21 ．证明：对任意及满足条件的，方程的满足条件的解在上存在。
证： 由于

在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件．
又显然是方程的两个特解．现任取，，记为过的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在区间必为．